一類非線性系統(tǒng)模糊自適應(yīng)固定時(shí)間量化反饋控制

王煥清 陳 明 劉曉平

量化控制問題一直以來受到很多學(xué)者的廣泛關(guān)注,作為網(wǎng)絡(luò)控制中不可或缺的重要環(huán)節(jié),旨在通過量化器把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為在有限集中取值的分段信號(hào).尤其隨著數(shù)字設(shè)備性能的提高及網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的應(yīng)用和發(fā)展,量化控制已然成為解決網(wǎng)絡(luò)化控制問題最有效的方法之一.

近年來,非線性系統(tǒng)的量化控制問題成為了一個(gè)新的研究熱點(diǎn)[1].文獻(xiàn)[2]針對(duì)一類非線性系統(tǒng),提出了一種對(duì)數(shù)量化反饋控制器設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[3]探討了一類非線性離散系統(tǒng)的量化反饋控制問題,利用具有可數(shù)個(gè)固定控制輸入的方法,解決了用“可數(shù)”去鎮(zhèn)定“不可數(shù)”問題.在文獻(xiàn)[4]中,基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式研究了包含均勻量化器的非線性系統(tǒng)的一致有界穩(wěn)定問題.文獻(xiàn)[5-6]針對(duì)具有量化輸入的非線性系統(tǒng),研究了自適應(yīng)控制問題.

在工程實(shí)踐中,系統(tǒng)的暫態(tài)性能是非常重要的.一般來說,為了提高生產(chǎn)效率,要求系統(tǒng)滿足一定的快速性.如調(diào)節(jié)時(shí)間不能太短,容易造成系統(tǒng)機(jī)械沖擊,影響設(shè)備使用壽命;反之,調(diào)節(jié)時(shí)間也不易過長(zhǎng),影響生產(chǎn)效率.固定時(shí)間控制是一種改善系統(tǒng)暫態(tài)性能的有效控制策,保證系統(tǒng)具有快速收斂性的同時(shí),收斂時(shí)間存在確定上界,且與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān).文獻(xiàn)[7]在最早的研究中首次提出了固定時(shí)間穩(wěn)定的概念.基于此,文獻(xiàn)[8-9]研究了非奇異固定時(shí)間控制問題,給出了固定時(shí)間收斂控制器的設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[10]針對(duì)一類具有模型不確定性和外部擾動(dòng)的時(shí)變非線性系統(tǒng),研究了固定時(shí)間收斂特性的終端滑?？刂茊栴}.文獻(xiàn)[11]研究了具有輸出受限多輸入多輸出非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)固定時(shí)間控制問題.當(dāng)前,隨著對(duì)模糊控制/神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究的不斷深入,非線性系統(tǒng)自適應(yīng)模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相關(guān)成果不斷涌現(xiàn),尤其利用反演控制算法,設(shè)計(jì)了很多不同的自適應(yīng)控制算法解決非線性系統(tǒng)控制問題[12-15].

上述文獻(xiàn)提出的方法有效地解決了某些特定非線性系統(tǒng)控制問題,然而針對(duì)非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制尚有研究空間.例如,針對(duì)非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)固定時(shí)間量化反饋控制,成果不多.因此,受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文將固定時(shí)間控制、量化反饋控制及模糊控制等相結(jié)合,基于李雅普諾夫有限時(shí)間穩(wěn)定理論和反演控制算法,研究具有遲滯量化器的非線性系統(tǒng)實(shí)際固定時(shí)間量化反饋控制問題.擬解決如下問題:1) 針對(duì)一類嚴(yán)格反饋不確定非線性系統(tǒng),提出一種使系統(tǒng)實(shí)際固定時(shí)間穩(wěn)定的控制策略,能夠保證系統(tǒng)的跟蹤誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂于原點(diǎn)的一個(gè)很小鄰域內(nèi),且收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān);2) 針對(duì)具有遲滯量化器的非線性系統(tǒng),利用反演控制算法,基于李雅普諾夫有限時(shí)間穩(wěn)定性理論,設(shè)計(jì)模糊自適應(yīng)量化反饋控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)均有界.最后,通過一個(gè)仿真示例驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性.

1 系統(tǒng)描述及預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)

其中,(t)=[x1(t),···,xi(t)]T∈Ri,i=1,···,n,y(t)∈R分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量及輸出變量;gi(·),fi(·)為原點(diǎn)鄰域內(nèi)未知光滑非線性函數(shù).

為了增加新的量化水平、避免量化信號(hào)的快速切換及抖振問題,本文選取如下遲滯量化器[16]

本文的控制目標(biāo)為:確定區(qū)間Ω={0,±uj,±uj(1+δ)}和控制輸入u(t),使得量化反饋控制器Q(u(t))確保系統(tǒng)的跟蹤誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂于原點(diǎn)的一個(gè)很小鄰域內(nèi),并且閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)實(shí)際固定時(shí)間穩(wěn)定.

