基于混沌透鏡成像學(xué)習(xí)的哈里斯鷹算法及其應(yīng)用*

尹德鑫張琳娜張達(dá)敏*蔡朋宸秦維娜

(1.貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

優(yōu)化是為特定問題的所有可行解決方案找到最佳解決方案的過程。數(shù)值優(yōu)化經(jīng)常應(yīng)用到各種領(lǐng)域中來處理優(yōu)化問題，而群智能算法在解決優(yōu)化問題中顯示了高效且魯棒的性能。每年都會(huì)出現(xiàn)大量新穎的群體智能算法，例如:鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)[1]、灰狼算法(Grey Wolf Optimizer，GWO)[2]、蜻 蜓 算 法(Dragonfly algorithm，DA)[3]、緋鯢鰹優(yōu)化算法(Yellow Saddle Goatfish algorithm，YSGA)[4]和麻雀搜索算法(Sparrow Search Algorithm，SSA)[5]等。2019年，Heidari等[6]通過模仿哈里斯鷹在獵物捕食過程中的合作行為提出一種新的群智能算法——哈里斯鷹算法(Harris Hawks Optimization，HHO)，HHO算法操作簡(jiǎn)單，調(diào)整參數(shù)少，易于實(shí)現(xiàn)，因此HHO算法常用來解決很多工程問題。但HHO算法和其他群體智能算法相似，本身仍存在面對(duì)處理多維問題時(shí)求解精度不高，易過早收斂等問題。針對(duì)這些問題，一些學(xué)者以不同的方式對(duì)HHO算法進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[7]提出一種新型準(zhǔn)反射哈里斯鷹算法(QRHHO)，它將HHO算法和基于準(zhǔn)反射的學(xué)習(xí)機(jī)制(QRBL)相結(jié)合，提高HHO算法的尋優(yōu)精度；文獻(xiàn)[8]提出一種混沌哈里斯鷹優(yōu)化算法(CHHO)，將混沌映射來生成初始化種群，增加種群多樣性，然后將模擬退火算法與HHO結(jié)合，提高HHO的利用率且避免局部最優(yōu)；文獻(xiàn)[9]將長(zhǎng)期記憶引入到HHO算法中，在整個(gè)搜索過程中增加種群多樣性；文獻(xiàn)[10]提出將哈里斯鷹算法和模擬重復(fù)算法混合，優(yōu)化算法性能；文獻(xiàn)[11]提出一種基于自適應(yīng)協(xié)作覓食和分散覓食策略的HHO算法，有效豐富種群多樣性，防止局部過早收斂。

然而，綜上所述的改進(jìn)算法在一定程度上提高了勘探能力，避免過早收斂，但是面對(duì)高維復(fù)雜問題易造成探索和開發(fā)之間的不平衡，隨著搜索空間維度增加收斂速度變慢。針對(duì)這些問題，提出一種基于混沌透鏡成像學(xué)習(xí)的哈里斯鷹算法(FLHHO)，并將FLHHO應(yīng)用到工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域。本文的主要貢獻(xiàn)如下:①利用Fuch無限折疊混沌策略生成初始種群，有效改善種群多樣性。②將黃金正弦算子引入到探索階段位置更新處，提高HHO的求解精度。③利用透鏡成像學(xué)習(xí)和柯西變異策略對(duì)哈里斯鷹最佳位置進(jìn)行擾動(dòng)更新，增強(qiáng)探索和開發(fā)之間的平衡能力，避免局部最優(yōu)。④利用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和CEC 2017測(cè)試函數(shù)證明基于混沌透鏡成像學(xué)習(xí)的哈里斯鷹算法(FLHHO)具有更優(yōu)的算法性能。⑤將認(rèn)知無線電技術(shù)應(yīng)用到工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)傳感器網(wǎng)絡(luò)上，利用FLHHO來解決工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)中頻譜稀缺問題。

1 哈里斯鷹算法

哈里斯鷹算法(HHO)的靈感來自哈里斯鷹探索和攻擊獵物的行為，HHO由兩個(gè)階段(即探索階段和開發(fā)階段)組成，并且哈里斯鷹根據(jù)獵物逃逸能量E來采取不同的捕捉策略捕食獵物，能量E的計(jì)算公式如下所示:

式中:E0＝2r1-1表示能量的初始狀態(tài)，該狀態(tài)在每次迭代期間以(-1，1)的間隔隨機(jī)變化，r1為(0，1)中的隨機(jī)數(shù)。t為當(dāng)前的迭代次數(shù)，T為最大迭代次數(shù)。當(dāng)｜E｜≥1時(shí)，哈里斯鷹處于探索階段，與此相反，哈里斯鷹處于開發(fā)階段。

