考慮磁場影響的磁性形狀記憶合金分段線性化超彈性本構(gòu)模型研究

陳 超，陳 鑫，劉 濤，孫 勇，還 毅，唐柏鑒

(1. 蘇州科技大學江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點實驗室，蘇州 215011；2. 江蘇省住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳，南京 210036；3. 江蘇省建筑科學研究院有限公司，南京 210008；4. 中央軍委后勤保障部工程質(zhì)量監(jiān)督中心，北京 100373)

自20 世紀60 年代被發(fā)現(xiàn)以來，傳統(tǒng)形狀記憶合金(Shape Memory Alloy, SMA)的溫控形狀記憶效應(yīng)和超彈性效應(yīng)受到廣泛關(guān)注，其應(yīng)用于醫(yī)療、土木[1?5]、機械工程等領(lǐng)域的研究已較為成熟。隨著對SMA 研究的不斷深入，傳統(tǒng)形狀記憶合金在實際應(yīng)用中的局限性開始顯現(xiàn)。為此，研究人員推測這種形狀記憶效應(yīng)可以通過對馬氏體狀態(tài)下的鐵磁合金施加磁場得到，并著手開始研發(fā)。1996 年，Ullakko 等[6]首次在Ni2MnGa 單晶中獲得0.2%的磁致可恢復(fù)應(yīng)變，磁性形狀記憶合金(Magnetic Shape Memory Alloy，MSMA)的研究開始受到關(guān)注。

MSMA 不僅與SMA 一樣，其變形可以受溫度和應(yīng)力控制，還可以受磁場控制，且具有較大的輸出應(yīng)變。傳統(tǒng)SMA 變形機制主要有馬氏體相變和馬氏體重定向兩種，而MSMA 變形機制則更為復(fù)雜，除馬氏體相變和馬氏體重定向外，還存在磁疇旋轉(zhuǎn)以及疇壁運動兩種與磁性相關(guān)的變形機制。根據(jù)MSMA 變形誘發(fā)條件不同，MSMA 的磁-力耦合變形機制可以總結(jié)為以下四類[7]：1)磁場誘發(fā)馬氏體重定向；2)應(yīng)力誘發(fā)馬氏體重定向；3)磁場誘發(fā)馬氏體相變；4)應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變。

材料本構(gòu)模型既是MSMA 熱-磁-力學內(nèi)在變形機制的重要表征，也是MSMA 走向工程應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。為此，國內(nèi)外學者基于不同的理論、從不同的角度提出了一系列MSMA 磁-力耦合本構(gòu)模型。陳鑫等[8]對已建立的MSMA 本構(gòu)模型進行了綜述，指出統(tǒng)一的、面向工程應(yīng)用的簡化模型有待進一步研究。馮元慧[9]基于熱力學原理，建立了磁性形狀記憶合金的熱-磁-力耦合本構(gòu)模型。Chen 等[10]考慮溫度效應(yīng)，建立了可以描述MSMA在三維加載工況下馬氏體重定向行為的力學模型。LaMaster 等[11]提出了基于熱力學原理的MSMA 連續(xù)介質(zhì)模型，精準描述了MSMA 在任意三維加載下的力學行為。Auricchio 等[12]從晶體學基本原理出發(fā)，考慮三個馬氏體變體，建立了三維單晶唯象本構(gòu)模型，對MSMA 在復(fù)雜加載條件下的馬氏體相變和重定向過程給出了合理的描述及預(yù)測。龔臣成等[13]基于熱力學及能量耗散概念，推導(dǎo)了一種MSMA 的磁-力耦合三維唯象本構(gòu)關(guān)系，通過內(nèi)變量的形式模擬微觀相結(jié)構(gòu)及磁結(jié)構(gòu)的演化，該模型考慮了馬氏體重定向過程及馬氏體逆重定向過程。胡升謀[14]基于實驗數(shù)據(jù)，結(jié)合能量守恒定律與熱力學理論，利用參數(shù)辨識方法，預(yù)測了多場耦合變量曲線，構(gòu)建了MSMA 多場耦合模型。Mousavi 和Arghavani[15]建立了一個能更全面描述MSMA 變形行為的三維宏觀唯象本構(gòu)模型，該模型考慮了三種與磁致應(yīng)變相關(guān)的變形機制，即馬氏體重定向、疇壁運動和磁疇旋轉(zhuǎn)，對MSMA變形機制進行了較為全面的描述。Rogovoy 等[16]建立了一個模型用于描述磁場控制MSMA 變形過程，并利用已有的實驗數(shù)據(jù)對模型進行了驗證。Jafarzadeh 等[17]對MSMA 進行相關(guān)實驗，研究了加載歷史對MSMA 重定向的影響，并在此基礎(chǔ)上建立了一個關(guān)于MSMA 的唯象模型。Bartel 等[18]依賴于能量松弛的概念提出了一種MSMA 本構(gòu)模型框架，用以預(yù)測微觀結(jié)構(gòu)演化。Chen 等[19]進一步改進了其于2014 年提出的相變本構(gòu)模型，并將其應(yīng)用于質(zhì)量-彈簧結(jié)構(gòu)中，分析了Zhang 等[20]發(fā)現(xiàn)的高頻磁場作用下的MSMA 力學行為。Yu 等[21]通過引入內(nèi)部狀態(tài)變量，在熱力學框架下建立了多晶MSMA 的熱-磁-機械耦合模型，該模型論述了磁化過程中發(fā)生的退磁效應(yīng)，并通過相應(yīng)實驗，對模型進行驗證。Shi 等[22]分析了MSMA 磁誘導(dǎo)應(yīng)變的原理及相應(yīng)的本構(gòu)方程，并搭建試驗平臺證明了MSMA 在執(zhí)行器應(yīng)用中的優(yōu)越性。Bartel等[23]基于能量理論建立了MSMA 建?？蚣埽瑱z驗了簡單加載情況下的二維模型，并對較為復(fù)雜的加載情況(非比例雙軸應(yīng)力、正交磁場)進行響應(yīng)預(yù)測。

