伸縮式三自由度并聯(lián)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)及仿真分析

趙海彬 徐 冬

（江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院，徐州 221001）

串聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種開鏈結(jié)構(gòu)，要實(shí)現(xiàn)空間運(yùn)動(dòng)至少要3個(gè)自由度，各種串聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，其中，直角坐標(biāo)平臺(tái)可以由X、Y、Z軸3個(gè)移動(dòng)副實(shí)現(xiàn)其空間運(yùn)動(dòng)，這種平臺(tái)結(jié)構(gòu)簡單、精度高，但因各軸需依次運(yùn)動(dòng)，工作速度受限；關(guān)節(jié)型機(jī)構(gòu)平臺(tái)可以由平移、旋轉(zhuǎn)和回轉(zhuǎn)3種運(yùn)動(dòng)副實(shí)現(xiàn)其空間運(yùn)動(dòng)，該機(jī)構(gòu)平臺(tái)實(shí)際上是類人手臂機(jī)構(gòu)，能有效滿足于空間各種姿態(tài)，同時(shí)其工作范圍大，易于控制，應(yīng)用場景較廣泛，如焊接、搬運(yùn)、碼垛、裝配等領(lǐng)域，但因?yàn)槠潋?qū)動(dòng)力在其關(guān)機(jī)處，要想獲得大的工作空間，必須有足夠的臂展，所以其運(yùn)動(dòng)慣量較大，很難滿足重負(fù)載、高速度下的操作[1]。

圖1 關(guān)節(jié)型機(jī)構(gòu)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由兩個(gè)或兩個(gè)以上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈連接的動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)鏈需要共同作用于動(dòng)平臺(tái)，才能完成動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)[2]，這種機(jī)構(gòu)在機(jī)構(gòu)學(xué)上屬于多回路閉環(huán)機(jī)構(gòu)，典型的Gough-Stewart平臺(tái)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖2所示。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誕生，成為了機(jī)構(gòu)學(xué)界研究新的方向和熱點(diǎn)。因?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)由多個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈組成，所以其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、剛度大。相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)而言[3]，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)裝置設(shè)置在機(jī)架上，能夠減小運(yùn)動(dòng)的負(fù)荷，且運(yùn)動(dòng)速度及動(dòng)態(tài)性能比較好。另外，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解易求出，因此受到了學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界的關(guān)注。

圖2 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)鏈的實(shí)現(xiàn)形式主要是轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副，其中移動(dòng)副主要靠伸縮桿的桿長變化來調(diào)整動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，如電動(dòng)推桿，其上下端采用鉸接，由推桿伸出或縮回改變桿長。本文主要研究伸縮式三自由度并聯(lián)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和仿真驗(yàn)算。

1 伸縮桿式3-DOF并聯(lián)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性研究主要分為運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，其中運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的求解較難，主要方法有數(shù)值法和解析法，本文主要采用解析法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解[4]。如圖3所示的3-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)包括固定平臺(tái)OAB、動(dòng)平臺(tái)O′CD，他們之間使用移動(dòng)副P6、P7、P8進(jìn)行鉸接。

圖3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖

如圖3所示，在下端固定平臺(tái)上建立靜坐標(biāo)系o-XYZ，使得原點(diǎn)o與移動(dòng)副P6的下端重合，X軸與固定平臺(tái)的邊oA重合，Z軸與線段oP6重合。在上端動(dòng)平臺(tái)上建立相應(yīng)的動(dòng)坐標(biāo)系o′-UVW，原點(diǎn)o′與球副E重合，U軸與線段CE重合，W軸垂直于上平臺(tái)平面CDE[5]。由o-XYZ至o′-UVW的坐標(biāo)變換過程為：o-XYZ沿Z軸上升l1+l4成為o1-X1Y1Z1，再繞Y1軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過β角成為o2-X2Y2Z2，最后繞X2軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過α角成為o′-UVW（中間坐標(biāo)系圖上未標(biāo)出）。

令移動(dòng)副P6、P7、P8的輸入量分別為l1、l2、l3，為方便計(jì)算，設(shè)上、下平臺(tái)均為長方形，且上平臺(tái)的邊長CD和CE分別為l7和l8，下平臺(tái)的邊長OA和AB分別為l9和l10，7為X軸與線段AC的夾角。