1.1 探索階段

在探索階段，哈里斯鷹根據(jù)其他成員位置和兔子的位置隨機(jī)棲息在一些地點(diǎn)的情況，通過兩種策略來尋找獵物。數(shù)學(xué)模型如下:

式中:t表示當(dāng)前迭代次數(shù)，T表示最大迭代次數(shù)，x i和xrand分別表示第i只哈里斯鷹的當(dāng)前位置和在當(dāng)前迭代的隨機(jī)個(gè)體，x m(t)表示當(dāng)前哈里斯鷹的平均值，xprey(t)為當(dāng)前最優(yōu)位置，r1、r2、r3和r4為[0，1]的隨機(jī)數(shù)，lb i和ub i為搜索空間的界限，N表示種群數(shù)量。

1.2 開發(fā)階段

在開發(fā)階段，獵物經(jīng)常試圖逃脫，哈里斯鷹則會(huì)去追趕獵物并試圖抓住它。因此，HHO采用四種策略來模仿哈里斯鷹的捕食行為，這四種策略分別是軟包圍、硬包圍、漸進(jìn)式快速俯沖的軟包圍和漸進(jìn)式快速俯沖的硬包圍。HHO通過r和｜E｜兩個(gè)參數(shù)來確認(rèn)使用哪種策略，｜E｜表示獵物逃逸能量，r表示逃逸概率。

當(dāng)｜E｜≥0.5和r≥0.5時(shí)，獵物仍然有逃逸的能量，此時(shí)，鷹使用軟包圍捕食獵物以使其精疲力盡，從而使鷹可以突擊突襲，數(shù)學(xué)建模如下:

式中:Δx(t)表示獵物位置和迭代t中當(dāng)前位置之間的差值，r6為(0，1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，J表示兔子逃逸過程中的跳躍距離。

當(dāng)｜E｜<0.5和r≥0.5時(shí)，獵物沒有逃逸的能量，哈里斯鷹使用硬包圍捕食獵物以進(jìn)行最后突擊突襲，數(shù)學(xué)建模如下:

當(dāng)｜E｜≥0.5且r<0.5時(shí)，獵物有足夠能量逃脫?dān)椀牟蹲?，但是哈里斯鷹?huì)圍繞獵物進(jìn)行漸進(jìn)式快速俯沖軟包圍，并根據(jù)獵物的欺騙性行為逐漸糾正其位置和方向，從而選擇最佳位置來捕捉獵物，哈里斯鷹的位置更新分為兩種策略。在第一種策略中，哈里斯鷹根據(jù)獵物的下一步移動(dòng)向獵物靠近，位置更新如下所示:

在第二種策略中，鷹看到獵物逃跑，它們就會(huì)做出更具欺騙性的動(dòng)作，并且在接近獵物時(shí)會(huì)進(jìn)行不規(guī)則的快速下潛。為了模仿獵物的逃逸行為，在優(yōu)化過程中引入了Levy飛行，其位置更新公式如下所示:

式中:D為問題維度，S表示為1×D的隨機(jī)向量，Levy表示飛行函數(shù)，計(jì)算公式如(10)所示，β為常數(shù)設(shè)置為1.5，u和v為[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。因此，漸進(jìn)式快速俯沖的軟包圍策略的位置更新公式總結(jié)為:

式中:F(Y)和F(Z)為目標(biāo)函數(shù)值。

當(dāng)｜E｜<0.5且r<0.5時(shí)，獵物筋疲力盡，逃逸能量很低，哈里斯鷹通過漸進(jìn)式俯沖硬包圍獵物，此策略鷹的更新位置公式與漸進(jìn)式快速俯沖的軟包圍中的公式相似。在這種情況下，鷹群嘗試縮小其平均位置與目標(biāo)兔子的位置之間的距離，數(shù)學(xué)建模如下:

2 基于混沌透鏡成像學(xué)習(xí)的哈里斯鷹算法

2.1 Fuch無限折疊混沌策略

初始值對(duì)算法影響很大，如果初始值很大，算法將更耗時(shí)且容易陷入局部最優(yōu)。如果初始值接近全局最優(yōu)解，則算法收斂很快。因?yàn)镠HO并無先驗(yàn)知識(shí)可用，故通常采用隨機(jī)生成初始種群，生成的種群分布不均勻，會(huì)導(dǎo)致種群多樣性減少，種群質(zhì)量不高，影響算法的收斂速度。而混沌映射具有隨機(jī)性、非重復(fù)性和混沌遍歷性等特點(diǎn)[12]，意味著它比依賴于概率的隨機(jī)生成更能夠使種群分布均勻。因此，利用混沌映射生成初始種群來增加潛在解的多樣性。

