基于范希爾思維水平理論的高中數(shù)學(xué)主題式教學(xué)研究*
——以“三棱錐”為例

廣東省廣州市清華附中灣區(qū)學(xué)校(510000) 彭紅亮

1 問(wèn)題的提出

某一主題下的一系列知識(shí)按照邏輯關(guān)系和思維層次形成一種層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)體系.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),學(xué)生經(jīng)常感到困難.根據(jù)范希爾思維水平理論可知,學(xué)生的思維水平存在由低到高的五個(gè)層次,分別視覺(jué)(水平1)、分析(水平2)、非形式化的演繹(水平3)、形式化的演繹(水平4)和嚴(yán)密性(水平5)等.通常高中生只能達(dá)到水平4.學(xué)生在思維水平較高的層級(jí)上順利發(fā)展,意味著他已經(jīng)理解和掌握低一級(jí)思維水平上的多數(shù)相關(guān)內(nèi)容.如果學(xué)生的思維水平低于所學(xué)知識(shí)需要的思維水平,他們就會(huì)感到困難.可見(jiàn),教師要用學(xué)生所處的思維層次的語(yǔ)言符號(hào)進(jìn)行教學(xué),便于學(xué)生理解和表達(dá).同時(shí),理清一個(gè)主題下知識(shí)之間的脈絡(luò),根據(jù)學(xué)生的初始思維水平設(shè)置教學(xué)起點(diǎn),然后通過(guò)一系列由易到難的教學(xué)任務(wù),推動(dòng)學(xué)生從一個(gè)水平進(jìn)步到更高的水平,進(jìn)而形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知體系.

2 基于范希爾理論的高中數(shù)學(xué)主題式教學(xué)

思維水平的提升不是一蹴而就,往往要在主題相關(guān)的一系列課中循序漸進(jìn)地達(dá)成.也就是說(shuō),通過(guò)每節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí),為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).學(xué)生在某個(gè)思維水平上積累的知識(shí)越豐富,在更高思維水平上的任務(wù)就越容易完成,所形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)更有序更系統(tǒng).下面就以系列教學(xué)片段“三棱錐”為例進(jìn)行說(shuō)明.

2.1 教學(xué)框架

人教A 版《數(shù)學(xué)2》(必修) 第八章“立體幾何初步”中,“基本立體圖形”“立體圖形的直觀圖”“簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”“空間直線、平面的平行”和“空間直線、平面的垂直”等六小節(jié)中都有以三棱錐為載體的教學(xué)內(nèi)容,可以分解出5 個(gè)跨課時(shí)的系列教學(xué)片段,分別是:三棱錐的結(jié)構(gòu)、三棱錐的直觀圖、三棱錐的表面積和體積、三棱錐與球體的切接問(wèn)題、三棱錐中的平行與垂直關(guān)系.這些教學(xué)片段的具體教學(xué)內(nèi)容、《課標(biāo)(2017年版)》的內(nèi)容要求及需要達(dá)到的幾何思維水平的關(guān)系構(gòu)成了“三棱錐”系列教學(xué)片段教學(xué)框架(見(jiàn)圖1).

圖1 “三棱錐”系列教學(xué)片段教學(xué)框架

下面以教學(xué)片斷1 和教學(xué)片斷5 為例,說(shuō)明如何將學(xué)生的立體幾何思維從水平1 提升到水平4.

教學(xué)片斷1 掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)

三棱錐是最基本的空間圖形之一,是學(xué)習(xí)其他空間幾何體的基礎(chǔ).把三棱錐作為代表性幾何體,設(shè)計(jì)以下幾個(gè)問(wèn)題鏈,幫助學(xué)生將立體幾何思維從水平1 逐層提升到水平3.

(1)達(dá)到水平1

直觀想象能力的水平1 是指學(xué)生能根據(jù)實(shí)物辨認(rèn)出空間圖形,也能根據(jù)空間圖形想象出實(shí)物形狀.課前制作框架型模型,課堂上讓學(xué)生觀察實(shí)物和自己制作的模型,并不斷改變它的位置讓學(xué)生觀察圖形的形狀; 制作幾何畫(huà)板課件,拖動(dòng)各頂點(diǎn)的位置,觀察三棱錐的不同形狀(見(jiàn)圖2).一般先出示學(xué)生比較熟悉的形狀,如圖2 中的圖①、圖②,然后再將圖形變換成比較容易混淆的形狀,提高對(duì)空間幾何體的直觀感知能力.