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

以正解的方法求解時(shí)，已知l1、l2、l3，求z、α、β。由圖3可知：

由平面回路oP6ECP7A，可得如下關(guān)系式：

整理得：Asinβ+Bcosβ+C=0，即：

由機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的幾何等同條件可知：

記 sα=sinα，cα=cosα，sβ=sinβ，cβ=cosβ，由坐標(biāo)變換可得，S7點(diǎn)的絕對坐標(biāo)為：

而S8點(diǎn)的絕對坐標(biāo)為：

將S7、S8點(diǎn)的坐標(biāo)代入式（4）有：

整理得：

解得：

式中：D=2sβ·xp8·vs7-2(l1+l4)·cβ·vs7，E=-2vs7·由式（3）和式（8）知，α、β各有2個(gè)解，因此共有4個(gè)正解。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

以反解的方法求解時(shí)，已知z、α、β，求l1、l2、l3。由圖3可知：

由式（2）可得：

由式（7）可得：

因此，該機(jī)構(gòu)只有一個(gè)反解。

綜上所述，該機(jī)構(gòu)具有4個(gè)正解、1個(gè)逆解，由正解表達(dá)式可知，輸出變量關(guān)于輸入變量的函數(shù)關(guān)系為：z=z(l1)、β=β(l1,l2)、α=α(l1,l2,l3)，即此機(jī)構(gòu)具有典型的三角化解耦性，對應(yīng)于完全解耦，表明機(jī)構(gòu)解耦程度很高，其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析較易，對控制十分有利。

2 仿真分析

運(yùn)用MATLAB軟件對伸縮桿式3-DOF并聯(lián)子平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行仿真，其機(jī)構(gòu)樣機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：上、下平臺(tái)長方形的邊長l7=l8=300 mm，l9=l10=600 mm；定長桿l4=l5=l6=200 mm。

若伸縮桿式3-DOF并聯(lián)子平臺(tái)需要完成兩種運(yùn)動(dòng)：第一，保持動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)不變，并且假設(shè)兩個(gè)繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角度分別為α=0°、β=65°，現(xiàn)使動(dòng)平臺(tái)上S2鉸鏈點(diǎn)的高度z由600 mm變化至1 300 mm，則3根伸縮桿的長度隨著高度z的變化如圖4（a）所示；第二，保持動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)不變，并且假設(shè)兩個(gè)繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角度α=65°、β=0°，現(xiàn)使動(dòng)平臺(tái)上S2鉸鏈點(diǎn)的高度z由600 mm變化至1 300 mm，則3根伸縮桿的長度隨著高度z的變化如圖4（b）所示。

圖4 伸縮桿式3-DOF并聯(lián)子平臺(tái)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真圖

3 應(yīng)用案例

依據(jù)前文中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及仿真驗(yàn)算，設(shè)計(jì)了一款三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)，該平臺(tái)由3支伺服電動(dòng)缸、上下各3只萬向鉸鏈（虎克鉸）和上下2個(gè)平臺(tái)組成，如圖5所示。其中下平臺(tái)固定，借助3支伺服電動(dòng)缸的伸縮運(yùn)動(dòng)，能夠完成平臺(tái)在空間3個(gè)自由度（X、Y、Z、α、β、γ）的運(yùn)動(dòng)，從而模擬出各種空間運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。

圖5 三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)

該三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)既可以應(yīng)用于各種訓(xùn)練模擬器，如飛行操縱模擬器、艦艇操縱模擬器、直升機(jī)操縱模擬器、坦克操縱模擬器、汽車駕駛模擬器、火車駕駛模擬器、地震模擬器以及動(dòng)感影院、娛樂設(shè)備等領(lǐng)域，又可以用于各種汽車姿態(tài)測試設(shè)備以及飛行器的飛行姿態(tài)測試設(shè)備，甚至是空間宇宙飛船的對接和空中加油機(jī)的對接等設(shè)備[6]。同時(shí)，利用三自由度精嚴(yán)密定位機(jī)構(gòu)，可以做成高剛度、高精度的三自由度加工機(jī)械和裝配機(jī)械手，如三軸并聯(lián)機(jī)床和并聯(lián)機(jī)器人，以及各種復(fù)雜的特種加工、復(fù)雜裝配等。

4 結(jié)語

本文通過對伸縮桿式3-DOF并聯(lián)平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，求解出了該機(jī)構(gòu)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和反解表達(dá)式，之后通過對該機(jī)構(gòu)平臺(tái)進(jìn)行仿真分析，證明了該機(jī)構(gòu)平臺(tái)的合理性。該機(jī)構(gòu)的適用范圍較廣，可以做成高剛度、高精度的三自由度加工機(jī)械和裝配機(jī)械手等設(shè)備。