常用的混沌映射有Tent映射和Logistic映射，但是兩者都為有限折疊混沌映射。Fuch[13]為可無限折疊的混沌映射，比起傳統(tǒng)的混沌映射，F(xiàn)uch映射具有更佳的遍歷性、動(dòng)態(tài)性和收斂性等優(yōu)點(diǎn)，因此，選用Fuch映射生成HHO初始種群。在FLHHO算法中，F(xiàn)uch混沌映射值替換隨機(jī)生成的值，用于在初始化階段生成哈里斯鷹種群位置。Fuch混沌映射數(shù)學(xué)表達(dá)式為[14]:

式中:x(t)≠0，x∈Z+，t＝1，2，….T。

2.2 黃金正余弦策略

受到正弦函數(shù)周期性變化的啟發(fā)，Erkan Tanyildizi在2017年提出黃金正余弦算法[15](Golden-SA)，利用正弦函數(shù)結(jié)合黃金分割系數(shù)來執(zhí)行迭代搜索，該算法具有良好的魯棒性和收斂速度。

在HHO探索階段中采用隨機(jī)游走的方式進(jìn)行位置更新，搜索空間比較廣泛，并不能確保鷹群可以完整探索最佳搜索空間區(qū)域。于是本文將黃金正弦算子引入到HHO探索階段位置更新中，利用黃金分割搜索使搜索空間的個(gè)體能夠按最優(yōu)路徑搜索，如圖1所示為種群個(gè)體搜索空間的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，個(gè)體可以在搜索空間中連續(xù)尋找最優(yōu)解，Golden-SA可以根據(jù)正弦函數(shù)和單位圓之間的關(guān)系遍歷正弦函數(shù)上的所有值從而提高了算法的全局探索能力[16]。同時(shí)，黃金分割系數(shù)使搜索個(gè)體能夠以固定的步長(zhǎng)更新距離和方向，并不斷縮小要探索的空間，以便個(gè)體能在目標(biāo)位置的區(qū)域(而不是整個(gè)搜索空間)中進(jìn)行搜索，從而提高了算法的局部開發(fā)能力。

圖1 種群個(gè)體運(yùn)動(dòng)軌跡圖

式中:R1∈[0，2π]，R2∈[0，π]，x1＝-π+(1-τ)和x2＝-π+(τ×2π)是通過黃金比率計(jì)算的系數(shù)，可以使個(gè)體搜索空間時(shí)更接近目標(biāo)值，τ＝(1-√5)/2為黃金分割系數(shù)。

2.3 融合透鏡成像學(xué)習(xí)和柯西變異策略

在原始的HHO中，目標(biāo)位置的更新依賴于每次迭代時(shí)種群的更新，重新計(jì)算適應(yīng)度值，選擇最優(yōu)適應(yīng)度值個(gè)體代替當(dāng)前個(gè)體，未考慮HHO會(huì)陷入局部最優(yōu)的情境，針對(duì)這類問題，融合透鏡成像學(xué)習(xí)和柯西變異策略，依概率對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行擾動(dòng)更新，減少HHO陷入局部極值的風(fēng)險(xiǎn)。

反向?qū)W習(xí)是Tizhoosh于2005年提出[17]，其主要思想是生成可行解的相反解，評(píng)價(jià)相反解并選擇更好的候選解。反向?qū)W習(xí)可以擴(kuò)展當(dāng)前哈里斯鷹的搜索范圍，并且反向解可以更接近全局最佳位置，因此反向?qū)W習(xí)策略可以加快收斂速度。

定義1反向數(shù):假設(shè)x是[a，b]中的實(shí)數(shù)，則x的反向數(shù)x*定義為:

定義2反向點(diǎn):假設(shè)X＝(x1，x2，…x D)為D維空間的一點(diǎn)，且x j∈[a j，b j]，j∈1，2，…，D。則X的反向點(diǎn)可以定義為，其中

反向?qū)W習(xí)策略雖然在種群初始化中起到重要作用，但是在迭代后期，大量的個(gè)體會(huì)聚集在局部最優(yōu)值周圍，導(dǎo)致哈里斯鷹陷入局部最優(yōu)陷阱，削弱反向?qū)W習(xí)策略作用。受到文獻(xiàn)[18]的啟發(fā)，利用透鏡成像原理對(duì)反向?qū)W習(xí)策略進(jìn)行擴(kuò)展來解決上訴問題。

假設(shè)哈里斯鷹在搜索空間中尋找目標(biāo)值反向點(diǎn)的過程為透鏡成像的過程，如圖2所示，在一個(gè)橫坐標(biāo)區(qū)間為[a，b]上的xbest處高度為h的物體，通過在原點(diǎn)o(o＝(a+b)/2)處焦距為r的透鏡投影到高度為h′處成像。此時(shí)，xbest就能以o為基點(diǎn)找到對(duì)應(yīng)的反向點(diǎn)。由成像原理得出以下公式:

圖2 透鏡成像過程圖

式中:k＝h/h′為縮放因子，利用式(19)變換可得到反向點(diǎn)的計(jì)算公式:

可以很明顯從式(20)看出，當(dāng)k＝1時(shí)，透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略就是一般的反向?qū)W習(xí)策略，透鏡成像學(xué)習(xí)策略的反向點(diǎn)隨著k的變化而變化，可以通過調(diào)節(jié)k值來尋找最優(yōu)位置，將透鏡成像學(xué)習(xí)策略引入到哈里斯鷹目標(biāo)位置更新中，以提高收斂速度，使哈里斯鷹擺脫陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，使算法有更大的機(jī)會(huì)收斂于全局最優(yōu)解。

柯西變異源自于柯西分布，是一個(gè)數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)性概率分布，其概率密度函數(shù)為:

柯西分布具有較長(zhǎng)的步長(zhǎng)、兩端具有較長(zhǎng)的尾巴和分布緊湊等特點(diǎn)[19]。因此，很容易從原點(diǎn)生成隨機(jī)數(shù)，并且它能產(chǎn)生比高斯變異更大的范圍分布隨機(jī)數(shù)。將柯西算子引入目標(biāo)位置更新，發(fā)揮柯西算子的調(diào)節(jié)能力，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力:

為了提高HHO的尋優(yōu)性能，F(xiàn)LHHO采取動(dòng)態(tài)選擇策略來更新目標(biāo)位置，在一定的概率pr下交替選擇透鏡成像學(xué)習(xí)策略和柯西變異策略來更新目標(biāo)位置。

pr是隨迭代自適應(yīng)更改的參數(shù)，利用概率pr選擇不同策略更新目標(biāo)位置。在迭代早期階段pr相對(duì)較大，此時(shí)pr>rand，利用式(23)對(duì)目標(biāo)位置進(jìn)行柯西擾動(dòng)，有效避免種群多樣性下降和過早收斂。提高HHO從局部最佳位置逃出的能力。當(dāng)pr

2.4 FLHHO算法復(fù)雜度分析

FLHHO算法和HHO算法的復(fù)雜度與種群數(shù)量N、空間維度D和迭代次數(shù)T有關(guān)。HHO算法的計(jì)算復(fù)雜度通過種群初始化、適應(yīng)度值計(jì)算和種群更新三個(gè)基本過程來表示，那么HHO算法復(fù)雜度的計(jì)算如下所示:①在初始化階段，初始并分配N只哈里斯鷹的值，計(jì)算復(fù)雜度為O(N)；②計(jì)算哈里斯鷹最佳適應(yīng)度值復(fù)雜度為O(TN)；③在種群更新階段，計(jì)算哈里斯鷹位置更新時(shí)算法的復(fù)雜度為O(TND)。

由此可得HHO算法的時(shí)間復(fù)雜度為:

HHO初始化種群階段的復(fù)雜度和FLHHO一樣，且引入黃金正弦策略的探索階段和原探索階段的計(jì)算復(fù)雜度幾乎相同，計(jì)算采用動(dòng)態(tài)策略對(duì)哈里斯鷹目標(biāo)位置更新的復(fù)雜度為O(TND)+O(TND)，故FLHHO的復(fù)雜度計(jì)算如下所示:

根據(jù)以上分析，F(xiàn)LHHO和HHO具有相同的復(fù)雜度，F(xiàn)LHHO算法增加了全局和局部搜索能力，但是沒有增加時(shí)間復(fù)雜度.

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證FLHHO算法的優(yōu)越性和每個(gè)改進(jìn)策略的有效性，本文選取10個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和最新的測(cè)試函數(shù)IEEE CEC 2017[20]來進(jìn)行測(cè)試。本文仿真實(shí)驗(yàn)分為5個(gè)部分:①通過標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)驗(yàn)證三種改進(jìn)策略對(duì)改進(jìn)HHO的有效性。②將FLHHO與最新改進(jìn)的HHO進(jìn)行比較，通過標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)測(cè)試數(shù)據(jù)證明FLHHO的算法性能優(yōu)于其他改進(jìn)算法。③將FLHHO算法與其他群體智能算法進(jìn)行比較，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證FLHHO的優(yōu)越性。④將FLHHO算法與其他群體智能算法進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，檢驗(yàn)FLHHO與其他算法的顯著性差異。⑤將FLHHO算法求解CEC 2017測(cè)試函數(shù)，并與其他群體智能算法比較，證明FLHHO算法的魯棒性。

本文引入10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，如表1所示，標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)分為單峰函數(shù)、多峰和固定低維函數(shù)。其中F1～F7為單峰函數(shù)，僅具有一個(gè)最優(yōu)值，通常用于測(cè)試算法的開發(fā)能力；F8～F13是多峰函數(shù)，具有多個(gè)最優(yōu)值，將其用于測(cè)試探索能力和跳出局部最優(yōu)能力，F(xiàn)14為固定低維函數(shù)，其也有多個(gè)的最優(yōu)值。但是，由于維數(shù)低，很容易找到最優(yōu)值，因此可以用來測(cè)試算法的穩(wěn)定性。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