目前，針對MSMA 建立的本構(gòu)模型大多基于熱動力學、細觀力學等理論，通過嚴密的力學推導(dǎo)獲得，此類模型在理論研究和材料性能精確描述方面存在一定的優(yōu)勢，但往往表達形式復(fù)雜、物理參數(shù)多、參數(shù)標定難、計算效率低等問題，給MSMA 的工程應(yīng)用帶來了一定的困難。因此，如何確定關(guān)鍵參數(shù)，進而在滿足工程精度的基礎(chǔ)上簡化復(fù)雜的理論模型，使其滿足形式簡單、參數(shù)少、效率高等工程應(yīng)用需求，是MSMA 走向工程應(yīng)用的關(guān)鍵之一。

因此，本文將圍繞MSMA 在環(huán)境溫度處于馬氏體相變完成溫度Mf以下時，應(yīng)力誘發(fā)馬氏體重定向的力學行為描述進行研究。Karaca 等[24]、Chen 等[10]和Feigenbaum 等[25]均已對該變形機制進行了理論闡述，本文將在上述研究的基礎(chǔ)上，統(tǒng)計分析Couch 等[26]、劉小雙[27]、Straka 等[28]、Sarawate等[29]的材料試驗數(shù)據(jù)，基于經(jīng)典塑性理論框架，建立考慮磁場影響的MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型，以期準確預(yù)測MSMA 在不同環(huán)境磁場下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。首先，根據(jù)MSMA 超彈性特性，建立其一維分段線性化本構(gòu)模型；隨后，利用塑性理論框架，擴展建立MSMA 多維分段線性化本構(gòu)模型；再根據(jù)試驗數(shù)據(jù)建立基于Logistic 函數(shù)的臨界應(yīng)力-磁場關(guān)系函數(shù)；最后，從滯回曲線和滯回耗能兩個方面對比理論模型與試驗結(jié)果的誤差。

1 超彈性MSMA 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系描述

1.1 完全加卸載下MSMA 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

研究相關(guān)文獻中已有的MSMA 力學性能試驗結(jié)果[30]，結(jié)合已有本構(gòu)模型，考慮對MSMA 受磁場影響的超彈性特性預(yù)測的工程應(yīng)用要求，作如下基本假定：

1)在外部環(huán)境磁場強度和溫度一定的情況下，根據(jù)MSMA 在應(yīng)力作用下的受力特點，完全加載下其各狀態(tài)(完全單一應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體狀態(tài)、應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體、磁場擇優(yōu)取向馬氏體變體相互過渡狀態(tài)以及完全單一磁場擇優(yōu)取向馬氏體變體狀態(tài))一維應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線簡化為四折線形式(圖1)；

圖1 完全加載下MSMA 分段線性化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig. 1 Segment linearized stress-strain relationship of MSMA under fully loading

2) MSMA 始終在最大可恢復(fù)應(yīng)變范圍內(nèi)工作，同時環(huán)境磁場H始終處在馬氏體逆重定向完成磁場以上；

3) MSMA 塑性不可壓縮，忽略重定向及逆重定向過程引起的體積變化；

4) MSMA 發(fā)生馬氏體重定向和逆重定向的臨界應(yīng)力與外部環(huán)境磁場有關(guān)；

5)不考慮MSMA 在外加磁場作用下出現(xiàn)的退磁效應(yīng)。

σs(1,2)σf(1,2)σs(2,1)σf(2,1)

