蓋爾圓的性質(zhì)及其應(yīng)用 ①

張仙鳳

(朔州師范高等專科學(xué)校 數(shù)計(jì)系，山西 朔州 036002)

0 引 言

力學(xué)、工程學(xué)中特別多的難題，都與數(shù)學(xué)中的特征值問(wèn)題緊密相連。矩陣特征值問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)科及相關(guān)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。1931年Gerschgorin提出了著名的蓋爾圓定理，使得高階矩陣特征值估計(jì)變得可能。特征值估計(jì)是許多領(lǐng)域的特點(diǎn)，在諸多領(lǐng)域起著非常重要的作用。雍龍泉提出線性代數(shù)中增加蓋爾圓定理的思考。本文中，蓋爾圓相關(guān)定理與特征值的相似不變性巧妙結(jié)合，將矩陣中的蓋爾圓放大或縮小，使得矩陣的蓋爾圓盤變成獨(dú)立的圓，使得對(duì)特征值估計(jì)進(jìn)一步精確。同時(shí)對(duì)矩陣是否可對(duì)角化問(wèn)題、矩陣的正定問(wèn)題及是否為奇異矩陣的問(wèn)題，做出判斷。

1 基本概念

定理2：由矩陣B的所有蓋爾圓組成的連通部分中，連通的蓋爾圓個(gè)數(shù)等于B的特征值個(gè)數(shù)。(蓋爾圓相重時(shí)按重復(fù)計(jì)數(shù))。兩個(gè)(或兩個(gè)以上)蓋爾圓中，任兩點(diǎn)都可以用該范圍內(nèi)的一條折線連接起來(lái)，則這兩個(gè)(或兩個(gè)以上)蓋爾圓就是一個(gè)連通的部分[1]。

2 基本性質(zhì)

性質(zhì)1：矩陣B有n個(gè)不同為特征值λi(i=12,…,n)，則B可對(duì)角化[2]。

性質(zhì)2：相似矩陣有相同特征值[2]。

性質(zhì)3:設(shè)B=(bij)∈Cn×n,若對(duì)所有i≠j,則|bii||bjj|>Ri(B)Rj(B)?detB≠0[3].

性質(zhì)4：B=(bij)∈Cn×n，D=(dij)∈Rn×n，若dij≥|bij|(i=1,2,…,n)，則對(duì)B的任一特征值必有i，使得[ρ(D)表示D的譜半徑]，dij≥|bij|?|λ-bii|≤ρ(D)-dii[3]

性質(zhì)5：如果利用相似變換，矩陣D某蓋爾圓被變大，則其它蓋爾圓將會(huì)變小或不變；反之，則除它以外的蓋爾圓會(huì)被放大或不變。

證明：由性質(zhì)2，可構(gòu)造對(duì)角F=diag(ε1,ε2,…,εn)

若εi>0(i=1,2,…,n).將矩陣B=(bij)∈Cn×n可寫成如下形式：

上市公司內(nèi)部沒(méi)有科學(xué)、系統(tǒng)的監(jiān)督管理系統(tǒng)。監(jiān)督機(jī)構(gòu)沒(méi)有履行自己的審查與監(jiān)督責(zé)任，導(dǎo)致信息披露工作無(wú)法開(kāi)展，效果不佳，直接影響了信息披露與審計(jì)工作效果。

3 蓋爾圓盤應(yīng)用

3.1 對(duì)角化判別

階數(shù)不高的矩陣對(duì)角化問(wèn)題比較容易，但對(duì)于n階甚至有未知文字的矩陣，此時(shí)對(duì)于特征值、特征向量的判斷難度很大。

例1：證明矩陣B能夠?qū)腔?/p>

分析：該矩陣為n階方陣，對(duì)于求特征值、特征向量難度較大，假如令n=10n或30，利用計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件，可求得相應(yīng)矩陣的特征值分布圖，顯然是實(shí)數(shù)，且互不相同，但怎樣證明？

3.2 特征值估計(jì)

