非等強度多道沖擊波作用下空泡潰滅機制分析

吳汪霞，王兵，王曉亮，劉青泉,*

1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2.清華大學 航天航空學院，北京 100084

火箭燃料泵中發(fā)生的空化及其潰滅[1-2]、超燃沖壓發(fā)動機內(nèi)激波串與油氣混合物的相互作用[3-4]，以及生物醫(yī)學領(lǐng)域的體外沖擊波療法中[5]均存在著多重沖擊波與空泡的作用問題。空泡在多重波系的作用下會發(fā)生復雜而劇烈的動力學瞬變行為，這一過程還伴隨著流動狀態(tài)的劇烈變化，其對設(shè)備穩(wěn)定性與作用效果等影響顯著，這一問題也是可壓縮多相流中的一個重要問題。

空化現(xiàn)象在工業(yè)生產(chǎn)與工程應用中廣泛存在且應用前景廣闊，是兩相流體力學的一個物理基礎(chǔ)問題，一直以來受到各個領(lǐng)域?qū)W者們的密切關(guān)注[6-9]?？栈莼绕涫强张轁邕^程往往伴隨著復雜的現(xiàn)象且引起流場物理量劇烈變化[10]，學者們對此展開了大量研究。研究發(fā)現(xiàn)，空化泡的潰滅大致分為2類：對稱潰滅(也稱為瑞利潰滅)與非對稱潰滅。當空化泡處于各向同性的流場中，則整個空泡均勻地受到周圍流場作用而引發(fā)其發(fā)生對稱變形行為，即空泡演化過程中一直維持其初始的形狀，對于初始球形空泡其潰滅過程中一直保持球形。對于空泡的對稱潰滅行為，早期的學者開展了一系列的理論研究[11-13]，由動量方程出發(fā)給出了空泡界面隨時間變化的理論表達式(R-P方程)[7]，并描述了空泡壓縮到最小半徑而后發(fā)生反彈、釋放壓力波等現(xiàn)象。

然而，在實際情況中往往由于存在多重波系、相鄰空泡、流體界面以及壁面等引起流場非對稱的因素，因此很難保證空泡的完全對稱潰滅，絕大多數(shù)情況下空泡為非對稱潰滅[14-16]。在非對稱潰滅情況下，由對稱條件推導得到的界面演化理論表達式失效，并且潰滅壓力波的產(chǎn)生機制也與對稱工況明顯不同。因此，對于空泡的非對稱潰滅行為學者們開展了一系列實驗與數(shù)值研究。借助于高速攝影和紋影技術(shù)，Tomita等[17-18]觀測了壁面附近空泡的潰滅過程，并討論了其非對稱潰滅行為可能對壁面造成的損傷；Blake和Gibson[16]研究了自由表面附近空泡的非對稱潰滅；Dear[19]和Bourne[20]等則對空泡在單一沖擊波作用下空泡的非對稱潰滅過程進行了觀測，他們均觀測到空泡非對稱潰滅過程中會存在內(nèi)卷現(xiàn)象并產(chǎn)生局部射流。而后，得益于計算機計算水平的進步，Ball[21]和Hawker[22-23]等通過數(shù)值方法模擬了單一沖擊波等非對稱因素作用下空泡的整個潰滅過程，解釋并分析了流場中各介質(zhì)中各種波系的產(chǎn)生、演化機理，揭示了空泡非對稱潰滅以及潰滅波的產(chǎn)生機制。

很多實際問題中，通常存在不只一個空泡，甚至出現(xiàn)密集的空泡云，空泡群潰滅過程中會產(chǎn)生復雜波系，因此空泡會受到不只一道沖擊波的作用[24]，此外，在體外沖擊波治療中更是需要一系列沖擊波連續(xù)作用于肌體以達到治療效果[25]，因此有必要開展空泡在多重波系作用下潰滅演化機理的研究。然而，迄今為止，針對空泡在多重沖擊波作用下潰滅特性的研究仍然十分不足。本文基于可壓縮兩相流模型，分別對液體中空泡在單一沖擊波以及多重沖擊波作用下的演化潰滅問題進行數(shù)值模擬研究，探討單一/多道沖擊波作用下空泡潰滅機制的異同，并進一步宏觀地解析多道沖擊波的作用效果。

1 物理系統(tǒng)