為了公平起見，在本文中，所有算法都具有相同的條件以進(jìn)行公平比較，最大迭代次數(shù)T設(shè)置為500，種群數(shù)量N設(shè)置為30，每種算法獨(dú)立運(yùn)行30次，具體參數(shù)設(shè)置參照各算法引用文獻(xiàn)。

3.1 與不同改進(jìn)策略比較

利用FLHHO求解表1中的測(cè)試函數(shù)，并與結(jié)合Fuch混沌策略的HHO1、引入黃金正弦策略的HHO2和融合透鏡成像學(xué)習(xí)和柯西變異策略的HHO3進(jìn)行比較，測(cè)試結(jié)果如表2所示(測(cè)試維度D＝30)。

表2 測(cè)試函數(shù)比較結(jié)果(維度D＝30)

因?yàn)閱畏搴瘮?shù)只有一個(gè)全局最優(yōu)解，而沒有其他局部最優(yōu)解存在，可用于分析優(yōu)化算法的開發(fā)能力。從表2可以清楚地知道FLHH求解單峰函數(shù)F1～F4時(shí)，最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都達(dá)到理想值。雖然求解單峰函數(shù)F7沒有達(dá)到理想值，但F7的其他指標(biāo)都優(yōu)于HHO、HHO1、HHO2和HHO3。與單峰測(cè)試函數(shù)相比，多峰測(cè)試函數(shù)具有許多最優(yōu)解，其中一個(gè)是全局的，其余的是局部的，這些多峰測(cè)試問題通常用于評(píng)估算法的探索能力。可以從表2多峰函數(shù)F8、F10、F11和F13中的數(shù)據(jù)看出，對(duì)于函數(shù)F8，四種算法的結(jié)果非常接近，但是可以從標(biāo)準(zhǔn)差方面看出FLHHO的穩(wěn)定性略高于其他四種算法。對(duì)于函數(shù)F10和F11，每種算法都可以獲得理論上的最優(yōu)解。對(duì)與函數(shù)F13，F(xiàn)LHHO擁有更高的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。F14是固定峰函數(shù)，可用于測(cè)試算法的穩(wěn)定性和探索能力。對(duì)于求解固定峰函數(shù)F14，F(xiàn)LHHO的尋優(yōu)性能全面超越了HHO，并且求解結(jié)果與理論值非常接近。

可以從表2的三個(gè)評(píng)估指標(biāo)看出，與HHO相比，對(duì)于求解單峰函數(shù)F1～F4，基于透鏡成像學(xué)習(xí)與柯西變異策略的HHO3改進(jìn)效果非常顯著，它可以準(zhǔn)確地獲得理論上的最佳值，HHO1和HHO2相對(duì)來說，改進(jìn)效果較弱。HHO3求解F7時(shí)，雖然沒有達(dá)到最優(yōu)值，但是它的三個(gè)評(píng)估指標(biāo)都優(yōu)于HHO、HHO1和HO2，并且HHO3的穩(wěn)定性優(yōu)于FLHHO，這說明透鏡成像學(xué)習(xí)與柯西變異策略可以有效提高算法最佳搜索性能。HHO1對(duì)于求解單峰函數(shù)的效果不如其他策略，但是對(duì)于求解多峰函數(shù)13，HHO1的最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差明顯優(yōu)于其他算法，這說明在探索能力上具有優(yōu)異的性能，這歸因于哈里斯鷹的Fuch混沌策略提供了較高的種群多樣性。表2評(píng)價(jià)指標(biāo)證明了無論在單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)中，融合3個(gè)改進(jìn)策略的FLHHO具有更好的開發(fā)能力和探索能力。

3.2 與不同改進(jìn)HHO算法的比較分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證FLHHO算法的優(yōu)越性，將FLHHO獨(dú)立運(yùn)行30次求解標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的結(jié)果同基于準(zhǔn)反射哈里斯鷹算法[7](QRHHO)、改進(jìn)的哈里斯鷹算法[21](MHHO)和混合差分算法的哈里斯鷹算法[22](HHODE)相比。設(shè)置每種算法的共同參數(shù)最大迭代次數(shù)T＝500、種群規(guī)模N＝30，空間維度D＝100。求解部分基本測(cè)試函數(shù)，并將各個(gè)算法的最優(yōu)值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，結(jié)果分析如表3所示。

表3 測(cè)試函數(shù)比較結(jié)果(維度D＝100)

