基于變步長(zhǎng)極值搜索的列車黏著控制方法研究

柳?？?，袁忠于

（蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

隨著我國(guó)高鐵行業(yè)的迅速崛起，高速列車運(yùn)行的節(jié)能性和輪軌黏著的有效性備受人們的關(guān)注［1-2］。在天氣惡劣的情況下，由于輪軌表面受雨、雪等外界因素影響，黏著系數(shù)則會(huì)隨之下降，這樣可能會(huì)導(dǎo)致車體發(fā)生空轉(zhuǎn)/滑行，最終造成輪軌擦傷、磨損，甚至脫軌等嚴(yán)重現(xiàn)象。

列車的黏著工作點(diǎn)處于最優(yōu)蠕滑速度處（即最大黏著系數(shù)附近），是實(shí)現(xiàn)最優(yōu)黏著控制的充分且必要條件，而此工作點(diǎn)處于黏滑特性的穩(wěn)定區(qū)和非穩(wěn)定區(qū)的交界處，同時(shí)也并非固定不變［3］。

目前有很多研究者提出多種控制方法：比較傳統(tǒng)的組合校正等策略［4-7］多數(shù)是以設(shè)置固定的速度差和加速度的閾值作為空轉(zhuǎn)的判斷依據(jù)，并且通過(guò)不斷地削減電機(jī)轉(zhuǎn)矩來(lái)消除空轉(zhuǎn)，當(dāng)路面情況良好時(shí)，又逐漸增加電機(jī)轉(zhuǎn)矩使列車恢復(fù)到原來(lái)較為平衡的行駛狀態(tài)。而在現(xiàn)實(shí)中，隨路況的變化，最大黏著系數(shù)和與之相應(yīng)的蠕滑速度值都會(huì)隨之變化。若以固定值來(lái)作判斷依據(jù)，顯然略顯牽強(qiáng)，而且這種方法的黏著利用率不會(huì)很高；文獻(xiàn)［8-9］采用的最優(yōu)黏著控制策略則多數(shù)是用傳統(tǒng)的固定步長(zhǎng)去搜尋不同路況下黏滑特性曲線的峰值，在此過(guò)程中，固定步長(zhǎng)的確定是一個(gè)難題，并且對(duì)控制系統(tǒng)的搜索精度和速度的影響也很大；在搜索峰值的過(guò)程中，獲取黏滑特性曲線斜率也可采用相位移的方法，但是這種方法是建立在線性化列車的牽引動(dòng)力模型之上，其頻率工作點(diǎn)有著很差的觀察范圍，且至今在實(shí)際使用中也不是很成熟［10］；文獻(xiàn)［11-12］則是將蠕滑速度看作是不斷變化的固定量，其對(duì)時(shí)間微分值始終不為0，黏著峰值點(diǎn)的搜索只考慮了黏著系數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，而對(duì)蠕滑速度的狀態(tài)卻無(wú)法證實(shí)；文獻(xiàn)［13］則采用的是滑模極值搜索的算法，雖然可搜索極值，但會(huì)產(chǎn)生劇烈的抖振現(xiàn)象，且在達(dá)到滑模面時(shí)，此算法所用時(shí)間是有限的。

通過(guò)以上分析，文中引入了FFRLS來(lái)實(shí)時(shí)估算黏滑曲線的斜率，與此同時(shí)采用全維觀測(cè)來(lái)獲取負(fù)載轉(zhuǎn)矩的近似值，其目的是獲取更為精確的黏著系數(shù)。同時(shí)提出了一種基于Sigmoid函數(shù)的步長(zhǎng)可變的極值搜索法，以此來(lái)結(jié)合PID控制器應(yīng)用廣泛且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，最終完成最優(yōu)黏著控制，既解決了步長(zhǎng)固定等難題，提高了控制精度，還可適應(yīng)不同路況。

