基于變分模態(tài)分解算法的隧道爆破振動(dòng)信號(hào)光滑降噪模型

彭亞雄，劉廣進(jìn)，蘇 瑩，劉運(yùn)思，張 超

(1.湖南科技大學(xué) 巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測(cè)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

爆破是一種有效的巖體開挖方法，在隧道工程中廣泛使用。炸藥爆炸產(chǎn)生的地震波會(huì)引起隧道圍巖及結(jié)構(gòu)振動(dòng)，對(duì)隧道穩(wěn)定性及鄰近建(構(gòu))筑物造成不利影響[1]。準(zhǔn)確分析爆破振動(dòng)特征及衰減規(guī)律是有效控制爆破振動(dòng)有害效應(yīng)的基礎(chǔ)。由于復(fù)雜的工程環(huán)境、電磁干擾和監(jiān)測(cè)儀器誤差等因素的影響，實(shí)測(cè)爆破振動(dòng)信號(hào)中包含大量高頻噪聲，導(dǎo)致信號(hào)失真。為了準(zhǔn)確分析隧道爆破振動(dòng)特性，必須對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行降噪處理。

信號(hào)降噪過程包括信號(hào)分解和去噪兩個(gè)部分，目前最常用的信號(hào)分解方法有小波類(小波[2]、小波包[3]、平移不變小波[4])和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解類(經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)[5]、集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)[6]、互補(bǔ)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(complementary ensemble empirical mode decomposition, CEEMD)[7]。為了獲得更好的降噪效果，還可以與獨(dú)立成分分析[8]和排列熵[9]等優(yōu)化算法結(jié)合，這些方法已經(jīng)在爆破振動(dòng)信號(hào)降噪處理中得到了較好地應(yīng)用。小波類降噪方法是基于小波變換算法，具有良好的時(shí)頻局部化特性，但在降噪過程中小波基函數(shù)和分解層次難以確定[10]，使得這類方法的自適應(yīng)性不強(qiáng)，降噪效果難以保證。EMD是一種具有較好自適應(yīng)能力的信號(hào)分解方法，對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)分解有較好的適應(yīng)性，但存在端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊問題。EEMD和CEEMD改進(jìn)算法的提出在一定程度上解決了EMD算法的這兩類問題，信號(hào)降噪效果有所提高[11]，但其基本的分解模式并未得到根本的改變。

信號(hào)分解后的去噪方法包括強(qiáng)制降噪和閾值降噪。強(qiáng)制降噪是將具有高頻特征的信號(hào)分量認(rèn)定為噪聲分量，直接去除后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)[12]。該方法降噪效果較好，但對(duì)分解算法精度要求高且人為因素影響較大。閾值降噪是對(duì)高頻分量進(jìn)行閾值處理，將信號(hào)有效成分進(jìn)行重構(gòu)，去除無效的噪聲成分[13]。采用硬閾值方法會(huì)使得重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生振蕩；而軟閾值方法的信號(hào)連續(xù)性較好，但其影響了重構(gòu)精度[14]。

變分模態(tài)分解(variational mode decomposition，VMD)是由Dragomiretskiy等[15]提出了一種非遞歸的信號(hào)自適應(yīng)分解方法，利用迭代搜尋變分模型的最優(yōu)解，確定各分解部分的頻率中心及帶寬，能夠自適應(yīng)地進(jìn)行信號(hào)頻域劃分和分量分離。該方法克服了EMD遞歸分解產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊問題，具有較好的魯棒性。本文對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行VMD分解，以分解得到的本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)建立低通濾波算法；根據(jù)濾波算法重構(gòu)誤差和光滑程度獲得最優(yōu)光滑降噪模型，并應(yīng)用于實(shí)測(cè)隧道爆破振動(dòng)信號(hào)降噪處理。

1 VMD算法

VMD算法將模態(tài)估計(jì)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兎謫栴}，通過迭代尋找頻率范圍內(nèi)的變分模態(tài)最優(yōu)解，不斷更新各模態(tài)函數(shù)及中心頻率，得到若干具有一定帶寬的IMF。VMD算法將原始信號(hào)x(t)分解為K個(gè)中心頻率為ωk的模態(tài)函數(shù)uk，其中K為預(yù)設(shè)模態(tài)分量個(gè)數(shù)[16]。定義模態(tài)函數(shù)為調(diào)幅-調(diào)頻信號(hào)，即

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(1)