可以從表3可以看出，相比其他改進(jìn)算法，F(xiàn)LHHO在求解高維測(cè)試函數(shù)上具有出色的尋優(yōu)性能。QRHHO和FLHHO一樣，在求解單峰函數(shù)F1～F4時(shí)，近乎都能獲得理論上的最優(yōu)解，并且以壓倒性的優(yōu)勢(shì)高于其他兩種改進(jìn)算法，MHHO在求解單峰函數(shù)方面上算法性能最差。對(duì)于求解函數(shù)F7，MHHO的尋優(yōu)性能最差，HHODE次之，F(xiàn)LHHO的尋優(yōu)精度最優(yōu)，但和QRHHO相差不大。對(duì)于求解函數(shù)F10和F11，所有函數(shù)都能獲得理論值，這主要是由于HHO已經(jīng)為這些函數(shù)提供了最優(yōu)結(jié)果。

在求解多峰函數(shù)F13上，F(xiàn)LHHO的尋優(yōu)精度最高，避免算法獲得局部極值。QRHHO、MHHO和HHODE在求解多峰函數(shù)F13時(shí)，所獲得的尋優(yōu)值遠(yuǎn)不如FLHHO，特別是QRHHO在求解多峰函數(shù)F13時(shí)易陷于局部最優(yōu)解，尋優(yōu)性能最差。不管是求解單峰函數(shù)還是多峰韓式，相比其他改進(jìn)HHO算法，F(xiàn)LHHO獲得更高的求解精度和穩(wěn)定性，這進(jìn)一步說明了FLHHO改進(jìn)策略的優(yōu)越性。

3.3 與其他群智能算法的對(duì)比分析

將FLHHO與HHO[6]、鯨魚算法[1](WOA)、自適應(yīng)灰狼算法[23](IGWO)和麻雀搜索算法[5](SSA)進(jìn)行比較。為了顯示公平性，將各算法的迭代次數(shù)T設(shè)置為500，種群數(shù)量N設(shè)置為30，算法空間維度D為30。各算法在函數(shù)F1～F4、F7～F8和F13上的收斂曲線對(duì)比圖如圖3～圖9示。FLHHO算法在求解大多數(shù)函數(shù)上均表現(xiàn)出色，其收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他群智能算法和HHO，特別是在求解單峰函數(shù)上，HHO和其他算法還未收斂時(shí)，F(xiàn)LHHO就迅速找到理論上的最優(yōu)值。我們可以從圖7看出，各算法在求解F7時(shí)，都未能達(dá)到理想值，但FLHHO的尋優(yōu)精度最高且收斂速度最快，HHO次之，IGWO的尋優(yōu)精度最低，SSA的收斂速度最慢。

圖3 F1收斂曲線圖

圖4 F2收斂曲線圖

圖5 F3收斂曲線圖

圖6 F4收斂曲線圖

圖7 F7收斂曲線圖

圖9 F13收斂曲線圖

此外，從圖8可以看出，F(xiàn)LHHO在求解多峰函數(shù)F8方面取得了較快的收斂速度，但其求解精度和HHO大致相同。從圖9的多峰函數(shù)F13收斂曲線可以看出，F(xiàn)LHHO在解決復(fù)雜問題方面上的效果明顯優(yōu)于其他算法，雖然可能會(huì)陷入局部最優(yōu)狀態(tài)，但可以看出，新提出的FLHHO的求解精度和收斂速度都高于其他算法。FLHHO在一些函數(shù)上遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于原始的HHO，因?yàn)樗鼘?shí)現(xiàn)了特別高的求解精度和求解速度。這些曲線進(jìn)一步說明了本文提出的FLHHO算法的有效性。

圖8 F8收斂曲線圖

3.4 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

Wilcoxon秩和檢驗(yàn)是一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法，本文使用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)來比較ISSA算法與HHO、MHHO、HHODE、IGWO和SSA算法之間是否有顯著性區(qū)別的差異。表4列出了Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果P<0.05時(shí)，結(jié)果判斷S用“+”表明FLHHO的結(jié)果有明顯改善，顯著性高于其他算法；當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果P>0.05時(shí)，S用“-”表明FLHHO的結(jié)果較差，無法進(jìn)行顯著性判斷時(shí)S用“＝”表示。

秩和檢驗(yàn)測(cè)試是基于30次獨(dú)立運(yùn)行進(jìn)行的，每次運(yùn)行最多進(jìn)行300次迭代，可以從表4明顯看出，F(xiàn)LHHO算法除了與HHO算法、MHHO算法和HHODE在F10函數(shù)和F11函數(shù)上無法進(jìn)行顯著性判斷外，對(duì)于其他算法不管是在單峰函數(shù)和多峰函數(shù)上的檢驗(yàn)結(jié)果，結(jié)果判斷S都為+。這說明相比HHO、MHHO、HHODE、IGWO和SSA，F(xiàn)LHHO更具有顯著性優(yōu)勢(shì)。