對于沖擊波與空泡作用問題，本文考慮的物理模型如圖1所示。初始時刻，半徑R0=0.32 mm的空氣泡靜置于液態(tài)水中，流場初始壓力p0為1個大氣壓，初始溫度T0為293 K。隨后，由氣泡右側(cè)由右向左傳播而來一系列沖擊波。對于每一道沖擊波，參考Johnsen和Colonius[26]的工作，沖擊波波形的解析式為

圖1 不同分布沖擊波與液體中空泡作用示意圖

p(t)=p0+2pWe-αtcos(ωt+π/3)

(1)

式中：p0為初始環(huán)境壓力；pW為沖擊波鋒面壓力值；其他參數(shù)的設(shè)置參考文獻[27]。本文考慮了單一、2道和3道沖擊波分別與空泡作用的3種工況，每道沖擊波的寬度均為Δl(Δl=R0)。對于單一沖擊波作用的情況(W1)，沖擊波幅值pW1=420 MPa，波鋒面對應的激波馬赫數(shù)為1.14；對于2道沖擊波作用的情況(W2)，沖擊波幅值pW2=210 MPa，其波鋒面對應的激波馬赫數(shù)為1.07，其幅值為pW1/2；對于3道沖擊波作用的情況(W3)，沖擊波幅值pW3=140 MPa，其波鋒面對應的激波馬赫數(shù)為1.05，其幅值為pW1/3。

2 模型方法

為了有效模擬液體中多個空泡在波系作用下的非對稱潰滅現(xiàn)象，并捕捉各個空泡的界面變形，本文采用歐拉框架下的多組分可壓縮兩相流模型[28-29]，控制方程為

(2)

式中：αk和ρk分別表示k組分的體積分數(shù)和密度；u、p、E和e分別表示速度、壓力、總能和內(nèi)能，總能表示為E=ρe+ρ|u|2/2，各組分體積分數(shù)之間滿足約束條件：

(3)

本文采用的狀態(tài)方程為剛性氣體狀態(tài)方程(SG-EOS)，狀態(tài)方程的詳細表達式以及各組分狀態(tài)參數(shù)的設(shè)置參見文獻[28]。由于本文考慮的空泡為空氣泡，且主要研究沖擊波作用下空泡變形潰滅的演化行為，因此忽略相變過程的影響。關(guān)于考慮相變情況下激波與空泡作用問題的研究可以參考文獻[30]。

本文采用了有限體積方法對控制方程進行離散，使用高精度的變模板點加權(quán)基本無振蕩差分(Incremental Stencil Weighted Essentially Non-Oscilatiory, WENO-IS)算法[31]進行重構(gòu)，使用Harten-Lax-van Leer-Contact(HLLC)近似黎曼求解器求解黎曼問題[32]，時間方向采用三階Runge-Kutta方法求解。由于本文研究對象的雷諾數(shù)Re與韋伯數(shù)We均為103以上的量級，因此忽略黏性與表面張力的影響，如果想要模擬更加寬泛的物理問題并得到更精確的結(jié)果，需要使用 Navier-Stokes 模型或者其他動理學模型[33-34]。由于該問題為軸對稱問題，因此本文的數(shù)值計算中只考慮一半的計算區(qū)域，所有算例初始時刻每個空泡半徑有340個網(wǎng)格，并采用軸對稱坐標進行所有算例的計算。

3 計算結(jié)果與分析

3.1 單一沖擊波作用下空泡潰滅行為

本文首先研究了液體中單一沖擊波與空氣泡的作用問題。圖2為考慮軸對稱效應的二維數(shù)值結(jié)果，氣液界面由黑色實線標出，液體區(qū)域顯示了壓力云圖，氣體區(qū)域則給出了密度紋影圖。圖2(a)～圖2(f)分別對應無量綱時間t·(R0/cl)-1=0, 0.96, 2.44, 5.10, 5.68，6.43，其中cl為初始狀態(tài)下液體的聲速。

如圖2(a)所示，初始時刻一道強度為pW1的沖擊波(S)自空泡右側(cè)傳播而來。沖擊波與空泡作用后使得空泡被壓縮變形，同時沖擊波在界面處發(fā)生了反射和透射，分別產(chǎn)生液相的反射稀疏波(R)和氣相的透射激波(T)，如圖2(b)所示。液體側(cè)稀疏波的作用使得空泡右側(cè)液體進一步加速，加劇空泡變形的同時伴隨著液體側(cè)再入射流的形成，同時，透射激波伴隨著空泡的進一步變形在空泡內(nèi)相互作用并來回反射，使得氣相壓力逐步升高[20]。在再入射流的作用下，空泡左右兩側(cè)界面發(fā)生撞擊(圖2(d))，而后空泡破碎并伴隨著一系列壓力波的產(chǎn)生(圖2(e)～圖2(f))，該過程即稱為空泡潰滅，空泡潰滅過程產(chǎn)生的壓力波即為潰滅波。

