指向數(shù)學建模素養(yǎng)的可視化作業(yè)的設計與實施探討

江蘇省無錫市堰橋高級中學 華燕萍

數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，在于培養(yǎng)學生的兩種能力：算數(shù)學（計算、推導、證明等）能力和用數(shù)學（分析、解決實際問題）能力。傳統(tǒng)的數(shù)學教學體系和內(nèi)容偏重前者，忽視后者，然而科技發(fā)展的需求使后者的重要性日益凸顯。數(shù)學建模過程是實際問題→建立數(shù)學模型→求解數(shù)學模型→根據(jù)數(shù)學結(jié)果解決實際問題，因此提升數(shù)學建模素養(yǎng)就是在培養(yǎng)學生用數(shù)學的能力。

教材通常以應用題為載體鍛煉學生數(shù)學建模能力，提升數(shù)學建模素養(yǎng)。應用題題目長，信息量大，加大學生的審題難度，使學生容易心理緊張。如何快速梳理和提取信息，建立數(shù)學模型是培養(yǎng)學生建模能力的關(guān)鍵所在。此外，數(shù)學模型種類多，如函數(shù)模型、三角形模型、數(shù)列模型等，學生難以迅速找到合適的解模方法。因此，如何快速找到恰當方法解模，也是值得研究和解決的問題。

一、理論基礎

心理學家佩維奧提出雙重編碼理論，他認為人的記憶中有表象編碼和言語編碼兩種明顯不同的編碼形式。抽象材料只有言語編碼，而形象材料則既有言語編碼，又有表象編碼，即有兩重記憶痕跡。兩重記憶痕跡不但可以延長記憶，而且更不容易遺忘，尤其是在表象系統(tǒng)中的痕跡。佩維奧在實驗和教學中也證實了有豐富形象的材料比純抽象材料容易記憶。由此得出結(jié)論，運用圖示、列表等方法將不可見的思考方法或路徑進行清晰的呈現(xiàn)（思維可視化），可以加快學生理解和吸收應用題的大量信息，幫助學生快速建模和解模，從而啟發(fā)我們找到提升學生數(shù)學建模素養(yǎng)的突破口，即可視化學習。

數(shù)學教材在很多章節(jié)的章首創(chuàng)設實際問題情境，在章尾設置應用題，體現(xiàn)本章知識內(nèi)容“為解決問題而生”。通常情況下，每個章節(jié)在章尾僅有1到2節(jié)應用題課，同時，高三復習應用題專題的課時不多，所以教師有較充裕的時間來精心設計和批閱講評數(shù)學建模的可視化作業(yè)，學生可視化答題也不會過多加大學生的作業(yè)負擔。因此，做數(shù)學建模的可視化作業(yè)是一種切實可行的學習手段，讓學生和教師都有意識地關(guān)注思維過程，學生可以了解如何利用數(shù)學理論和方法分析及解決問題，提高數(shù)學建模素養(yǎng)，教師也可以明白學生思考的全過程。

二、實施過程

基于上述理解，我們將可視化作業(yè)設計和實施流程定為：

（一）課前準備

集體備課，明確該章節(jié)的重難點以及在高中數(shù)學中的地位和作用，以該章內(nèi)容為載體精選題目。

（二）作業(yè)設計

設計應用題可視化作業(yè)。應用題是培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的有效載體，其解決過程如下圖：

應用題題目長，信息量大，如何審題、快速梳理并提取關(guān)鍵信息至關(guān)重要，所以在這一步上可以簡要啟發(fā)或要求學生將審題過程和建立數(shù)量關(guān)系可視化，如審題時，要求學生畫出關(guān)鍵數(shù)據(jù)；啟發(fā)學生如何恰當?shù)厥崂泶祟}數(shù)據(jù)較合適（通過列表、畫示意圖的方式）。

建模時，啟發(fā)學生選擇“先整體后細化局部”還是“先翻譯局部，后拼湊整體”的方式，并將此思維過程寫出來，如先整體分析目標“利潤=收入－成本”，后細化局部“收入來自哪幾部分？成本來自哪幾個部分？”。根據(jù)目標快速聚焦畫出的數(shù)據(jù)，從中提取需要的數(shù)據(jù)，細化表達數(shù)學模型。啟發(fā)學生合理引元，是從代數(shù)角度設元（設斜率、點等）還是從幾何角度設元（設角、邊），才更易建模解模？