圖1 中：、、、分別為馬氏體重定向開始應(yīng)變和結(jié)束應(yīng)力、馬氏體逆重定向開始應(yīng)力和結(jié)束應(yīng)力。由圖可得臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)變的關(guān)系如下：

1.2 加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下MSMA 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

在加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下，由相關(guān)試驗結(jié)果及MSMA 本構(gòu)模型理論曲線可知：MSMA 重定向及逆重定向過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線接近于直線，為簡化分析，將重定向及逆重定向曲線段簡化為直線段，起始點為重定向開始點，終點為重定向完成點；同樣，將逆重定向曲線段簡化為直線段，起始點為逆重定向開始點，終點為逆重定向完成點。建立MSMA 超彈性分段線性化模型如圖2 所示。

圖2 加載不完全即卸載及卸載不完全即加載情況下MSMA 分段線性化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig. 2 MSMA segment linearized stress-strain relationships for incomplete unloading and incomplete loading

2 MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型

2.1 馬氏體重定向方程

2.2 馬氏體重定向和逆重定向起始面微分方程

在MSMA 在重定向及逆重定向過程中，類比馬氏體重定向誘發(fā)的應(yīng)變?yōu)樗苄詰?yīng)變，則彈性應(yīng)變張量增量和塑性應(yīng)變增量之和為Green-Lagrange應(yīng)變張量，即：

式中：Λmn為重定向張量，在馬氏體重定向及逆重定向過程中值不同；dξσ為應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體的體積百分數(shù)增量，則由式(5)、式(6)、式(7)可得：

為簡化模型表達，且考慮應(yīng)用時磁場方向多平行于晶體的易磁化軸，應(yīng)力方向垂直于晶體易磁化軸，假定MSMA 具有各向同性的物理性質(zhì)。因此，在建立MSMA 簡化力學模型時，選用各向同性屈服面作為判斷重定向起始的依據(jù)，假設(shè)在MSMA 應(yīng)力誘發(fā)馬氏體重定向、逆重定向過程中起始面方程[31]為：

2.3 MSMA 分段線性化多維本構(gòu)模型

將式(8)、式(12)、式(13)代入式(11)，可得：

由式(7)、式(10)和式(23)可得：

2.4 MSMA 超彈性效應(yīng)過程描述

上述本構(gòu)模型可以反映磁場作用下的MSMA超彈性效應(yīng)：當H≥Hf(2,1)時，MSMA 在外力作用下，磁場擇優(yōu)取向馬氏體變體開始發(fā)生彈性變形，當外力增加到某一值時，開始誘發(fā)馬氏體重定向，即磁場擇優(yōu)取向馬氏體變體在外力作用下逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體，這個過程可以由式(22)來描述；當卸載后，由于外部磁場的存在，應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體在無外力作用時無法穩(wěn)定存在，這樣應(yīng)力擇優(yōu)曲線馬氏體又會自動逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌鰮駜?yōu)取向馬氏體變體，于是MSMA 又恢復(fù)到原來的形狀，這個過程可以由式(33)描述。

為判斷材料使用彈性本構(gòu)關(guān)系還是塑性本構(gòu)關(guān)系，定義加卸載準則如下：

3 重定向及逆重定向臨界應(yīng)力確定

為研究MSMA 臨界應(yīng)力和磁場的關(guān)系，Couch 等先后采用線性函數(shù)和多項式函數(shù)[26]對不同環(huán)境磁場下MSMA 臨界應(yīng)力進行預(yù)測。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，進一步對比分析了MSMA 臨界應(yīng)力和磁場的變化關(guān)系，提出采用Logistic 函數(shù)作為臨界應(yīng)力和磁場的關(guān)系函數(shù)，上述函數(shù)具體形式見表1。

表1 臨界應(yīng)力-磁場關(guān)系函數(shù)Table 1 Critical stress magnetic field relation function

利用現(xiàn)有文獻中4 組MSMA 的材性試驗數(shù)據(jù)(材料參數(shù)見表2)，分別對線性函數(shù)、多項式函數(shù)和Logistic 函數(shù)的關(guān)鍵參數(shù)進行擬合。首先，利用4 組試驗數(shù)據(jù)同時對上述3 種函數(shù)進行擬合(圖3)，隨后，分別采用4 組數(shù)據(jù)對上述3 種函數(shù)進行擬合(圖4～圖7)。采用擬合優(yōu)度R2作為反映函數(shù)與數(shù)據(jù)擬合效果的參數(shù)，其值越接近1，表明擬合效果越好，上述擬合過程得到的R2值見圖3～圖7中數(shù)值，其平均值見表3，對比可見：1)對比圖中數(shù)據(jù)點分布，可見臨界應(yīng)力與磁場大小呈顯著的S 形分布，因此采用S 形函數(shù)進行擬合更為合理；2) 3 種臨界應(yīng)力-磁場關(guān)系函數(shù)中，線性函數(shù)擬合效果最差，Logistic 函數(shù)擬合效果最好，單一材料試驗數(shù)據(jù)擬合時，平均R2值可達0.993，多項式函數(shù)擬合效果略差于Logistic 函數(shù)；3)由于不同文獻中的試驗條件和材料略有不同，因此4 組數(shù)據(jù)同時擬合時的效果要明顯差于各組數(shù)據(jù)分別擬合的結(jié)果，Logistic 函數(shù)預(yù)測的各臨界應(yīng)力平均R2值前者為0.945，后者為0.993。上述對比可見，Logistic 函數(shù)用于預(yù)測臨界應(yīng)力-磁場關(guān)系無論從形式上，還是從精度上都相比其余兩個函數(shù)更優(yōu)，擬合后的Logistic 函數(shù)各參數(shù)取值見表4。