3.2 多道沖擊波作用下空泡潰滅行為

本節(jié)進一步研究了2道、3道沖擊波與空泡的作用問題，并與單一沖擊波作用過程進行對比，分析不同工況下空泡變形潰滅機制的異同。圖3～圖5分別展示了2道強度為pW2的沖擊波、3道強度為pW3的沖擊波與空泡作用時不同時刻的數(shù)值結(jié)果，與圖2類似，圖中黑色實線為兩相界面，液體相給出了壓力場云圖，氣體相則給出了密度紋影結(jié)果。圖3(a)～圖3(f)分別對應無量綱時間t·(R0/cl)-1=0, 1.05, 2.05, 5.86, 6.29，7.13，圖5(a)～圖5(f)分別對應無量綱時間t·(R0/cl)-1=0, 1.61, 2.64, 6.48, 6.90, 7.66。

圖2 強度為pW1的單一沖擊波與空泡的作用過程

圖3 2道強度為pW2的沖擊波與空泡的作用過程

圖4 2道強度為pW2的沖擊波與空泡作用過程的局部放大圖

圖5 3道強度為pW3的沖擊波與空泡的作用過程

如圖3所示，2道沖擊波S1、S2由空泡右側(cè)由右至左傳播并先后作用于空泡。與圖2(b)類似，圖3(b)顯示當沖擊波S1與空泡作用后使得空泡被壓縮變形，同時沖擊波在界面處發(fā)生反射與透射，液相側(cè)產(chǎn)生向空泡外法線方向擴展傳播的反射稀疏波(R1)，而氣相側(cè)則產(chǎn)生透射激波(T1)。此外，擴張傳播的R1還會與隨后的第2道沖擊波S2相遇，使得S2被一定程度地削弱。隨后，第2道沖擊波S2與空泡作用，其在進一步加劇空泡變形的同時也在空泡界面處發(fā)生反射與透射，并產(chǎn)生反射稀疏波R2與透射激波T2。如圖3(c)所示，此時在液體中共存著R1、R2這2道反射稀疏波，氣泡內(nèi)存在著T1、T2這2道透射激波。

隨后，與圖2中單一沖擊波作用的工況類似，空泡在卷曲變形的同時伴隨著液相側(cè)再入射流的產(chǎn)生，最終在再入射流作用下空泡兩側(cè)界面發(fā)生撞擊，空泡潰滅并產(chǎn)生一系列的潰滅壓力波(圖3(d)～圖3(f))。通過對圖2與圖3的空泡潰滅及潰滅波的產(chǎn)生過程進行對比，可以看到，雖然2組工況下，空泡受不同分布沖擊波作用，但是最終空泡從潰滅形態(tài)到潰滅的強度都十分相近。

為了更詳細分析空泡在多道沖擊波作用下空泡內(nèi)波系的演化行為，圖4進一步給出了2道沖擊波作用下空泡變形過程的局部放大圖(圖3中紅色虛線框區(qū)域)。圖4(a)～圖4(h)分別對應無量綱時間t·(R0/cl)-1=0.37, 1.07, 1.57, 2.68, 3.15, 3.79, 4.58, 5.40。如圖4(a)～圖4(c)所示，S1作用于空泡后，在R1及空泡的變形作用下流體加速，因此S2的鋒面在作用于空泡前即發(fā)生了輕微彎曲變形。而后，S2作用于空泡并在空泡內(nèi)部產(chǎn)生2道向下游傳播的透射激波(T1、T2)。由圖4(c)～圖4(f)所示的透射激波在空泡內(nèi)的傳播演化過程可見，2道透射激波在空泡內(nèi)傳播時發(fā)生追趕，T2逐漸趕上T1并最終合并為1道更強的透射激波T0。而后，如圖4(f)～圖4(h)所示，T0繼續(xù)傳播，并在空泡界面來回反射，產(chǎn)生一次反射透射激波(R1-T0)、二次反射透射激波(R2-T0)等，直至空泡兩側(cè)界面在再入射流的作用下發(fā)生撞擊?？张輧?nèi)兩道透射激波合并后的演化行為，與3.1節(jié)中較強的單一沖擊波作用下波系的演化行為十分相似，這也解釋了2個工況下空泡最終從潰滅形態(tài)到潰滅的強度都十分相近的原因。