表4 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果

3.5 求解CEC 2017函數(shù)測(cè)試問題

CEC2017是最新的基準(zhǔn)函數(shù)集，包括單峰函數(shù)、簡(jiǎn)單多峰函數(shù)、混合函數(shù)和組合函數(shù)[20]。其中F1～F3為單峰函數(shù)，F(xiàn)4～F10為簡(jiǎn)單多峰函數(shù)，F(xiàn)11～F20為混合函數(shù)，F(xiàn)21～F30為組合函數(shù)。參數(shù)詳細(xì)信息見文獻(xiàn)[20]。通過求解C2017，將FLHHO與HHO、鯨魚算法[1](WOA)、自適應(yīng)灰狼算法[23](IGWO)和麻雀搜索算法[5](SSA)的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行比較，測(cè)試結(jié)果如表5所示(空間維度D＝30)。

表5 CEC2017測(cè)試函數(shù)的性能比較

續(xù)表5

可以從表5可知，相比其他四種，在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)上FLHHO獲得更高的尋優(yōu)能力，且穩(wěn)定性也高于大多數(shù)算法?？梢詮钠骄岛头讲羁闯?，在25個(gè)函數(shù)上，F(xiàn)LHHO的測(cè)試結(jié)果是優(yōu)于HHO和WOA，在求解18個(gè)測(cè)試函數(shù)上，F(xiàn)LHHO的測(cè)試結(jié)果優(yōu)于IGWO，在求解20個(gè)函數(shù)上，F(xiàn)LHHO優(yōu)于SSA。按總的排名來說，F(xiàn)LHHO排第一，IGWO次之，WOA最后。并且對(duì)于求解單峰函數(shù)F1～F3，相對(duì)其他算法FLHHO表現(xiàn)出更高的尋優(yōu)精度，在多峰函數(shù)F4～F10上，除了在F4上的尋優(yōu)精度略低于IGWO和SSA，其他函數(shù)上都表現(xiàn)最優(yōu)，這表明FLHHO能更好地平衡勘察和開發(fā)，避免陷入局部陷阱。對(duì)于混合函數(shù)，F(xiàn)LHHO在F12、F13、F18、F20和F21獲得更高的求解精度，對(duì)于其他函數(shù)表現(xiàn)一般。對(duì)于組合函數(shù)，F(xiàn)LHHO僅在F25和F27上表現(xiàn)最優(yōu)，這說明在組合函數(shù)上，F(xiàn)LHHO還有提升空間。

4 FLHHO算法在工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)中的應(yīng)用

工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)(IIOT)是指將采集到的數(shù)據(jù)通過網(wǎng)絡(luò)傳輸或處理，并不斷將其應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)的各個(gè)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)工業(yè)智能化[24]。相對(duì)傳統(tǒng)物聯(lián)網(wǎng)，工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)(IIOT)需要連接更多的傳感器設(shè)備，還需要處理海量數(shù)據(jù)，通信業(yè)務(wù)量的增加易造成了各種能量的大量消耗，因此，未來的網(wǎng)絡(luò)必須滿足工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)的各種需求，例如頻譜、功率和成本[25]，頻譜稀缺會(huì)到影響工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)的服務(wù)質(zhì)量(QoS)。因此，基于認(rèn)知無線電的工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)傳感器網(wǎng)絡(luò)可以很好地解決工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)中頻譜利用率低的問題，大大降低能耗。

本文結(jié)合認(rèn)知工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)(CIIOT)的概念，針對(duì)大多數(shù)算法過于早熟，不易處理高維問題，導(dǎo)致頻譜分配的能量效率不高的問題，將FLHHO算法應(yīng)用到工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)傳感器網(wǎng)絡(luò)的頻譜分配中去，為認(rèn)知工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)傳感器網(wǎng)絡(luò)用戶尋找最佳頻譜分配方案。

在工廠場(chǎng)景中隨機(jī)分布著主用戶(PU)和次用戶(SU)，IIOT中的傳感器節(jié)點(diǎn)可以被作為是IIOT傳感器網(wǎng)絡(luò)中的用戶，并且存在主基站(PBS)和認(rèn)知基站(CBS)，它們都有各自的覆蓋范圍，通過在IIOT傳感器網(wǎng)絡(luò)中融合認(rèn)知無線電技術(shù)，使主次IIOT傳感器網(wǎng)絡(luò)用戶實(shí)現(xiàn)頻譜資源共享，大幅度提升頻譜資源利用率。采用集合ρ＝{1，2，…，N}表示認(rèn)知用戶，集合R＝{1，2，…，M}表示主用戶。將頻譜分配[26]映射到種群中每只哈里斯鷹的位置，算法迭代結(jié)果中的最優(yōu)種群解對(duì)應(yīng)于頻譜分配的能量效率，其中，能量效率的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式中:r n為次用戶的效益值，P n是傳輸功率，h n，m用來表示當(dāng)h n，m＝1表示信道m(xù)可以認(rèn)知用戶n占用，en，m表示IIOT傳感器網(wǎng)絡(luò)用戶n占用頻譜m所得到的效益，w表示帶寬，SINR表示信噪比，pnoise表示噪聲功率，s表示信道增益，A服從瑞利分布，PL()表示路徑損耗，N表示認(rèn)知用戶數(shù)，M表示可用信道數(shù)。