1 列車輪軌黏著—蠕滑原理

列車在行駛中的動(dòng)力需要憑借車輪與軌道之間的相互作用來(lái)提供，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生實(shí)際是輪軌之間產(chǎn)生的彈性作用所造成的，是必要的［14］。在電機(jī)的牽引作用下，車輪將受到驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩的作用，會(huì)形成輪周黏著牽引力Fs。又由于存在軸載作用，這樣的輪軌之間接觸面可以保持相對(duì)靜止的狀態(tài)稱為“黏著”［7］。

而蠕滑現(xiàn)象是滾動(dòng)體在運(yùn)行過(guò)程中所產(chǎn)生的正常微小的滑動(dòng)現(xiàn)象，正因如此，車體前進(jìn)的速度vt通常會(huì)低于車輪滾動(dòng)的圓周速度vd，則蠕滑速度vs為式（1）：

定義黏著切向力和垂向荷重之間的比值為黏著系數(shù)，用μ表示，為式（2）：

式中：W為軸重；FS為輪周黏著牽引力。

經(jīng)大量的試驗(yàn)結(jié)果分析，輪軌黏著系數(shù)μ與蠕滑速度vs有如下關(guān)系［7，14-15］為式（3）：

式（3）的曲線如圖1所示。

圖1 輪軌黏著—蠕滑特性曲線

圖1 中，A點(diǎn)即為黏著理想峰值點(diǎn)μmax，是列車最佳的工作點(diǎn)，則最優(yōu)蠕滑速度值vsref在此時(shí)產(chǎn)生。

顯然，結(jié)合圖1與式（2）可知：黏著系數(shù)和牽引力幾乎是正比，因此要想使得列車黏著牽引力能夠在不同輪軌條件下發(fā)揮出最優(yōu)的效果，黏著系數(shù)也必須時(shí)刻達(dá)到峰值。

2 列車單軸動(dòng)力學(xué)模型的建立

由于文中的最終目的是黏著控制，故本節(jié)將借助簡(jiǎn)化后的單軸動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)有效地反映列車在運(yùn)行過(guò)程的牽引特性［14］。

在列車的實(shí)際牽引過(guò)程中，輪對(duì)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)受力分析如圖2所示。

圖2 輪對(duì)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)受力分析

由牛頓定律可知，列車運(yùn)動(dòng)方程為式（4）、式（5）：

式中：M為列車質(zhì)量；Nm為動(dòng)軸數(shù)。

忽略阻尼，則電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程為式（6）：

同時(shí)對(duì)車輪進(jìn)行受力分析，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程式（7）：

設(shè)齒輪箱傳動(dòng)比為i，傳遞效率為η。根據(jù)能量守恒得式（8）：

電機(jī)軸總慣量為式（9）：

由以上各式可得等效牽引電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為式（10）：

從電機(jī)側(cè)看，牽引電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩可由黏著力最終折算而成，列車簡(jiǎn)化牽引模型如圖3所示。

圖3 列車簡(jiǎn)化牽引模型框圖

3 黏著系數(shù)的估算

在系統(tǒng)的控制過(guò)程中，只有獲取了比較準(zhǔn)確的黏著系數(shù)，才能夠達(dá)到最佳的控制效果。而黏著系數(shù)是不可以直接測(cè)量到的，故只能間接構(gòu)造TL的觀測(cè)器得到，它有著能夠避免噪聲干擾的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也可以防止由測(cè)量誤差給系統(tǒng)性能帶來(lái)的影響，通過(guò)對(duì)其他干擾和誤差的有效避免，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將得到明顯的改善。

3.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

若列車行駛的潮濕區(qū)域極短，會(huì)因?yàn)樵诖酥耙呀?jīng)產(chǎn)生了一巨大的慣性而迅速駛過(guò)，這時(shí)已經(jīng)來(lái)不及快速檢測(cè)和響應(yīng)［12，14］。通過(guò)以上分析，文中只考慮潮濕區(qū)域較長(zhǎng)的區(qū)域2，如圖4所示。