式中：uk(t)為第k個(gè)模態(tài)分量；Ak(t)和φk(t)分別為瞬時(shí)幅值和相位。

為了得到某帶寬的IMF，①對(duì)uk(t)進(jìn)行希爾伯特變換，得到解析信號(hào)和單邊頻譜ψ；②對(duì)解析信號(hào)加入估計(jì)中心頻率，并將各模態(tài)頻譜轉(zhuǎn)換至基頻帶；③計(jì)算解析信號(hào)梯度的平方L2范數(shù)，估計(jì)各模態(tài)信號(hào)帶寬，得到約束性變分問題

(2)

式中：{uk}為信號(hào)分解得到的K個(gè)模態(tài)分量；{ωk}為各分量對(duì)應(yīng)的中心頻率；δ(t)為脈沖函數(shù)。

(3)

(4)

(5)

將原始含噪信號(hào)進(jìn)行VMD分解后得到K個(gè)IMF分量，I1～I(xiàn)K的主頻逐漸增加，而噪聲成分主要存在于高頻部分，因此從原始信號(hào)x(t)中由高頻向低頻逐步除去累積的IMF分量，即構(gòu)建低通濾波算法，獲得多個(gè)低通信號(hào)，通過對(duì)比分析各低通信號(hào)特征，獲得最優(yōu)降噪信號(hào)，達(dá)到去除噪聲的目的。

2 信號(hào)光滑降噪模型

2.1 濾波算法重構(gòu)誤差

對(duì)原始信號(hào)x(t)進(jìn)行VMD分解，以分解得到的IMF建立低通濾波算法，如式(6)所示

(6)

濾波算法的重構(gòu)誤差采用降噪后信號(hào)與原始信號(hào)的均方根誤差ef表示，如式(7)所示。

(7)

2.2 濾波算法光滑程度

在其定義域內(nèi)各點(diǎn)均具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的曲線為光滑曲線。光滑曲線上任一點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等；對(duì)于兩條以上曲線構(gòu)成的光滑曲線，兩條曲線交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在且相等[17]。

因此，設(shè)曲線u(x)和v(x)相交于x0，且在該點(diǎn)連續(xù)可導(dǎo)，則有

(8)

若兩條曲線在x0處光滑，則應(yīng)該滿足u(x)和v(x)在x0點(diǎn)的曲率相等，即

Ku|x=x0=Kv|x=x0

(9)

將式(8)代入式(9)，可得

u″(x0)=v″(x0)

(10)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，u″(x)和v″(x)可以表示為

(11)

(12)

將式(9)和式(11)、式(12)代入式(10)，可得

v(x0+2h)-u(x0-2h)-2[u(x0-h)-u(x0-h)]=0

(13)

曲線u(x)和v(x)組成的f(x)在x0點(diǎn)處的光滑度可表示為

SN|x=x0=f(x0+2h)-f(x0-2h)-2[f(x0-h)-f(x0-h)]

(14)

式中，h為采樣間隔。曲線的SN值越小，說明曲線越光滑。

將曲線SN的均方根誤差定義為濾波算法的平整度，記為eS。該值反映了降噪后信號(hào)的光滑程度，計(jì)算時(shí)應(yīng)注意去掉采樣樣本中兩個(gè)端點(diǎn)。

2.3 目標(biāo)函數(shù)

對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行VMD分解得到IMF，建立低通濾波算法。考慮濾波算法的重構(gòu)誤差和光滑程度，設(shè)置了一個(gè)權(quán)重系數(shù)μ，得到光滑降噪模型的目標(biāo)函數(shù)

F=μ·ef+(1-μ)·eS

(15)

權(quán)重系數(shù)μ通常為0.3[18]。計(jì)算得到目標(biāo)函數(shù)F值最小為最優(yōu)解，最優(yōu)解對(duì)應(yīng)于最優(yōu)濾波算法模型，其降噪效果最好。

2.4 降噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

信號(hào)在分解過程中會(huì)導(dǎo)致部分成分丟失，將原始信號(hào)與降噪后信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差SD(standard deviation)作為評(píng)價(jià)處理信號(hào)失真情況的評(píng)價(jià)指標(biāo)。并采用信噪比ξ、降噪后和原始信號(hào)的均方根誤差ef作為評(píng)價(jià)指標(biāo)[19]，分析隧道爆破振速信號(hào)降噪效果。均方根誤差ef如式(7)所示，重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差r和信噪比ξ定義如下：

(1)重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差r

(16)

(2)信噪比ξ

(17)

