施江濤

[上海市政工程設計研究總院（集團）有限公司，上海市200092]

0 引 言

1 概 述

對無限長板帶對位荷載下的應力分布的研究有助于進一步理解和解決長條形板式結構（如橋梁結構）等的橫向計算問題。其等效加載模式（平面應力問題）（見圖1）也類似條形基礎下的下臥剛性層的軟土地基受力問題（平面應變問題）[1]，只需將彈性模量和泊松系數(shù)進行代換，即可將平面應力問題的解轉化為平面應變問題的解。

圖1 對位荷載下的無限長板帶及其等效形式

該問題在工程上通常用應力擴散角法進行近似計算。但應力擴散角（通常取值22°、30°、45°等）的取值沒有統(tǒng)一的標準。單一的應力擴散角取值會引起較大的應力計算誤差，導致計算出來的應力過大或過小，從而引起材料浪費或者使工程處于嚴重不安全狀態(tài)。

本文首先用復變函數(shù)法導出無限長板帶對位荷載下的應力理論解，通過應力有效分布寬度的概念導出無限長板帶對位荷載下的簡化應力計算公式。

2 理論解的導出

對于圖1的平面應力問題，根據(jù)彈性力學的復變函數(shù)理論，應力可由兩個復變函數(shù)的解析式導出[2]：

其中邊界條件為：

取應力函數(shù)形式如下：

代入邊界條件后得到應力函數(shù)：

具體措施為：由各個電力調度公司建立屬于本公司的運行數(shù)據(jù)采集、交換和共享系統(tǒng)，然后將這些系統(tǒng)以鏈接的方式輸送到公共信息共享平臺。實現(xiàn)信息的分區(qū)域、分類型、分層次管理。如，建立專屬華北地區(qū)的電力調度信息共享平臺，根據(jù)電力調度設備類型的不同，實行一次設備的數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控和二次設備的數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控的分層管理。

最終解得：

3 理論解的驗證

在圖1的模型中，取a=39.5 m，b=6 m，q=（300/b）MPa。Y向長度取450 m，建立ANSYS計算模型，計算得到X向正應力見圖2、圖3。

有限元結果選取了x=a/2和x=a/4，y∈[-24，24]范圍內的計算結果，并與理論計算結果對比，兩者基本上重合。理論公式得到驗證。

4 簡化計算方法的得出

工程應用上對荷載方向的最大正應力σx較為關心（也用來作為關鍵位置的變形計算），故以下對y=0處板帶范圍內的正應力σx提出簡化計算方法。

簡化計算方法以有效分布寬度的概念為基礎，若x=x0處的有效計算寬度為Beff，則x=x0，y=0處的應力為：

對x=x0處的有效計算寬度根據(jù)下式得出：

4.1 關鍵點的有效分布寬度

首先尋求對x=a/2、x=a/4和x=0處的有效分布寬度通用計算公式。顯然，x=0處，

當x=a/2時，分 別 取x=5、x=10、x=30、x=50、x=70、x=100，b取a/100～a,按第2節(jié)得出的理論公式代入第4節(jié)Beff的定義式中，并用二次函數(shù)對Beff進行函數(shù)擬合得出Beff（b）。

從表1中，容易得出x=a/2時的擬合式。同理，可得出當x=a/4時的擬合式。

?

經誤差分析，上述Beff的擬合式對理論解的誤差在2%以內。

4.2 通用有效分布寬度

有了關鍵點的有效分布寬度后，對x=0～a/2范圍內有效分布寬度簡化式的分析。

由于對稱性，有效分布寬度Beff（x）應當對于x=a/2對稱，故

另外，由x=0、a/4和a/2關鍵點的有效分布寬度計算式，根據(jù)有效寬度分布線型，選擇4次多項式可對有效分布寬度進行很好的擬合。設

將以上5式代入，解得上式中各參數(shù)值。

上式對當b≥a/10時，x∈[0，a/2]范圍內誤差精度能在5%以內，依然采用第3節(jié)的模型進行驗證，見圖5。

圖5 式（1）簡化式與理論解的對比圖

當b＜a/10時，在x∈[0，a/4]范圍內誤差就會超過5%，且b值越小，誤差越大。在x∈（a/4，a/2]范圍內精度依然很好，可控制在2%范圍內。故對b＜a/10時，在x∈[0，a/4]范圍內的某些固定點（x=a/40、a/20、a/10、a/4）采用4.1節(jié)同樣的方法進行分析，結果如表2所示。對其之間的x值可進行分段線性插值。

表2 有效分布寬度分段插值表[式（2）]

依然采用第3節(jié)的模型對x∈[0，a/4]范圍內的應力進行驗證，見圖6[對x∈[a/4，a/2]范圍內的計算結果采用的是式（1）]。計算結果顯示，該分段計算方法計算精度較高，誤差可控制在5%以內。

圖6 式（2）簡化式與理論解的對比圖

根據(jù)上述有效寬度計算式，得出不同板寬中心處的有效分布寬度和荷載擴散角，見表3。

表3 不同板寬中心處的有效寬度和荷載擴散角

從表3看出，當荷載范圍一定、板寬變化時，其中心處的荷載擴散角是不一樣的，且變化較大，不能用統(tǒng)一的荷載擴散角進行應力的簡化計算。

5 結論

用復變函數(shù)法得出無限長板帶對位荷載下的應力計算公式，然后通過應力有效分布寬度的概念，導出無限長板帶對位荷載下的簡化應力計算公式，分為兩種情況：

（1）當b≥a/10，x∈[0，a/2]時；當b＜a/10，x∈[a/2，a/4]時，采用式（1）。

（2）當b＜a/10，x∈[0，a/2]時，采用式（2）。

將以上公式與有限元和理論計算結果進行對比，顯示其最大誤差可控制在5%以內。從初步的應用結果可看到，不同板寬的應力擴散角是不一樣的，不能用統(tǒng)一的荷載擴散角進行應力的簡化計算。