圖4 列車行駛路況

由于在行駛中產(chǎn)生著巨大慣性，當(dāng)車體駛過(guò)如圖4所示的潮濕區(qū)域1時(shí)，TL基本不會(huì)發(fā)生較大的突變情況。即便在極端的狀況下，電機(jī)軸又與很重的輪對(duì)經(jīng)變速箱等傳動(dòng)裝置連接，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的擾動(dòng)隨時(shí)間變化的量值也遠(yuǎn)大于控制系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)［5，9］。因此在確立全維觀測(cè)系統(tǒng)的同時(shí)，可以考慮將機(jī)組的負(fù)載轉(zhuǎn)矩近似地視其為恒定量，則有式（11）：

根據(jù)狀態(tài)觀測(cè)器有式（12）：

構(gòu)造TL的狀態(tài)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程式（13）：

依據(jù)Lyapunov的穩(wěn)定性可知，若受控對(duì)象能觀，則選擇觀測(cè)系統(tǒng)的反饋增益陣須必須使(ALC)的特征值都具有負(fù)實(shí)部，這樣才會(huì)使其漸進(jìn)穩(wěn)定［16］。設(shè)反饋增益矩陣

若設(shè)p1、p2為該狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)，則有式（14）：

則有式（15）：

則黏著系數(shù)為式（16）：

為此，在Simulink中搭建漸進(jìn)穩(wěn)定的全維觀測(cè)模型來(lái)實(shí)時(shí)觀測(cè)列車動(dòng)態(tài)，如圖5所示。

圖5 全維狀態(tài)觀測(cè)器Simulink模塊

3.2 極點(diǎn)配置對(duì)系統(tǒng)觀測(cè)性能的影響

極點(diǎn)的配置尤為重要，其可將直接對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及觀測(cè)系統(tǒng)的收斂速率帶來(lái)很大的影響，所以將通過(guò)誤差(?-x)的引入來(lái)分析此觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，最終確定配置極點(diǎn)。

若 有?-?=(A-LC)×(x-?)，即?=(ALC)×e，則有式（17）

解得e(t)=Φ(t)×e(0)。

其中，Φ(t)=Laplace-1=[(sI-A+LC)-1]。

圖6 估計(jì)誤差衰減曲線

由圖6（a）中可知，誤差大概在0.8 s附近消失；圖6（b）中大概在0.1 s附近消失。為了加快此觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)效果，文中在控制系統(tǒng)的仿真中，觀測(cè)器極點(diǎn)則取p1=p2=-100。

p1=p2=-100時(shí)，全維狀態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)到的列車負(fù)載轉(zhuǎn)矩值與實(shí)際值，如圖7所示。負(fù)載轉(zhuǎn)矩實(shí)際值與觀測(cè)值誤差如圖8所示。

圖7 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值與實(shí)際值

由圖8得，設(shè)計(jì)的此全維狀態(tài)觀測(cè)系統(tǒng)可以較好地觀測(cè)出列車的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，誤差很小，在使用要求范圍之內(nèi)。

圖8 負(fù)載轉(zhuǎn)矩實(shí)際值與觀測(cè)值誤差

4 基于變步長(zhǎng)梯度搜索的黏著控制策略

最優(yōu)黏著控制的實(shí)質(zhì)便是在列車運(yùn)行時(shí)，可自動(dòng)且迅速搜尋到當(dāng)時(shí)所在路面情況的黏著峰值點(diǎn)，控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)并快速響應(yīng)，可使得列車輪軌始終在峰值點(diǎn)的附近處工作。

4.1 黏著控制實(shí)現(xiàn)原理

負(fù)載轉(zhuǎn)矩最優(yōu)黏著控制原理如圖9所示。

圖9 負(fù)載轉(zhuǎn)矩最優(yōu)黏著控制原理

通過(guò)上節(jié)觀測(cè)出的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，由式（16）可估算出黏著系數(shù)的近似值?；與此同時(shí)便可得到與，且利用FFRLS可估算出特性曲線斜率；根據(jù)文中的控制原理，然后加入變步長(zhǎng)梯度法搜索出最優(yōu)值(t)；再將(t)作為控制系統(tǒng)的目標(biāo)值，利用PID模實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)實(shí)際蠕滑速度值以不斷逼近最優(yōu)值，最終可得到轉(zhuǎn)矩的補(bǔ)償量，在控制的進(jìn)行中，會(huì)實(shí)時(shí)對(duì)比機(jī)組所提供與列車運(yùn)行所需的轉(zhuǎn)矩，取2者最小，即為最終指令，這樣可以很好地避免車輪空轉(zhuǎn)，同時(shí)也可以隨時(shí)使?fàn)恳D(zhuǎn)矩得到充分的利用。