圖2 不同形狀的三棱錐

語(yǔ)言交流能力的水平1 是指知道空間圖形及其構(gòu)圖要素的名稱及符號(hào)表示;使用三種語(yǔ)言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系;了解空間圖形的不同表示形式.

應(yīng)用問(wèn)題鏈Ⅰ幫助學(xué)生培養(yǎng)直觀想象能力和語(yǔ)言交流能力.

問(wèn)題鏈Ⅰ:

問(wèn)題1:圖2 中的三棱錐有什么共同的特點(diǎn)? 你認(rèn)為怎樣的圖形是三棱錐?

問(wèn)題2:不要求準(zhǔn)確作圖,不要求寫(xiě)做法,根據(jù)自己的模型所擺出的情況模仿畫(huà)出三棱錐.(強(qiáng)調(diào)能看見(jiàn)的輪廓畫(huà)實(shí)線,不能看見(jiàn)的輪廓畫(huà)出虛線.)

問(wèn)題3:根據(jù)你的觀察和你在作圖過(guò)程中的體驗(yàn),請(qǐng)分析三棱錐有幾個(gè)面? 這些面分別是什么圖形?

問(wèn)題4:請(qǐng)舉出生活中的三棱錐實(shí)例.

通過(guò)這樣的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生從整體到局部,再?gòu)木植康秸w進(jìn)行觀察;讓學(xué)生初步嘗試畫(huà)出三棱錐;再讓學(xué)生在生活中找出三棱錐,讓學(xué)生的直觀想象能力和語(yǔ)言交流能力能夠順利達(dá)到水平1.

(2)從水平1 提升到水平2

直觀想象能力的水平2 是指能描述探究簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征,也能根據(jù)結(jié)構(gòu)特征判斷圖形的形狀,形成描述性定義.反過(guò)來(lái),也能簡(jiǎn)單地描述該幾何體的外部特點(diǎn).

可設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈Ⅱ達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

問(wèn)題鏈Ⅱ:

問(wèn)題1:觀察自己制作的三棱錐模型,請(qǐng)問(wèn)三棱錐有幾個(gè)面、幾條棱、幾個(gè)頂點(diǎn)? 這幾個(gè)面和這幾條棱都有什么特點(diǎn)?

問(wèn)題2:請(qǐng)根據(jù)觀察出的結(jié)論定義三棱錐.

問(wèn)題3:請(qǐng)描述圖3 中3 個(gè)三棱錐的的結(jié)構(gòu)特征.

圖3 部分特殊的三棱錐

問(wèn)題4:請(qǐng)說(shuō)出三棱錐、正四面體,正三棱錐之間的區(qū)別與聯(lián)系.

上述問(wèn)題鏈,首先讓學(xué)生研究一般的三棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),并嘗試著給出三棱錐的定義.課堂上有學(xué)生認(rèn)為“四個(gè)面都是三角形的圖形”,教師可讓大家討論.有同學(xué)舉出反例,見(jiàn)圖4.然后可引導(dǎo)學(xué)生再次觀察模型,得出三棱錐的描述性定義是“一個(gè)面是三角形,其余三個(gè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形,它們所圍成的多面體叫做三棱錐”.最后從一般到特殊,讓學(xué)生掌握一些特殊的三棱錐,如圖3 中的正四面體、正三棱錐等,總結(jié)三棱錐、正四面體和正三棱錐之間的區(qū)別與聯(lián)系(見(jiàn)圖5).通過(guò)對(duì)圖形的深入分析,將直觀想象能力從水平1 提高到水平2.

圖4 四個(gè)三角形構(gòu)成的圖形

圖5 三棱錐、正四面體、正三棱錐的關(guān)系

(3)從水平2 提升到水平3

圖形應(yīng)用能力的水平3 是指能建立幾何體與它的展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系(包括展開(kāi)和翻折);能建立立體圖形與截面的對(duì)應(yīng)關(guān)系;能建立旋轉(zhuǎn)體與經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后形成這些幾何體的平面圖形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系等.設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈Ⅲ,幫助學(xué)生逐步達(dá)到水平3.