對(duì)于階數(shù)比較大的矩陣(例如256×256的圖像)，若det(E-B)=0是非常繁瑣的。對(duì)于生活實(shí)際及工程、力學(xué)中的高階矩陣，對(duì)于耗時(shí)耗力的求精確的特征值真的沒(méi)有必要?？梢詫?duì)高階矩陣的特征值進(jìn)行估計(jì)，當(dāng)其蓋爾圓范圍足夠小，則估值就足夠精準(zhǔn)。這一過(guò)程對(duì)于所依賴的蓋爾圓，只要其分離的合適，各個(gè)蓋爾圓彼此獨(dú)立，每個(gè)蓋爾圓恰好含有一個(gè)特征值，這樣特征值的范圍就比較精準(zhǔn)。

放縮蓋爾圓的對(duì)角陣如何取？常常用如下關(guān)系：D=FBF-1對(duì)角矩陣D的選取，常用如下準(zhǔn)則：變大第i個(gè)蓋爾圓，則取di>1，其余dj=1(i≠j)；變小第i個(gè)蓋爾圓，則取di<1，其余dj=1(i≠j).用來(lái)放縮的di≠1，直接作用于B的第i行的非主對(duì)角元素，當(dāng)放縮第i個(gè)蓋爾圓，同時(shí)也會(huì)不同程度放縮其它蓋爾圓。

例2：估計(jì)矩陣

解：B的4個(gè)蓋爾圓為：|Z-1|≤0.1+0.2+0.3=0.6；|Z-3|≤0.5+0.1+0.2=0.8；|Z+1|≤1+0.3+0.5=1.8；|Z+4|≤0.2+0.3+0.1=0.6,B的特征值全部都在如下這四個(gè)蓋爾圓內(nèi)，畫在復(fù)平面上的圖：孤立的蓋爾圓G2和G4各是一個(gè)連通部分，對(duì)于蓋爾圓G1和G3是一個(gè)連通的關(guān)系，該例子中共有三個(gè)連通部分。

圖1 例2對(duì)應(yīng)的蓋爾圓

3.3 分離蓋爾圓，將范圍重疊的特征值隔離

例3：估計(jì)矩陣B的特征值，這里

圖2 例3對(duì)應(yīng)的蓋爾圓(分離前)

圖3 例3對(duì)應(yīng)的蓋爾圓(分離后)

易見(jiàn)，這是3個(gè)孤立蓋爾圓，B與D的特征值相同，且特征值在這三個(gè)蓋爾圓中，注G3′中特征值就是G3中特征值，所以B的3個(gè)特征值分別位于G1′,G2′,G3′之中。通過(guò)蓋爾圓理論來(lái)劃分特征值區(qū)域，隔離特征值，將特征值隔離到較小范圍內(nèi)，提高估計(jì)特征值的準(zhǔn)確率。

3.4 正定判定

設(shè)B是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，在理論上，當(dāng)實(shí)數(shù)t足夠大，tE+B就正定。

3.5 利用蓋爾圓性質(zhì)判別矩陣奇異性

解：R1(B)=2.1,R2(B)=2.8，R3(B)=2.6，|a11||a22|=6>2.1×2.8=R1(B)·R2(B)；；|a11||a33|=6>2.1×2.6=R1(B)·R3(B);|a22||a33|=9>2.8×2.6=R2(B)·R3(B)

根據(jù)性質(zhì)3，可得detB≠0，即B為非退化矩陣。

本文利用蓋爾圓相關(guān)性質(zhì)，對(duì)不易求特征值的矩陣，利用矩陣某蓋爾圓被放大，其它蓋爾圓被縮小或不變；矩陣某蓋爾圓被縮小，其它蓋爾圓被放大或不變的性質(zhì)，估計(jì)特征值的范圍。在一定程度上，也可以估計(jì)非齊次特征值的范圍。利用蓋爾圓還可以處理矩陣對(duì)角化問(wèn)題，還可以分析矩陣正定時(shí)參數(shù)的取值范圍。蓋爾圓的相關(guān)理論在矩陣擾動(dòng)分析及優(yōu)化理[4-5]中有重要的應(yīng)用前景。