貴州省黔東南苗族侗族自治州水土流失、石漠化及潛在石漠化面積分別為 8 412km2、1 314km2 和 2 166km2，分別占全州面積的 27.73%、4.33%和7.14%。水土流失及石漠化已成為全州經(jīng)濟(jì)社會(huì)可持續(xù)發(fā)展和全面實(shí)現(xiàn)小康社會(huì)目標(biāo)的重要制約。

PID控制器具體形式為式（18）：

4.2 黏著曲線斜率的估計(jì)方法

根據(jù)對(duì)最小參數(shù)辨識(shí)原理［17］的分析，將原有的帶遺忘因子最小二乘算法進(jìn)行了改進(jìn)，則在此控制系統(tǒng)模型中，蠕滑斜率估算的遞推公式為式（19）［18］：

式中：λ∈(0，1)為遺忘因子；L、G為中間的變量；為黏著曲線斜率的估算值；?(0)=0，G(0)=106I。

4.3 基于變步長(zhǎng)梯度法的極值搜索

梯度下降算法已在各種領(lǐng)域中應(yīng)用，是一種優(yōu)化算法，其每次迭代時(shí)會(huì)由負(fù)梯度得知新的搜尋方向?yàn)樨?fù)梯度方向，這種搜索方法搜索速度快，迭代效果好，可使得目標(biāo)函數(shù)始終會(huì)靠近最優(yōu)值。

則變步長(zhǎng)的最優(yōu)蠕滑速度為式（20）：

基于固定步長(zhǎng)最優(yōu)參考蠕滑速度為式（21）［8-9］：

分析知，變步長(zhǎng)可以隨著蠕滑斜率的改變進(jìn)行隨時(shí)調(diào)整，以彌補(bǔ)固定步長(zhǎng)速度慢和精度不足等缺點(diǎn)。

Sigmoid函數(shù)變換前后對(duì)比如圖10所示，通過(guò)分析Sigmoid函數(shù)（圖10（a））的特點(diǎn)［19］，提出一種改進(jìn)后的算法（圖10（b）），對(duì)比分析2種算法，改進(jìn)后的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)斜率k?趨于零時(shí)，此算法的搜索步長(zhǎng)隨著斜率的減小可相應(yīng)地增大，以確?？刂葡到y(tǒng)的搜索速度。

圖10 Sigmoid函數(shù)變換

Sigmoid函數(shù)變形后為式（22）：

將斜率?代入上式，設(shè)置參數(shù)得到步長(zhǎng)因子為式（23）：

式中：α0為初始學(xué)習(xí)步長(zhǎng)。

在控制過(guò)程中，實(shí)際工作點(diǎn)將會(huì)越來(lái)越靠近最大值，而此時(shí)?將會(huì)變得越小，但與此同時(shí)α(t)會(huì)相應(yīng)地增大，它的作用是避免由于?的變小而影響(t+1)的搜索速度，將會(huì)使得(t+1)的搜索速度加快，這樣確保了搜索系統(tǒng)在峰值點(diǎn)附近有足夠的搜索速率。

5 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

5.1 仿真參數(shù)設(shè)定

文中基于Simulink平臺(tái)，并采用了結(jié)構(gòu)原理較為簡(jiǎn)便且應(yīng)用較為廣泛的PID控制器來(lái)驗(yàn)證變步長(zhǎng)極值搜索的優(yōu)勢(shì)和效果。

根據(jù)式（3），設(shè)定3種路況參數(shù)，見(jiàn)表1［14］。由表1可得3種路況，如圖11所示。文中以CRH2A型列車為例，其仿真參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 CRH2A主要參數(shù)

圖11 不同路況的黏滑特性曲線

表1 仿真路況參數(shù)