問(wèn)題鏈Ⅲ:

問(wèn)題1:請(qǐng)用一張A4 白紙,通過(guò)適當(dāng)?shù)募舨梅圩龀梢粋€(gè)封閉的三棱錐,并思考怎樣的平面圖形能折成三棱錐?

問(wèn)題2:給出一個(gè)三棱錐,請(qǐng)你描述它的展開(kāi)圖.

問(wèn)題3:請(qǐng)觀察三棱錐和它的展開(kāi)圖,觀察哪些量(包括邊與角)改變,哪些沒(méi)有變? 哪些位置關(guān)系改變,哪些沒(méi)有?

問(wèn)題4:觀察框架型的三棱錐模型,如果用一個(gè)平面去截三棱錐,所得到的截面的形狀是什么?

在問(wèn)題鏈Ⅲ中,先做三棱錐模型,再反過(guò)來(lái)想象三棱錐的展開(kāi)圖,分析三棱錐和它的展開(kāi)圖之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,讓學(xué)生體驗(yàn)從平面圖形到空間圖形再到平面圖形的轉(zhuǎn)變過(guò)程.在這個(gè)轉(zhuǎn)變過(guò)程中,感知三棱錐的棱、角以及位置關(guān)系的變化.在此基礎(chǔ)上,還要研究三棱錐和其截面之間的關(guān)系.學(xué)生通過(guò)觀察操作,發(fā)現(xiàn)截面形狀是三角形或四邊形.這些探究都在引導(dǎo)學(xué)生初步理解升維和降維的關(guān)系.經(jīng)過(guò)這樣的教學(xué)后,學(xué)生的立體幾何思維水平從水平2 提升到水平3.

教學(xué)片斷5 掌握空間幾何體中的平行與垂直關(guān)系

空間幾何體是由生活中三維圖形抽象出來(lái)的.研究其中的線線、線面、面面之間的平行與垂直關(guān)系有助于我們理解現(xiàn)實(shí)中的三維空間,解決一些實(shí)際問(wèn)題.這部分的學(xué)習(xí)以教學(xué)片段1 為基礎(chǔ),需要學(xué)生推理計(jì)算能力逐步達(dá)到水平4,即能夠判斷并證明空間中的位置關(guān)系.空間中的平行與垂直證明以平面幾何為基礎(chǔ),而多數(shù)學(xué)生在平面上的推理計(jì)算水平在水平2 以上.教師可以先拋出生活情境,結(jié)合問(wèn)題鏈ⅠV,幫助學(xué)生從水平2 或水平3 上升到水平4.

生活情境:小木匠有一塊如圖6 所示的木料,平面ADC內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P,他要過(guò)點(diǎn)P將木塊鋸開(kāi),使截面平行于直線AB和CD,在木塊表面應(yīng)該怎么劃線?

圖6

顯然,這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是畫(huà)出與三棱錐的對(duì)棱平行的截面.教學(xué)片段1 的問(wèn)題鏈Ⅲ中,第4 個(gè)問(wèn)題就是研究三棱錐的截面形狀.但由于知識(shí)儲(chǔ)備不足,學(xué)生還不能分析截面的特征以及與其他的線、面之間的位置關(guān)系.學(xué)過(guò)平行和垂直的判斷定理和性質(zhì)定理之后,學(xué)生可以進(jìn)一步研究截面問(wèn)題.解決本題時(shí),只需過(guò)點(diǎn)P作CD的平行線,分別交AC、AD于點(diǎn)M、N,再分別過(guò)點(diǎn)M、N作AB的平行線,交BC、BD于點(diǎn)F、E,最后連接EF,則線段EF、FM、MN、NE就是小木匠在木塊表面上的劃線(見(jiàn)圖7).可見(jiàn),運(yùn)用線面平行的判定定理就能解決問(wèn)題.相應(yīng)的,學(xué)生的推理計(jì)算能力提升到水平4.教師可以再設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題鏈進(jìn)行拓展,引導(dǎo)學(xué)生在推理計(jì)算能力水平4 的層次上對(duì)三棱錐的截面進(jìn)行多角度研究.

圖7

問(wèn)題鏈ⅠV

問(wèn)題1:小木匠畫(huà)出來(lái)的截面EFMN是什么樣的四邊形? 為什么?

問(wèn)題2:小木匠畫(huà)出來(lái)的截面EFMN可以是矩形或等腰梯形嗎? 若AB=CD,截面可以是菱形嗎? 為什么?