ESD用于評(píng)估信號(hào)保真度，其值越小說明在分解過程中信號(hào)成分丟失越少。信噪比ξ反映原始信號(hào)和噪聲的能量關(guān)系，信噪比ξ越大表明降噪后信號(hào)更好的保留了原始信號(hào)特征。ef反映了噪聲的平均能量值，也體現(xiàn)了降噪后與原始信號(hào)的相似程度，通常其值越小效果越好。此外，除了采用定量參數(shù)客觀評(píng)價(jià)降噪效果，還應(yīng)該分析降噪前后信號(hào)波形特征，確保特征波形的一致性和明顯噪點(diǎn)已去除干凈。

3 工程應(yīng)用

3.1 實(shí)測(cè)信號(hào)降噪

以山東省煙臺(tái)市某地下水封石洞液化石油氣儲(chǔ)庫工程為依托工程，工程包括不同高程、不同位置的三種儲(chǔ)氣庫：LPG庫、丙烷庫與丁烷庫，均采用光面爆破開挖?，F(xiàn)場(chǎng)采用TC-4850型測(cè)振儀進(jìn)行測(cè)試。選取丙烷庫洞室爆破開挖的一條實(shí)測(cè)典型振動(dòng)信號(hào)為研究對(duì)象，如圖1所示。該實(shí)測(cè)信號(hào)的采樣頻率為3 200 Hz，根據(jù)Nyquist采樣定理，實(shí)測(cè)信號(hào)頻率為1 600 Hz；采用時(shí)間為1 s，共采集3 200個(gè)采樣點(diǎn)。

圖1 實(shí)測(cè)爆破振動(dòng)信號(hào)(s1)

使用VMD算法進(jìn)行信號(hào)分解，需要預(yù)先設(shè)定的參數(shù)包括：模態(tài)分量個(gè)數(shù)K、懲罰因子α、保真度τ和收斂條件ε。保真度τ和收斂條件ε通常采用默認(rèn)值[20]。經(jīng)反復(fù)試算，懲罰參數(shù)確定為α=4 800，以保證分解過程的細(xì)節(jié)特征保留度。對(duì)于模態(tài)分量個(gè)數(shù)K，分別取K=2, 3, 4, …, 9對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行分解，各IMF的中心頻率如表1所示。當(dāng)某K值分解的各IMF分量主頻保持相對(duì)穩(wěn)定；而以K+1值分解，僅最后一個(gè)IMF分量主頻增大，認(rèn)為K值最佳。由表1可知，K=8分解的各IMF分量主頻保持相對(duì)穩(wěn)定；而K=9時(shí)，最后一個(gè)IMF分量主頻增加，因此該信號(hào)的本征模態(tài)函數(shù)的分量個(gè)數(shù)K設(shè)定為8，得到信號(hào)VMD分解的IMF分量如圖2所示。

表1 不同K值分解的IMF分量主頻

圖2 振動(dòng)信號(hào) VMD分解結(jié)果

由表1和圖2可知，采用VMD算法對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行分解共得到8個(gè)IMF分量，I1～I(xiàn)8主頻逐漸增加。構(gòu)建低通濾波模型，如式(18)所示。分別計(jì)算各濾波模型的平整度、重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差和目標(biāo)函數(shù)F值，各指標(biāo)的結(jié)果如圖3所示。

(18)

由圖3可知，降噪后信號(hào)D1～D8的ef逐漸降低，而eS逐漸增加，說明降噪后信號(hào)與原信號(hào)的相似程度增加而光滑程度降低。D5的目標(biāo)函數(shù)F值最低，其降噪效果最佳。比較目標(biāo)函數(shù)F值，D4和D5的F值差異不大。因此，給出原始信號(hào)與去噪信號(hào)(D4和D5)的對(duì)比圖，如圖4所示。

圖4 原始信號(hào)與降噪后信號(hào)對(duì)比

由圖4可知，盡管D4與D5的目標(biāo)函數(shù)F值相差不大，D5信號(hào)的降噪效果明顯更好。其在振動(dòng)速度峰值處與原始信號(hào)相似度更高，D4存在明顯的降噪過度。

3.2 時(shí)頻能量分析

AOK時(shí)頻分析技術(shù)能較好地反映爆破振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻特性[21]。為了進(jìn)一步驗(yàn)證VMD光滑降噪模型的效果，利用AOK時(shí)頻分析方法對(duì)原始信號(hào)和降噪后信號(hào)的時(shí)頻能量進(jìn)行對(duì)比。信號(hào)的時(shí)頻能譜如圖5所示。圖5中：X為時(shí)頻能量峰值；Y為主頻。