進一步對空泡在S1、S2、S3這3道強度為pW3的沖擊波作用下的演化過程進行分析?？张菔紫仁艿?jīng)_擊波S1的作用，并伴隨著反射稀疏波R1與透射激波T1的產(chǎn)生。如圖5(b)所示，R1在擴張傳播的過程中會與沖擊波S2、S3相遇，其強度均被一定程度地削弱。類似地，S2、S3分別先后作用與空泡，并在液相產(chǎn)生反射稀疏波R2、R3，氣泡內(nèi)產(chǎn)生透射激波T2、T3，同樣地，先產(chǎn)生的反射稀疏波會與后續(xù)的沖擊波相遇，并發(fā)生一定程度的相互削弱。如圖5(c)所示，此時在液體中共存著R1、R2、R3這3道反射稀疏波，氣泡內(nèi)存在著T1、T2、T3這3道透射激波。

由圖5(d)～圖5(f)可以看到，在3道強度為pW3的沖擊波作用下，空泡的潰滅過程與之前2個工況均十分相似，均為在再入射流作用下兩側(cè)界面撞擊空泡潰滅，并產(chǎn)生一系列潰滅波?？梢钥吹?，在3個工況下，雖然空泡受到3組不同分布的沖擊波的作用，最終空泡潰滅時的潰滅波分布與強度均基本相同。

當沖擊波掃過氣泡時，會在氣液界面誘發(fā) Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性[35]，這一現(xiàn)象在本文的數(shù)值結(jié)果中也有所體現(xiàn)，在圖2～圖5中均可看到激波與空泡作用后，空泡界面出現(xiàn)了Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性誘發(fā)的小的不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，然而對于本文所考慮的問題，這一結(jié)構(gòu)對空泡潰滅強度的影響并不顯著，因此在此不對其進行詳細討論。

3.3 空泡潰滅強度分析

為了進一步探討分析沖擊波與空泡潰滅強度的影響規(guī)律，本節(jié)分別給出了2組不同分布、不同強度沖擊波與空泡作用時流場最大壓力隨時間的詳細分布曲線。圖6(a)展示了與第1節(jié)對應的3個工況下的壓力最大值(pmax)曲線，圖6(b)則展示了沖擊波幅值為630 MPa的單一沖擊波作用(W1′)、沖擊波幅值為315 MPa的2道沖擊波作用(W2′)和沖擊波幅值為210 MPa的3道沖擊波作用(W3′)3個工況下的壓力最大值曲線。

圖6 不同分布、不同強度沖擊波與空泡作用時流場的最大壓力隨時間變化曲線

由2組壓力最大值分布曲線均可以看到，當pW1=2pW2=3pW3時，單一沖擊波與多道沖擊波作用時壓力最大值分布曲線十分相似，空泡潰滅誘發(fā)的壓力峰值也基本相當。此外，空泡潰滅的時間差距也不大，具體而言，單一沖擊波作用下空泡最早潰滅，2道沖擊波作用下空泡潰滅又早于3道沖擊波作用的工況。在空泡潰滅之前，多道沖擊波與空泡作用的效果近似等于強度為多道沖擊波強度之和的單一沖擊波的作用。然而，對于單一沖擊波工況，空泡更早地受高強度沖擊波作用，因此空泡變形相對于多波累積作用工況稍快，空泡潰滅也稍早。

4 結(jié) 論

本文對單一、2道、3道沖擊波分別與液體中空泡的作用問題進行了數(shù)值研究，結(jié)論如下：

1)各道沖擊波與空泡作用后會依次在空泡界面發(fā)生反射與透射，并依次產(chǎn)生相應的反射稀疏波與透射激波。

2)無論是單一或多次沖擊波的作用，空泡均會發(fā)生內(nèi)卷變形并伴隨著液體側(cè)再入射流的產(chǎn)生，在再入射流作用下空泡最終潰滅并產(chǎn)生一系列的潰滅壓力波。

3)在空泡發(fā)生潰滅前所受到多道沖擊波作用下的潰滅行為及潰滅波強度，均近似于強度為多道沖擊波強度之和的單一沖擊波的作用。