問(wèn)題3:若AB=AC,DB=DC,小木匠過(guò)棱AD能夠畫(huà)出一個(gè)與BC垂直的截面嗎? 為什么? 此時(shí),棱AD和棱BC有怎樣的位置關(guān)系呢?

問(wèn)題4:如圖8,在三棱錐A-BCD中,截面ADG⊥平面BCD,AB=AC,BG=GC,能判定DG⊥BC,以及BD=CD嗎? 為什么?

圖8

問(wèn)題1 中,由平行線分線段成比例定理可得線段MN平行且等于線段EF,從而得到這個(gè)截面是平行四邊形,且對(duì)任意三棱錐都成立.問(wèn)題2 引導(dǎo)學(xué)生探究特殊三棱錐的截面形狀.當(dāng)AB⊥CD時(shí),結(jié)合MN//CD,MF//AB可證明MN⊥MF,從而判斷截得矩形.由問(wèn)題1 可知,截面不可能是等腰梯形,有助于糾正學(xué)生的錯(cuò)覺(jué).當(dāng)AB=CD且點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是棱AC、棱AD的中點(diǎn)時(shí),MN=從而推出截面是菱形.通過(guò)幾個(gè)系列問(wèn)題,將這類與對(duì)棱平行的截面形狀進(jìn)行了深入探究,并形成圖形模式(見(jiàn)圖7).問(wèn)題3 中AB=AC,DB=DC,此時(shí)在BC上取中點(diǎn)G,連接AG、DG,由平面幾何知識(shí)易證AG⊥BC,DG⊥BC,從而B(niǎo)C⊥面ADG.面ADG也就是所求的截面.繼續(xù)分析可得AD⊥BC(見(jiàn)圖8).形如圖3 中的特殊三棱錐都有這樣的特點(diǎn).在問(wèn)題3 的基礎(chǔ)上逆向設(shè)計(jì)問(wèn)題4,此時(shí),截面ADG與平面BCD垂直,棱BC的中點(diǎn)為點(diǎn)G,反過(guò)來(lái)研究DG與BC是否垂直,棱DB與棱CD是否相等.兩個(gè)問(wèn)題的聯(lián)結(jié)點(diǎn)就是BC⊥面ADG.解決思路:先過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE,垂足為點(diǎn)H.由面面垂直易得AH⊥面BCD,從而有AH⊥BC,又由AB=AC,BG=GC可得AG⊥BC,從而B(niǎo)C⊥面ADG,得DG⊥BC,最后推出BD=CD(見(jiàn)圖9).

圖9

這個(gè)問(wèn)題鏈研究了圖3 中,對(duì)棱互相垂直的三棱錐、對(duì)棱相等的三棱錐、兩個(gè)相鄰面為同底等腰三角形的三棱錐等特殊三棱錐的截面特征,提供了在三棱錐中證明平行、垂直的方法和圖式,幫助學(xué)生在水平4 的層次上解決與三棱錐相關(guān)的平行與垂直問(wèn)題.

3 教學(xué)反思

教師要整體把握高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系.高中數(shù)學(xué)知識(shí)是由幾個(gè)跨年級(jí)、跨課時(shí)的主題構(gòu)成的體系,每個(gè)主題內(nèi)部的每節(jié)課之間有機(jī)關(guān)聯(lián)、由淺入深、符合該年齡段學(xué)生的心理特征和認(rèn)知水平.教師要以核心概念、基本原理和基本圖形等為依托,講透數(shù)學(xué)觀念,幫助學(xué)生從低思維水平到高思維水平進(jìn)階學(xué)習(xí),理解知識(shí)間的聯(lián)系,形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知體系,進(jìn)而融會(huì)貫通,培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教師還要理解學(xué)生,能夠站在學(xué)生的思維水平角度確定教學(xué)目標(biāo)、選定教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈.范希爾思維水平理論引導(dǎo)教師精準(zhǔn)定位學(xué)生已有的思維水平,分析教學(xué)內(nèi)容所需的思維水平,在此基礎(chǔ)上研究消除兩者之間差距的教學(xué)方法,進(jìn)而讓學(xué)生能夠適應(yīng)從低到高的思維跨度,在完善認(rèn)知體系的同時(shí)實(shí)現(xiàn)思維水平層次的提升以及核心素養(yǎng)的發(fā)展.