考慮到現(xiàn)實(shí)中的功率傳輸和用戶在通信過程中會(huì)產(chǎn)生路徑損耗等問題，根據(jù)文獻(xiàn)[27]，定義用戶的路徑損耗模型如式(32)所示:

式中:d n表示IIOT傳感器網(wǎng)絡(luò)用戶n到CBS的距離，d0是參考距離，ν是發(fā)射頻率波長(zhǎng)，μ是路徑損耗因子，φ是陰影參數(shù)。

因?yàn)镃BS和PBS的覆蓋范圍交叉重疊會(huì)產(chǎn)生干擾，為了有效降低干擾的影響，本文采用基于接受信噪比的閉環(huán)功率控制算法來調(diào)整發(fā)射功率，閉環(huán)功率控制的數(shù)學(xué)表達(dá)式如(33)所示:

式中:ζ為路徑補(bǔ)償參數(shù)，Pmax表示最大傳輸功率，P0表示用戶特定的額定參數(shù)，f(λi)會(huì)根據(jù)當(dāng)前用戶SINR對(duì)發(fā)射功率進(jìn)行調(diào)動(dòng)，當(dāng)SINRSINRhigh時(shí)，f(λi)＝-1下調(diào)用戶的發(fā)射功率；當(dāng)SINR≥SINRlow并且SINR≤SINRhigh時(shí)，f(λi)＝0，對(duì)用戶的發(fā)射功率不做調(diào)整。

為了驗(yàn)證FLHHO算法在頻譜分配上的有效性，將FLHHO算法與HHO算法[6]、麻雀搜索算法算法[5](SSA)作比較。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如表6所示。

表6 仿真參數(shù)設(shè)置

圖10為三種不同算法的能量效率對(duì)比圖，可以從圖10看出，能量效率值會(huì)隨著迭代次數(shù)的增大而增大，其中FLHHO的能量效率最大，HHO次之，SSA最差，雖然同為最近兩年新提出來的群體智能算法，HHO算法在處理工程問題上的優(yōu)越性明顯強(qiáng)于SSA算法。圖11為在不同的信噪比上限值條件下的平均能量效率變化趨勢(shì)圖，當(dāng)SINR上限值逐漸增大時(shí)，平均能量效率會(huì)隨之增加，F(xiàn)LHHO的平均能量效率增長(zhǎng)最快，HHO次之，SSA的平均能量效率較兩者相差過大，故在圖中呈直線趨勢(shì)。由此可知，SINR上限值可以影響用戶的平均能量效率，并且當(dāng)參數(shù)設(shè)置越高時(shí)，平均能量效率也就越高，但SINR上限值設(shè)置過高會(huì)導(dǎo)致用戶受到過大的干擾，從而減弱通信性能。

圖10 不同算法能量效率對(duì)比圖

圖11 不同信干噪比下的平均能量效率

5 結(jié)論

針對(duì)HHO算法在優(yōu)化過程中缺乏勘探和開發(fā)階段之間的平衡的問題，本文提出一種基于混沌透鏡成像學(xué)習(xí)的哈里斯鷹算法(FLHHO)，在生成種群階段，引入Fuch混沌策略，豐富種群多樣性，然后將黃金正弦策略用在探索階段擴(kuò)展搜索空間，提高哈里斯鷹算法的平衡能力。最后將混合透鏡成像學(xué)習(xí)和柯西變異策略引入到哈里斯鷹最佳位置，來提高麻雀的收斂速度和尋優(yōu)精度，在勘探和開發(fā)趨勢(shì)之間建立合理的平衡。為了進(jìn)一步說明所提出的FLHHO算法性能的優(yōu) 越 性，將FLHHO與HHO、QRHHO、MHHO、HHODE、HFPSO、IGWO、WOA和SSA進(jìn)行比較，并驗(yàn)證三種改進(jìn)策略對(duì)FLHHO的有效性，利用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)、Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和CEC2017函數(shù)來驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，F(xiàn)LHHO的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)明顯優(yōu)于其他算法，并且在求解精度、穩(wěn)定性和避免局部極值方面展示了較高的優(yōu)越性。此外，將FLHHO算法應(yīng)用到CIIOT頻譜分配優(yōu)化中，以能量效率為評(píng)價(jià)指標(biāo)與HHO和SSA進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，F(xiàn)LHHO優(yōu)于其他算法，可獲得更高的能量效率。