5.2 仿真結(jié)果分析

在Simulink中，列 車 在0～40 s、80～120 s和160～200 s中為路況1；在40～80 s中為路況2；在120～160 s中為路況3；

在變步長(zhǎng)極值搜索中，α0=10-3、β=1、δ=1、φ=1/20和σ=10；目的是驗(yàn)證搜索算法在不同軌面以及從干軌到濕軌發(fā)生空轉(zhuǎn)時(shí)的及時(shí)響應(yīng)效果，步長(zhǎng)極值搜索方法、滑模極值搜索方法如圖12、圖13所示。

對(duì)比圖12、圖13得：變步長(zhǎng)極值搜索能夠快速響應(yīng)，在處于不同的路面情況下，均可及時(shí)搜索出最優(yōu)值，且搜索精度較固定步長(zhǎng)高很多，超調(diào)量也很??；而滑模極值算法在整個(gè)搜索過(guò)程中會(huì)不斷出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，而且波動(dòng)值較大，搜索速度也非常慢。

圖12 步長(zhǎng)極值搜索方法

圖13 滑模極值搜索方法[13]

由圖14可知，列車進(jìn)入路況2、路況3時(shí)，由于路況惡劣導(dǎo)致黏著系數(shù)較低，此時(shí)已檢測(cè)到給定的轉(zhuǎn)矩指令已經(jīng)無(wú)法達(dá)到列車最佳運(yùn)行效果，隨時(shí)發(fā)生空轉(zhuǎn)等故障，此時(shí)黏著控制系統(tǒng)迅速響應(yīng)，對(duì)給定指令與控制得到的指令進(jìn)行對(duì)比取小值，這樣便會(huì)降低轉(zhuǎn)矩，其目的是使列車適應(yīng)當(dāng)前路面，并工作在狀態(tài)（即處于最佳最優(yōu)蠕滑速度處），避免空轉(zhuǎn)等情況發(fā)生。

圖14 轉(zhuǎn)矩指令值與給定值

通過(guò)分析，基于變步長(zhǎng)的PID控制響應(yīng)效果更為穩(wěn)定，且可迅速調(diào)整轉(zhuǎn)矩指令既避免空轉(zhuǎn)又發(fā)揮了黏著控制系統(tǒng)的最大潛能，穩(wěn)定性較好，可以達(dá)到預(yù)期效果?；赟igmoid函數(shù)變步長(zhǎng)極值搜索的PID控制和固定步長(zhǎng)極值搜索的PID控制如圖15、圖16所示。

圖15 基于Sigmoid函數(shù)變步長(zhǎng)極值搜索的PID控制

圖16 基于Sigmoid函數(shù)固定步長(zhǎng)極值搜索的PID控制

由圖15、圖16可知：在路況突變情況下，輪速載控制系統(tǒng)作用下不斷搜索最佳值，并未急劇增大，由于控制系統(tǒng)的快速響應(yīng)，也避免了列車的空轉(zhuǎn)。

顯然相比之下，固定步長(zhǎng)比變步長(zhǎng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性差，響應(yīng)速度慢。同時(shí)在時(shí)間等各種參數(shù)的情況下，變步長(zhǎng)PID所控制的車速比固定步長(zhǎng)快7 km/h左右，且系統(tǒng)穩(wěn)定。

6 結(jié)論

文中通過(guò)設(shè)計(jì)適合極點(diǎn)的全維狀態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩，并采用FFRLS估算曲線斜率，提出基于Sigmoid函數(shù)改進(jìn)后的變步長(zhǎng)梯度算法搜尋出了蠕滑速度最優(yōu)值，同時(shí)引入PID控制以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)黏著的目的。從控制效果看，在路況突變的情況下此控制方法可快速響應(yīng)，并且及時(shí)搜索出最優(yōu)值，結(jié)合PID控制器不但能及時(shí)地跟蹤蠕滑速度的最優(yōu)參考值，有效防止空轉(zhuǎn)，而且能最大程度利用黏著系數(shù)，使列車牽引轉(zhuǎn)矩發(fā)揮最大潛能。