一種耦合算法的三維彈性空腔聲振特性分析

文潤旭， 袁麗蕓*， 劉嘉明， 劉麗萍

(1.廣西科技大學機械與交通工程學院， 柳州 545006； 2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點實驗室， 柳州 545006)

彈性空腔結(jié)構(gòu)應(yīng)用在工程中的各個領(lǐng)域，如船舶的船艙、飛機的機艙等，可以進一步簡化為彈性空腔的模型。對于彈性空腔的振動與噪聲問題一直是迫切需要研究人員解決的，提高彈性空腔聲振特性性能是科技前瞻性的研究。有限元法是現(xiàn)如今工程分析中最廣泛的數(shù)值方法，并隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展有限元法受到科技工作者的高度重視并得以應(yīng)用，它具有靈活性、高效性、邊界適應(yīng)性好等特點，并且能夠適應(yīng)于多物理場的數(shù)值分析，如聲固耦合、磁固耦合等。有限元數(shù)值方法的主要思想是通過把問題域離散為若干單元，并將它們的邊界上的結(jié)點相互連接，用近似函數(shù)表示求解域的未知變量，使用變分原理建立求解未知的代數(shù)方程。其中，二維板結(jié)構(gòu)的三角形單元，由于邊界適應(yīng)性強，位移函數(shù)構(gòu)造簡單，計算規(guī)模小，得到了廣泛的應(yīng)用。顧太平等[1]基于直角坐標系的三角形離散網(wǎng)格，采用面積坐標構(gòu)造了薄板三角形單元內(nèi)部任意一點的撓度位移插值函數(shù)。薛俊好等[2]在文獻[1]的基礎(chǔ)上，進一步給出了該三角形板單元的應(yīng)變矩陣計算公式。然而，上述兩篇文獻均缺少進一步的算例分析。由于插值型函數(shù)直接由原始網(wǎng)格生成，當單元網(wǎng)格畸變時，其精度將難以保證，角形板在進行彈性板的動力學問題分析中，具有較好的邊界適應(yīng)性，然而需要進一步處理單元畸變引起的精度較差問題。

針對三維空腔問題，常采用的方法包括有限元法、邊界元法、光滑有限元法等，應(yīng)用廣泛的三維單元包括四面體單元和六面體單元。閔祥斗等[3]利用有限元方法對高速列車車室進行聲固耦合建模，經(jīng)過Ansys軟件仿真預測中低段噪聲。楊年炯等[4]針對駕駛室轟鳴聲問題使用有限元方法對引氣管仿真繼而優(yōu)化，其中在引氣管不平整面采用三角形網(wǎng)格劃分，避免了網(wǎng)格畸變產(chǎn)生的計算誤差。Du等[5]對彈性板為邊界的三維空腔進行了聲振耦合分析，并且使用Rayleigh-Ritz法，基于結(jié)構(gòu)-聲學耦合系統(tǒng)的能量表達式，確定了其低階模態(tài)頻率。白潔[6]采用Galerkin法對三維聲場進行離散，生成四面體單元，車身采用四邊形單元，構(gòu)造了車身三維彈性空腔的有限元耦合模型，采用Virtual Lab獲得了耦合系統(tǒng)的固有頻率。結(jié)果表明在駕駛艙不規(guī)則區(qū)域邊界采用四邊形網(wǎng)格離散，會產(chǎn)生奇異點，從而影響計算精度，甚至發(fā)生不收斂現(xiàn)象。姚昊萍等[7]構(gòu)建了由2塊彈性板和4塊剛性板構(gòu)成的聲-固耦合空腔模型，利用了瑞利-里茨方法求解耦合系統(tǒng)的特征值，使用紐曼邊界條件，分析了空腔內(nèi)的聲壓響應(yīng)，通過算例結(jié)果驗證了此模型解析解與實驗值一致性。戴騰飛[8]應(yīng)用光滑有限元法對柴油機缸蓋內(nèi)外聲學建模，并驗證此方法的可行性。需要指出的是，上述研究中聲場區(qū)域均采用有限元法構(gòu)造聲學剛度矩陣，由于有限元本身的局限性，其剛度矩陣偏硬，因此，計算精度有待進一步的提高。而光滑有限元法在處理聲學問題上具有對剛度“軟化”的作用，逐漸得到了學者們的青睞。郭小斌等[9]總結(jié)了光滑有限元法的類型和優(yōu)點，此方法能夠軟化剛度矩陣、處理體積鎖定問題，應(yīng)用也極其廣泛，其中在聲學的應(yīng)用中具有較高的收斂性和精度。Li等[10]使用光滑有限元法對結(jié)構(gòu)-聲學耦合問題分析，由于板和彈性空腔都是采用光滑有限元法進行模型的建立，所以具有對有限元“過硬”情況軟化的效果，因此比有限元法精度更高，但其彈性板所采用的三角形單元面內(nèi)位移采用了一階剪切變形理論，與橫向位移相關(guān)，仍具有一定的局限性。張智瑯等[11]基于光滑有限元-解耦有限粒子法(smooth finite element method, decoupled finite particle method, SFEM-DFPM)模擬流固耦合問題，能夠解決傳統(tǒng)有限元“過剛”的問題，此耦合方法能有效處理自由液面的流固耦合問題。