根據(jù)文獻(xiàn)[17],量化輸入Q(u(t)) 可以描述為

且滿足如下條件

1.2 預(yù)備知識(shí)

下面的定義、引理及假設(shè)對(duì)系統(tǒng)自適應(yīng)實(shí)際固定時(shí)間量化反饋控制起了重要作用.

定義1[18].考慮系統(tǒng)

其中,x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,f(·)為光滑非線性函數(shù).若系統(tǒng)(6)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定,若存在有限收斂時(shí)間Ts(x0),對(duì)于所有時(shí)間t ≥Ts,x(t)=0 恒成立,且收斂時(shí)間Ts存在與狀態(tài)變量無關(guān)的確定上界,則該系統(tǒng)是固定時(shí)間穩(wěn)定的.

引理1[18-20].考慮系統(tǒng)(6),若存在正定函數(shù)V(x)及正實(shí)數(shù)μ1,μ2,χ ＞1,0＜? ＜1,滿足

則稱系統(tǒng)(6) 是固定時(shí)間穩(wěn)定的,其收斂時(shí)間為

進(jìn)一步,若存在正常數(shù)1,1 和0＜＜∞,使得

成立,則該系統(tǒng)是實(shí)際固定時(shí)間穩(wěn)定.

注1.為了證明推導(dǎo)方便,在后面的設(shè)計(jì)過程中,令引理1 中的參數(shù)?=1,χ=0.75,?=2.

引理2[21].對(duì)于x∈R及?ε＞0, 滿足

引理3[19].κi∈R,i=1,···,n及o∈(0,1],有

引理4[11].對(duì)于xi≥0,下列不等式成立

引理5[22].對(duì)于o1＞0,o2＞0,o3＞0,γ1≥0,γ2≥0,γ3≥0,如下不等式成立

引理6[11].對(duì)于任意的?＞0,下式成立

其中,m＞1,n ＞1 且(m-1)(n-1)=1.

引理7[22].函數(shù)f(Z):Rq→R是在緊集 ΩZ中定義的連續(xù)函數(shù),對(duì)于任意常數(shù)τ＞0,存在模糊 邏輯系統(tǒng)WTR(Z)使得

其中,δ(Z)為逼近誤差,W=[w1,w2,···,wl]T∈Rl表示權(quán)值向量,R(Z)=[r1(Z),r2(Z),···,rl(Z)]T,ri(Z)=exp[-(Z-?i)T(Z-?i)/]是模糊基函數(shù)向量,這里,i=1,2,···,l,?i=[?i,1,?i,2,···,?i,l] 是基函數(shù)的中心,ηi是基函數(shù)的寬度.

假設(shè)1[11].系統(tǒng)(1)中的函數(shù)gi(·)(i=1,···,n)有界,即:存在正常數(shù)0,使得

不失一般性,假設(shè)gi(·)為嚴(yán)格正的.

假設(shè)2[11].輸出跟蹤信號(hào)yr(t)及其直到n階導(dǎo)數(shù) 均為連續(xù)有界.

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 設(shè)計(jì)過程

本節(jié)中,應(yīng)用反演算法,在假設(shè)1 和假設(shè)2 下設(shè)計(jì)實(shí)際固定時(shí)間跟蹤控制器.首先,引入如下坐標(biāo)變換

其中,αi-1是虛擬控制律,α0=yr.整個(gè)控制器設(shè)計(jì)過程分n步,具體為:

步驟1.根據(jù)式(1)和式(15),有

考慮如下Lyapunov 函數(shù)

其中,=θ1-,是θ1的估計(jì),r1為大于零的設(shè)計(jì)參數(shù).

它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

其中,δ1(Z1)為逼近誤差,Z1=[x1,yd,].

利用完全平方公式,z1Λ1可以表示為

其中,θ1=‖W1‖2.將式(20)代入到式(18),得到

設(shè)計(jì)第1 個(gè)子系統(tǒng)的自適應(yīng)律和虛擬控制律α1為

其中,a1,K11,K12,κ1,ε1均表示正的設(shè)計(jì)參數(shù),且Sz1定義為

其中cj(j=1,···,n)各系數(shù)由如下方程計(jì)算求得:

注2.上述分析過程僅考慮了當(dāng)|z1|≥ε10的情形.當(dāng)|z1|＜ε10時(shí),通過重復(fù)上述的分析過程,可以得出式(27)中存在一個(gè)有界的附加項(xiàng),其可以看作是式(27)中常數(shù)項(xiàng)σ1產(chǎn)生的一個(gè)微小增量.為了討論方便,在理論分析過程中僅討論|zi|≥εi0的情況.

步驟i(2≤i ≤n-1).考慮第i個(gè)子系統(tǒng),對(duì)zi求導(dǎo)得

定義李雅普諾夫函數(shù)Vi為

計(jì)算Vi的導(dǎo)數(shù),得

根據(jù)完全平方公式,如下不等式成立

其中,θi=‖Wi‖2.

設(shè)計(jì)自適應(yīng)律和虛擬控制αi為

其中,參數(shù)cj的取值與式(25)相同.

