求解線性積分方程的壓縮投影離散的Landweber 算法

羅興鈞，黃靜月，張 榮

（贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000）

第一類Fredholm 積分方程常被用來模擬科學(xué)和工程中出現(xiàn)的一些實(shí)際問題，包括從遙測(cè)數(shù)據(jù)確定大氣溫度剖面、系統(tǒng)識(shí)別、計(jì)算機(jī)斷層攝影定位腫瘤、地震勘探等[1-5].這些問題中大部分是不適定的，在某種意義上，給定數(shù)據(jù)中的小擾動(dòng)可能導(dǎo)致相應(yīng)解的大擾動(dòng).不適定問題通常用正則化方法來處理，如Tikhonov 正則化方法、Landweber 迭代等方法.

正則化方法大致有兩種，變分法以及迭代法.由于變分法求解會(huì)導(dǎo)致逆運(yùn)算，所以，迭代法是最受歡迎的正則化方法，且得到了大量的討論[6-7]. 1951 年，Landweber 提出了求解不適定積分方程的Landweber迭代法，但該方法是在無限維空間研究的，而人們感興趣的是有限維空間的求解[8].有限維空間求解數(shù)值解，廣泛采用的方法是投影法，例如Hilbert 空間上的Galerkin 投影法以及Banach 空間上的配置法[9-10].投影法的核心思想就是用有限維空間中的投影算子來逼近無限維空間上的算子，利用有限維空間中的基底函數(shù)近似表示近似解，轉(zhuǎn)化為有限維空間上的求解.具體做法第二節(jié)有詳細(xì)的描述.

Scherzer 提出了一種基于非線性Landweber 迭代的多級(jí)迭代算法，該算法在每一層都需要一個(gè)終止準(zhǔn)則來終止迭代，并提出了若干條終止準(zhǔn)則[11].當(dāng)這種方法應(yīng)用于實(shí)際問題時(shí)，由于其終止準(zhǔn)則在很大程度上依賴于對(duì)解的了解，會(huì)產(chǎn)生一些困難.為了克服這一缺點(diǎn)，Hou 和Jin 對(duì)Landweber 迭代的有限維近似進(jìn)行了研究，提出了全投影算法以及與全投影算法匹配的迭代停止準(zhǔn)則[12]. 這些方法是一種傳統(tǒng)的投影算法，涉及大量的內(nèi)積計(jì)算，計(jì)算量較大.例如，如果有限維空間的維數(shù)是2n，那么，投影算法涉及到的內(nèi)積的計(jì)算個(gè)數(shù)是22n，如果采用多尺度壓縮投影算法，內(nèi)積的計(jì)算個(gè)數(shù)是（n+1）2n，當(dāng)n比較大時(shí)，顯然減少了內(nèi)積計(jì)算量，確保了近似解的收斂率.這就是我們方法的優(yōu)點(diǎn).

1 多尺度壓縮投影方法

在這一節(jié)中，提出求解線性積分方程的多尺度壓縮投影方法.

設(shè)E?Rd是一個(gè)有界閉域，其中d≥1.X是Hilbert 空間L2（E），內(nèi)積為（·，·），范數(shù)為‖·‖.定義Fredholm 積分算子A為（Ax）（s）：=∫E k（s，t）x（t）dt，s∈E，其中，核函數(shù)k為E×E上的連續(xù)函數(shù).考慮形如（1）式的第一類積分方程：

2 誤差估計(jì)

現(xiàn)在估計(jì)壓縮投影法（4）式的收斂性.為此，對(duì)某些正常數(shù)r，令η∶=2-r/d，引入假設(shè).

假設(shè)1[15-21]（1）存在正常數(shù)cr≥1，使得：‖（I-Pj）A‖≤cr ηj，且‖A（I-Pj）‖≤c r ηj；（2）緊線性積分算子A以常數(shù)1 為界，即‖A‖≤1；（3）0＜μ＜1/2.

首先，給出一個(gè)非常重要的引理[15].

接下來，提出以下修正的偏差原理來選擇終止指標(biāo)，并提出第3 點(diǎn)所需的一個(gè)預(yù)備引理.

規(guī)則1 假設(shè)1（1）～（3）成立，則有：

3 收斂性分析

接下來，先給出在后面定理的證明中會(huì)用到的一些引理.

定理得證.

4 數(shù)值算例

在本節(jié)中，用數(shù)值算例來驗(yàn)證所提方法的有效性.考慮用以下核函數(shù)求解線性積分方程（1），得：k（s，t）=s-t，s＞t；k（s，t）=0，s≤t.取y（s）=（6s2-4s3+s4）/24，則該問題的唯一最小范數(shù)解為：x+（t）=（1-t）2/2[12].容易驗(yàn)證x+∈R（A*），這意味著ν=1.在這種情況下，最優(yōu)收斂率是δ1/2.

取yδ（s）=y（s）+δ·ν（s），其中ν（s）為均勻分布的隨機(jī)值且對(duì)任意的s∈[0，1]，有|ν（s）|≤1.設(shè)：δ∶=‖y‖·e/100 其中e=｛10，5，2.5，1.25，0.625｝.

其中，j=0，1，2，…，2i-1-1.

表1 包含離散Landweber 迭代（4）的結(jié)果，并利用規(guī)則1 選取迭代停止次數(shù)k（δ，n），其中cr=1，η=2-1，μ=0.46，τ=2.為了表明收斂率與擾動(dòng)水平和離散水平的關(guān)系，選取了不同的δ和n值.表1 中的收斂率估計(jì)與定理1 的結(jié)論非常吻合.這表明所提出的壓縮算法的有效性.

表1 數(shù)值結(jié)果