綜上所述，目前對彈性空腔的研究多采用有限元法或光滑有限元法進行，其中聲場區(qū)域采用光滑技術(shù)處理可以將聲剛度矩陣進行“軟化”，從而提高計算精度；而彈性板采用4節(jié)點3自由度單元或3節(jié)點3自由的板單元進行離散，面內(nèi)位移與橫向位移相關(guān)，計算精度有待進一步的提高。最近，劉嘉明等[12]用邊光滑有限元進行二維約束層阻尼( constrained layer damping ，CLD)全敷設(shè)矩形腔的聲振分析，并與有限元法比對，具有較好的計算精度，其研究思路可進一步拓展到三維情形?；诖?，擬采用3節(jié)點5自由度的三角形單元對薄板進行離散處理，以便得到邊界適應(yīng)性好、精度較高的薄板有限元模型；再對彈性空腔的聲剛度矩陣進行光滑處理，以軟化聲場剛度矩陣；然后考慮彈性板和空腔的耦合條件，從而得到三維彈性空腔的一種新的聲振耦合模型，并進一步對該類模型的聲振特性進行數(shù)值探討。

1 三維彈性空腔聲固耦合模型

如圖1所示，三維彈性空腔是由聲腔域和柔性板組成，其中頂部采用柔性板，其他五個壁是剛性的，對于此類彈性空腔使用一種新方式組合建模，分別對板進行三角形單元有限元法建模、聲腔域進行光滑有限元建模。下面分別闡述板有限元模型、聲腔域光滑有限元模型，以及三維彈性空腔耦合模型。

圖1 三維彈性空腔耦合模型Fig.1 Three-dimensional elastic cavity coupling model

1.1 薄板有限元模型的建立

針對上述板單元，引入薄板的中面位移向量，即

Δ=[u,v,w,θx,θy]T

(1)

根據(jù)文獻[1]，采用邊界適應(yīng)性較好三角形單元對板結(jié)構(gòu)進行離散。引入面積坐標L1、L2、L3，則單元內(nèi)任意點(xi,yi)的撓度可寫為

(2)

式(2)中：形函數(shù)具體表達為

(3)

(4)

(5)

同時，考慮三節(jié)點三角形單元任意點(x,y)獨立于橫向位移的面內(nèi)位移，即

(6)

由式(2)、式(6)引入形函數(shù)矩陣Ns，即

(7)

為了盡量減少網(wǎng)格畸變所帶來的計算誤差，將采用等參單元進行坐標映射，將物理坐標映射到自然坐標系中進行計算。此時，可將單元內(nèi)部任意點的坐標用節(jié)點坐標和形函數(shù)表達為

L3=1-ξ-η

(8)

用變分法可得板結(jié)構(gòu)的動力平衡方程為

(9)

式(9)中：us為板節(jié)點位移向量；Ms為板質(zhì)量矩陣；Ks為板的剛度矩陣；Fs為結(jié)構(gòu)的節(jié)點等效外部激勵向量；Ffs為流體在流固耦合邊界作用在結(jié)構(gòu)上的節(jié)點等效聲壓向量。其表達式為

(10)

(11)

(12)

(13)

1.2 聲腔域光滑有限元模型的建立

通過標準的伽遼金方法，得到聲腔域Helmholtz方程的加權(quán)殘值弱形式，即

(14)

式(14)中：kω為聲場波數(shù)；ρc為聲場介質(zhì)密度；ΓN為邊界條件。

(15)

采用光滑梯度技術(shù)，聲學問題的光滑聲壓梯度可表示為

(16)

式(16)中：Bfi(x,y)表示光滑梯度矩陣；M為局部光滑域的節(jié)點總數(shù)。

將式(15)和式(16)代入式(14)中，運用變分原理，并通過單元集成分析，可以得到聲學域光滑有限元動力學方程為

(17)

式(17)中：Kf表示聲學光滑剛度矩陣；Mf表示聲學質(zhì)量矩陣；Ff為空腔在邊界處的振動所引起的激勵力向量，其表達式[12]為

(18)

(19)

(20)

1.3 三維彈性空腔聲固耦合方程的建立

在聲腔域板的耦合處，板的振動法向速度會對聲腔產(chǎn)生耦合力，并結(jié)合式(20)，該耦合作用力可以表示為

(21)

結(jié)合式(9)、式(17)可得彈性空腔耦合方程為

(22)

對于自由振動問題，式(22)的右邊激勵力向量為0，代入位移和聲壓邊界條件(一般為0)后，不難獲得該類問題的特征方程為

|K-λM|=0

(23)

式(23)中：K和M是代入邊界條件后，劃掉邊界向量為0時對應(yīng)的各行和各列元素后，整理所得的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。進一步求解得可得耦合系統(tǒng)的固有頻率和振型。