根據(jù)式(34)和式(35),得

結(jié)合式(30)～(37),如下不等式成立

步驟n.構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

利用式(15),于是

結(jié)合式(3)和式(40),計(jì)算Vn的導(dǎo)數(shù),得

利用完全公式,式(4)和式(5),如下不等式成立

其中,θn=‖Wn‖2.

將式(42)和式(43)代入式(41),得到

其中,an,Kn1,Kn2,κn,εn均為大于零的設(shè)計(jì)參數(shù),且Szn定義為

根據(jù)式(4),式(46)及引理2,得

將式(45),式(47)和式(49)代入式(44),有

進(jìn)一步,利用Young 不等式[11],可得

將式(51)～(53)代入式(50),有

顯見,o3是大于零的正常數(shù).

利用引理6,容易得到

將式(57)和式(58)代入式(56),得到

至此,控制器設(shè)計(jì)過程結(jié)束.本文的主要結(jié)果可總結(jié)為第2.2 節(jié)中的定理1.

2.2 穩(wěn)定性分析

接下來,基于引理1,對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

定理1.考慮系統(tǒng)(1)在遲滯量化器(2)及滿足假設(shè)1 和假設(shè)2 的條件下,設(shè)計(jì)實(shí)際控制律(46),并采用式(23)和式(34)所描述的虛擬控制律及式(22),式(33)和式(45)表示的自適應(yīng)律,則

1) 被控系統(tǒng)(1)內(nèi)所有信號(hào)均有界;

2) 系統(tǒng)的跟蹤誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂于原點(diǎn)的一個(gè)很小鄰域.

因此,稱該系統(tǒng)是實(shí)際固定時(shí)間穩(wěn)定的.

證明.根據(jù)引理1 和式(60),可知Vn有界,進(jìn)而推出zi,有界.進(jìn)一步,由式(23),(24),(34),(35),(46)和(47),可知αi及u有界.又因?yàn)閦i=xi-αi,可確定xi的有界性.綜上,閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)均有界.

進(jìn)一步,將式(60)變換成如下形式

3 仿真分析

下面將通過如下算例來驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制算法的有效性.考慮如下非線性系統(tǒng)

根據(jù)定理1,設(shè)計(jì)系統(tǒng)(64)自適應(yīng)固定時(shí)間量化反饋控制律.仿真過程中發(fā)現(xiàn),設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇合適與否對(duì)系統(tǒng)性能有較大影響,通過反復(fù)試湊,選擇如下設(shè)計(jì)參數(shù):K11=K12=10,K21=K22=10,a1=a2=10,ε1=ε2=0.01,r1=r2=0.01,τ1=τ2=0.001,κ1=κ2=1;量化參數(shù)選擇如下:δ=0.2,umin=0.1;系統(tǒng)初始條件為x1=0.2,x2=-0.5,=0.4,=0.1.

圖1 表示系統(tǒng)實(shí)際輸出和期望輸出響應(yīng)曲線,圖2 繪制了跟蹤誤差響應(yīng)曲線,從仿真結(jié)果可以看出,,跟蹤誤差收斂于原點(diǎn)的一個(gè)小鄰域內(nèi).圖3～6 分別為系統(tǒng)狀態(tài)x2、控制輸入u、量化輸入Q(u)及自適應(yīng)在固定時(shí)間內(nèi)律的響應(yīng)曲線,表明系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)均是有界的.仿真結(jié)果表明該系統(tǒng)是實(shí)際固定時(shí)間穩(wěn)定的,驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的有效性.

圖1 期望輸出和實(shí)際輸出曲線Fig.1 Trajectories of desired output and practical output

圖2 跟蹤誤差響應(yīng)曲線Fig.2 Response curve of tracking error

圖3 狀態(tài)變量x2響應(yīng)曲線Fig.3 Response curve of x2

圖4 控制輸入 u 響應(yīng)曲線Fig.4 Response curve of control input u

圖5 量化輸出響應(yīng)曲線Fig.5 Response curve of Q(u)

圖6 自適應(yīng)律,響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves of adaptive control law ,

4 結(jié)論

本文針對(duì)具有量化輸入的一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),基于有限時(shí)間Lyapunov 穩(wěn)定理論和模糊控制方法等,研究了非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)實(shí)際固定時(shí)間跟蹤控制問題.所設(shè)計(jì)的控制器能夠保證系統(tǒng)的跟蹤誤差在固定時(shí)間內(nèi)收斂于原點(diǎn)的一個(gè)小鄰域,同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)有界.仿真算例驗(yàn)證了所提控制方案的有效性.值得指出的是,本文所得到的結(jié)果是在假設(shè)控制系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量可測(cè)的前提條件下成立,然而該假設(shè)條件在許多實(shí)際系統(tǒng)中難以滿足.為此,下一步將考慮在狀態(tài)不可測(cè)的條件下,研究基于狀態(tài)觀測(cè)器的固定時(shí)間輸出反饋控制問題.