圖5 原始信號(hào)與降噪后信號(hào)時(shí)頻能量譜

由圖5可知，信號(hào)時(shí)頻能量主要分布在0～300 Hz的頻率范圍和0～1 s的時(shí)間范圍內(nèi)。原始信號(hào)在頻率500 Hz以上范圍存在明顯的噪聲成分，是造成原始信號(hào)失真的主要原因(見圖5(b)中方框)，利用VMD光滑降噪模型較好地去除了這些噪聲成分；且在0～300 Hz內(nèi)，低頻能量分量沒有明顯降低。原始信號(hào)與降噪后信號(hào)的主頻均為139 Hz，時(shí)頻能量峰值均為233.4 cm2/s2。表明VMD最優(yōu)光滑降噪模型不僅能成功地去除高頻噪聲能量，而且對(duì)低頻信號(hào)能量影響較小。

4 降噪效果對(duì)比分析

基于EMD、CEEMD算法同樣可以構(gòu)造相應(yīng)的光滑降噪模型。采用EMD、CEEMD和VMD光滑降噪模型對(duì)3組隧道爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，原始信號(hào)與降噪后信號(hào)如圖6所示。計(jì)算原始信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差ESD、信噪比ξ、降噪后信號(hào)和原始信號(hào)的均方根誤差ε，如表2所示。

表2 爆破振動(dòng)信號(hào)降噪效果指標(biāo)

圖6 原始信號(hào)與降噪后信號(hào)對(duì)比(EMD，CEEMD，VMD)

由圖6和表2可知，采用EMD，CEEMD和VMD光滑降噪模型對(duì)三組實(shí)測(cè)隧道爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了降噪，均取得一定程度降噪效果，去除了部分高頻噪聲。3組實(shí)測(cè)信號(hào)分解與重構(gòu)過程中，原始信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差ESD在0.011 1～0.023 4，說明三種模型均具有較好的保真性。其中EMD模型的重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差ESD均最大，而最小值則存在差異，說明EMD，CEEMD和VMD模型在處理不同實(shí)測(cè)信號(hào)時(shí)其保真性存在差異。對(duì)比三種光滑降噪模型的降噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)，在3組實(shí)測(cè)信號(hào)降噪中VMD模型的降噪后信號(hào)信噪比ξ均最大，CEEMD模型略大于EMD模型；VMD模型的均方根誤差ε均最低，CEEMD模型略低于EMD模型。VMD光滑降噪模型相比于其他兩種模型，能夠更好的去除高頻噪聲信號(hào)，且降噪后信號(hào)的波形更接近原始信號(hào)。因此，基于VMD算法的光滑降噪模型在振動(dòng)信號(hào)降噪方面具有一定的優(yōu)越性，且能夠更好地保留隧道爆破振動(dòng)信號(hào)中的有效信息。

此外，CEEMD作為基于EMD的改進(jìn)算法，具有較好的信號(hào)分解效果，并在一定程度上克服了模態(tài)混疊現(xiàn)象，CEEMD光滑降噪模型的降噪效果優(yōu)于EMD模型。

5 結(jié) 論

隧道爆破振動(dòng)信號(hào)中存在較多高頻噪聲，導(dǎo)致實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)中所包含的信息常被噪聲信號(hào)所掩蓋。針對(duì)這一問題提出了基于VMD算法的光滑降噪模型，用于隧道爆破振動(dòng)信號(hào)降噪處理。

(1)利用VMD算法對(duì)隧道爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解，得到不同頻帶的IMF分量，進(jìn)而構(gòu)建低通濾波算法。考慮濾波算法的重構(gòu)誤差和光滑程度構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值得到最優(yōu)降噪信號(hào)。工程應(yīng)用表明該方法達(dá)到較好地去除高頻噪聲的目的。

(2)利用AOK時(shí)頻分析技術(shù)，對(duì)比分析降噪前后振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻能量譜，VMD最優(yōu)光滑降噪模型不僅能成功地去除500 Hz以上的高頻噪聲能量，而且對(duì)低頻信號(hào)能量影響較小。

(3)將EMD，CEEMD和VMD光滑降噪模型進(jìn)行對(duì)比分析，三種方法都具有較好的保真性和降噪效果，其中VMD模型的降噪效果指標(biāo)均優(yōu)于EMD，CEEMD模型，驗(yàn)證了基于VMD算法的光滑降噪模型的有效性，對(duì)隧道爆破振動(dòng)信號(hào)降噪及分析具有指導(dǎo)意義。