表2 文獻試驗數(shù)據(jù)及對應(yīng)材料參數(shù)Table 2 Literature test data and corresponding material parameters

表3 擬合優(yōu)度R2 平均值Table 3 Average value of goodness of fit R2

表4 臨界應(yīng)力表達式參數(shù)Table 4 Parameters of critical stress expression

圖3 四組試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 3 Fitting results of four groups of test data

圖4 Couch[26]試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 4 The fitting results of Couch[26]

圖5 劉小雙[27]試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 5 The fitting results of Liu[27]

圖6 Straka[28]試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 6 The fitting results of Straka [28]

圖7 Sarawate[29]試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig. 7 The fitting results of Sarawate[29]

4 模型數(shù)值模擬精度對比分析

利用本文第3 節(jié)臨界應(yīng)力-磁場關(guān)系函數(shù)，結(jié)合第2 節(jié)建立的MSMA 本構(gòu)模型，根據(jù)表2 所給材料參數(shù)，計算不同磁場下MSMA 滯回曲線，并與試驗結(jié)果進行對比，如圖8～圖11 所示。由圖可見，本文所建立模型的滯回曲線與試驗所得曲線形一致，馬氏體重定向及逆重定向的開始與結(jié)束臨界應(yīng)力接近，即該理論模型能較好的描述MSMA的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

圖8 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與Couch[26]試驗值對比Fig. 8 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Couch[26]

圖9 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與劉小雙[27]試驗值對比Fig. 9 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Liu[27]

圖10 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與Straka [28]試驗值對比Fig. 10 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Straka[28]

圖11 理論模型數(shù)值模擬結(jié)果與Sarawate[29]試驗值對比Fig. 11 Comparison between numerical simulation results of theoretical model and experimental data in Sarawate[29]

進一步，對比分析了各工況下理論和試驗得到的滯回耗能，如圖12 所示，對比可見，理論模型與試驗結(jié)果的滯回耗能較為接近，誤差在6.7%～17.1%，該理論模型能夠一定程度上預(yù)測MSMA的耗能能力。

圖12 模型與試驗滯回耗能及誤差Fig. 12 Hysteretic energy consumptions of model and test

在工程應(yīng)用，滯回曲線和耗能能力是評價MSMA 特性的關(guān)鍵，故本文所建立的分段線性化本構(gòu)模型能夠滿足工程應(yīng)用的精度要求，且

形式簡單直觀，參數(shù)較少，適于模擬工程應(yīng)用中考慮磁場影響的復(fù)雜應(yīng)力條件下MSMA 超彈性特性。

5 結(jié)論

本文基于經(jīng)典塑性理論框架，建立了考慮磁場影響的MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型，該模型具有物理概念明確、形式簡單、參數(shù)少等優(yōu)點，更適用于工程應(yīng)用。主要內(nèi)容和結(jié)論如下：

(1)引入應(yīng)力擇優(yōu)取向馬氏體變體體積分數(shù)作為內(nèi)變量，基于塑性理論框架，構(gòu)建了MSMA 分段線性化超彈性本構(gòu)模型，該模型能夠完成描述不同磁場環(huán)境下的MSMA 超彈性效應(yīng)全過程。

(2)提出了描述馬氏體重定向和逆重定向臨界應(yīng)力與環(huán)境磁場關(guān)系的Logistic 關(guān)系函數(shù)，擬合結(jié)果表明該函數(shù)的擬合優(yōu)度可達0.993，大于線性函數(shù)和多項式函數(shù)的0.897 和0.990，且在形狀上與試驗結(jié)果更為吻合。

(3)對滯回曲線形狀和滯回耗能的數(shù)值模擬對比表明，所建立的本構(gòu)模型能夠較好地預(yù)測MSMA構(gòu)件的力-位移關(guān)系，且理論滯回耗能與試驗的誤差平均僅為11.9%，滿足工程應(yīng)用需求。