求解數(shù)學模型時，可要求學生用流程圖說明你的解模思路。

這樣把問題和要求設置在關(guān)鍵處，便于教師明晰學生思維、診斷錯誤。

附：《以平面圖形為背景的應用題》可視化作業(yè)設計案例片段

【可視化解題要求】

1.審題時，畫出關(guān)鍵數(shù)據(jù)，題目解完后檢查是否有數(shù)據(jù)未曾用過，并選擇列表、畫示意圖等可視化方式理解題意，提取信息。

2.建模時， 建議選用“先整體，后細化局部”或“先翻譯局部，后拼湊整體”的方式。

3.解模時，畫出解題的思維流程圖。

4.小結(jié)時，寫出方法、思想、注意點等，將你的收獲可視化。

你可按以上要求及題目的具體提示進行可視化作業(yè)，也可選擇你認為的更好的可視化方式。

……

（2017 江蘇模擬）如圖，直線l是湖岸線，O是l上一點，弧是以O為圓心的半圓形棧橋，C為湖岸線l上一觀景亭，現(xiàn)規(guī)劃在湖中建一小島D，同時沿線段CD和DP（點P在半圓形棧橋上且不與點A、B重合）建棧橋，考慮到美觀需要，設計方案為DP=DC，∠CDP=60°且圓弧棧橋BP在∠CDP的內(nèi)部，已知BC=2OB=2（km），設湖岸BC與直線棧橋CD、DP及圓弧棧橋BP圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為S（km2），∠BOP=θ。

（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試判斷S是否存在最大值，若存在，求出對應的cosθ的值，若不存在，說明理由.

【建議】審題：畫出關(guān)鍵信息，并在上圖中標出數(shù)據(jù)、畫出輔助線等。

建模：先整體S=______________

后細化局部=_________________

解模：思維流程：目標函數(shù)是__函數(shù)，所以用_______方法求最值。

解：_________________________

小結(jié)：______________________

（三）做題過程

學生按作業(yè)紙上老師設計的要求或提示問題回答，目的在于將自己建模時梳理數(shù)據(jù)、理解題意的過程可視化，將自己解模的思維過程可視化。值得注意的是，讓學生做可視化作業(yè)前，教師在課堂教學時需要先示范，學生才能模仿操作，訓練多次以后，每道題的可視化建議可以略寫甚至不寫，學生也可以創(chuàng)造性地寫出自己的可視化思維過程。

（四）作業(yè)批改

根據(jù)學生的作答情況，進行批閱。批閱時，主要關(guān)注學生的思維過程，將學生的錯誤點在其思維圖示上圈出來，并添上文字表述，便于學生快速找出自己的錯誤點。借助智學網(wǎng)精準分析，通過柱狀圖、題目分析表等將學生的答題正確率可視化，便于教師關(guān)注和梳理出學生的典型錯誤。

（五）作業(yè)講評

作業(yè)講評可視化。將學生作業(yè)中的典型錯誤拍照，利用無線傳屏等多媒體軟件顯示，鼓勵學生自己找錯誤，并進行討論、辯論，教師也可使用Desmos等操作簡單的軟件使驗證答案可視化。

（六）錯誤鞏固

學生的錯誤往往不是一次就能糾正到位的，可能還有一些隱性的錯誤理解，需要再暴露再反饋，才有利于學生牢固掌握。所以利用智學網(wǎng)進行錯題推送，讓學生對同類型題進行練習鞏固。根據(jù)學生的鞏固練習得分情況，分析學生的思維過程，從而對作業(yè)進行改進，并在此基礎上，改進教學過程，并對可視化作業(yè)進行再設計。

三、實施效果

在可視化作業(yè)實施之后，普遍收到了學生的積極反饋。學生們反映，以前審題時總是需要多讀幾遍，平時還好，但考試時越讀越急，越急越讀不進，浪費時間，導致心理焦慮；現(xiàn)在運用畫出關(guān)鍵信息、聚焦關(guān)鍵信息的手段，明顯地縮短了審題時間，結(jié)合列表、畫示意圖等可視化手段以及“整體與局部關(guān)系”的建模方法有效地提高了建模能力和信心，極大地減輕了焦慮情緒，數(shù)學建模意識和解模能力都有所提高。因此可視化作業(yè)可以提高學生數(shù)學建模素養(yǎng)。盡管如此，可視化作業(yè)的設計與實施尚在摸索階段，還需不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高。