2 數(shù)值算例

2.1 柔性板的模態(tài)分析

為了驗證文中三角形板單元有限元法的準確性及良好的適應(yīng)性，此算例對矩形薄板進行模態(tài)分析，幾何和材料參數(shù)取自參考文獻[10]，該矩形薄板為柔性鋁板，長a=0.4 m、寬b=0.32 m、厚h=0.001 m、彈性模量E=71 GPa、泊松比υ=0.3、密度ρ=2.7×103kg/m3，約束條件采用四邊簡支。

用本文數(shù)值解與文獻[10]中的有限元方法(finite element mothod，F(xiàn)EM)、光滑有限元方法(smoothed finite element mothod，SFEM)數(shù)值進行固有頻率及誤差大小的對比，結(jié)果見表1所示。圖2、圖3則給出了ANSYS和本文所用方法所得簡支板的前兩階振型圖。其中本文方法所得振型圖根據(jù)MATLAB編程所得模態(tài)振型矩陣，代入Tecplot軟件繪制所得。

從表1可知，在低階時，本文數(shù)值算法的計算結(jié)果誤差稍高于SFEM計算結(jié)果，但在中高階時，其誤差低于SFEM計算結(jié)果；本文方法整體上計算結(jié)果誤差小于文獻[10]FEM和ANSYS的計算結(jié)果；此外，圖2、圖3給出了ANSYS和本文所用方法所得簡支板的前兩階振型對比圖，極度相似。綜上，本文數(shù)值算法結(jié)果接近SFEM結(jié)果，并且本文的計算精度比傳統(tǒng)有限元精度高。因此，使用本文數(shù)值算法對板進行模態(tài)分析是精確的，且計算規(guī)模小。

圖2 矩形薄板第一階模態(tài)振型Fig.2 The first mode of the rectangular plate

圖3 矩形薄板第二階模態(tài)振型Fig.3 The second mode of the rectangular plate

表1 四邊簡支矩形薄板前十階固有頻率對比Table 1 Comparison of the first ten natural frequencies of the triangular thin plate

2.2 三維彈性空腔聲振特性分析

為了評估本文方法對三角形單元的薄板理論推導的合理性，進一步考查本文中使用的柔性板有限元建模、聲腔域光滑有限元建模，再進行新耦合方式的合理性，及三角形單元與四面體單元的適應(yīng)性效果，對此分析三維彈性空腔聲固耦合的聲振性能。

本例中，為了跟文獻[10]作對比，封閉矩形空腔的尺寸參數(shù)選為：長為0.4 m、寬為0.32 m、高為0.36 m。板材為鋁制，同算例1中柔性薄板的幾何參數(shù)和物理參數(shù)一致。柔性薄板由三角形網(wǎng)格建模，該簡支板的邊界條件位于邊緣?？涨粌?nèi)的三維空氣是由四面體網(wǎng)格模擬，其空氣的物理參數(shù)：密度ρ=1.225 kg/m3、聲速c=340 m/s，計算得出了由柔性板組合三彈性空腔前十階固有頻率結(jié)果見表2所示。其中，本文模型的網(wǎng)格尺寸為0.04 m,ANSYS有限元網(wǎng)格尺寸為0.02 m。

從表2可知，三維彈性空腔模型固有頻率的對比中SFEM的計算結(jié)果誤差小于ANSYS的計算結(jié)果；本文數(shù)值算法比SFEM計算精度更高，并且更接近參考解，在中高階模態(tài)中計算結(jié)果較明顯；進一步分析圖4、圖5可得，ANSYS和本文所用方法所得三維彈性空腔前兩階振型基本相同。

圖4 三維彈性空腔模型的一階模態(tài)振型Fig.4 The first mode of the three-dimensional elastic cavity model

圖5 三維彈性空腔模型的二階模態(tài)振型Fig.5 The second mode of the three-dimensional elastic cavity model

表2 三維彈性空腔模型前十階固有頻率對比Table 2 Comparison of the first ten natural frequencies of the three-dimensional elastic cavity model

綜上，驗證了FEM與SFEM耦合算法是正確的，并且計算效果較好，說明了在保證計算規(guī)模較小的前提下，本文方法仍具有較好的計算精度。

3 結(jié)論

本文中三維彈性空腔聲固耦合新模型是分別采用三角形單元對板進行有限元建模、光滑有限元法對聲腔域進行光滑處理，再考慮二者的邊界耦合條件進一步建立的。通過與文獻[10]和ANSYS仿真結(jié)果對比可得出以下結(jié)論。

(1)采用3節(jié)點5自由度的三角形單元對薄板進行離散處理計算規(guī)模小，精度足夠。

(2)基于FEM與SFEM耦合算法的聲固耦合模型，計算精度高，規(guī)模也相對較小。

(3)由于采用的三角形板單元具有良好的邊界適應(yīng)性和較小的計算規(guī)模，聲腔域的光滑處理也軟化了聲場域的剛度矩陣，可保證較好的計算精度，本文中所建立的聲振耦合模型可進一步地應(yīng)用于實際工程中形狀更復雜彈性空腔結(jié)構(gòu)的聲振特性分析中。