整體法在牛頓第二定律實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用探討

摘" 要 部分教輔書(shū)和中學(xué)教師在分析牛頓第二定律實(shí)驗(yàn)時(shí)對(duì)整體法的運(yùn)用存在一些疏漏，通過(guò)對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行探討，希望能引起重視并對(duì)教學(xué)起促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞 整體法；牛頓第二定律；實(shí)驗(yàn)；曲線坐標(biāo)系

中圖分類號(hào)：G633.7" " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2021）23-0117-02

1" 問(wèn)題的提出與分析

例題1 如圖1研究加速度與質(zhì)量的關(guān)系時(shí)，先平衡好摩擦力，再掛上砂和砂桶并保持它們的質(zhì)量不變。若砂和砂桶的質(zhì)量m與小車的總質(zhì)量M間的關(guān)系不滿足條件m?M，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出a和1/（M+m）的圖像，則與本實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的圖像是" " （選正確選項(xiàng)）。

【解法一】根據(jù)牛頓第二定律，以砂桶為研究對(duì)象，mg-T=ma；對(duì)小車，T=Ma；聯(lián)立得：a=1/（M+m）·mg。可知a—1/（M+m）是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線，故選C。

【解法二】根據(jù)牛頓第二定律，以砂桶和小車整體為研究對(duì)象，mg=（m+M）a；得：a=1/（M+m）·mg?？芍猘—1/（M+m）是一條通過(guò)原點(diǎn)的直線，故選C。

【解法質(zhì)疑】解法二存在問(wèn)題，用整體法是有條件的：當(dāng)幾個(gè)物體的加速度相同時(shí)（包括大小和方向），才可以看成整體。解法二的方程實(shí)際上是解法一兩個(gè)方程聯(lián)立所得，但解法二方便快捷，解釋往往是：小車和砂桶沿繩運(yùn)動(dòng)，沿繩運(yùn)動(dòng)的加速度大小相同，運(yùn)用整體法，mg=（m+M）a。那么，加速度（方向）不相同，不能用整體法時(shí)又該如何處理？

【質(zhì)疑分析】這里運(yùn)用整體法還涉及繩的拉力是內(nèi)力還是外力？某一力是內(nèi)力還是外力，取決于系統(tǒng)的劃分范圍：若繩兩端所系物體均被劃在系統(tǒng)之內(nèi)，則一般說(shuō)來(lái)繩的拉力為內(nèi)力；否則為外力。上述質(zhì)疑中的整體，跟大學(xué)里講的質(zhì)點(diǎn)組不是一回事，質(zhì)點(diǎn)組是針對(duì)質(zhì)心討論和列方程的，是普適的。從質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)知識(shí)中可以知道內(nèi)力具有以下一些性質(zhì)：

1）質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)力的矢量和為零；

2）內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩的矢量和為零；

3）內(nèi)力的功之和一般不為零[1]。

當(dāng)系著兩個(gè)物體的繩子跨過(guò)滑輪時(shí)，跨過(guò)滑輪的一對(duì)拉力不共線也不反向，第一點(diǎn)就不滿足。若再考慮繩與滑輪邊緣之間不光滑有摩擦力時(shí)，這一對(duì)拉力連等大這一性質(zhì)也不具備了，這時(shí)繩中的拉力嚴(yán)格說(shuō)是滑輪一側(cè)的繩子與其所系物體之間的作用力，以及滑輪另一側(cè)的繩子與其所系物體之間的作用力；也可說(shuō)是繩一端所系的物體與繩所接觸的滑輪之間的作用力以及繩的另一端所系的物體與繩所接觸的滑輪另一側(cè)之間的作用力；也就是之前說(shuō)的一對(duì)力實(shí)際上是兩對(duì)力，這兩對(duì)力的大小與方向可以不同。還可以通過(guò)一道2018年的江蘇高考題來(lái)論證這一觀點(diǎn)。

例題2 （2018·江蘇高考）某同學(xué)利用如圖2所示的實(shí)驗(yàn)裝置來(lái)測(cè)量重力加速度g。細(xì)繩跨過(guò)固定在鐵架臺(tái)上的輕質(zhì)滑輪，兩端各懸掛一只質(zhì)量為M的重錘。實(shí)驗(yàn)操作如下。

①用米尺量出重錘1底端距地面的高度H。

②在重錘1上加上質(zhì)量為m的小鉤碼。

③左手將重錘2壓在地面上，保持系統(tǒng)靜止。釋放重錘2，同時(shí)右手開(kāi)啟秒表，在重錘1落地時(shí)停止計(jì)時(shí)，記錄下落時(shí)間。

④重復(fù)測(cè)量3次下落時(shí)間，取其平均值作為測(cè)量值t。

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（3）滑輪的摩擦阻力會(huì)引起實(shí)驗(yàn)誤差?，F(xiàn)提供一些橡皮泥用于減小該誤差，可以怎么做？可利用橡皮泥平衡摩擦阻力，其方法為在重錘1上粘上橡皮泥，調(diào)整橡皮泥的質(zhì)量直至輕拉重錘1能觀察到其勻速下落。

（4）使用橡皮泥改進(jìn)實(shí)驗(yàn)后，重新進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，并測(cè)出所用橡皮泥的質(zhì)量為m0。用實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量量和已知量表示g，得g=" " " " " " " " " " 。

【問(wèn)題（4）解法】根據(jù)牛頓第二定律，以兩個(gè)重錘、鉤碼和橡皮泥的整體為研究對(duì)象：mg=（2M+m+m0）a。又H=1/2·at2，解得：g=2（2M+m+m0）H/mt2。

【質(zhì)疑與分析】根據(jù)例題1的分析可知，式子mg=（2M+m+m0）a不能稱為整體法，就算強(qiáng)行將兩重錘、鉤碼、繩子和橡皮泥作為整體，該研究對(duì)象除了受到向下的重力外，還應(yīng)受到滑輪對(duì)整體向上的支持力N。若規(guī)定豎直向下為正方向，設(shè)加速度的大小為a，右側(cè)重錘1下降，加速度為a，則左側(cè)重錘2上升，與規(guī)定的正方向相反，所以重錘2加速度為-a，整體法的牛頓第二定律方程應(yīng)為：（Mg+Mg+

mg+m0g）-N=（M+m+m0）a-Ma。結(jié)果明顯是錯(cuò)誤的。若分別隔離列式，設(shè)加速度的大小為a，右側(cè)繩子拉力大小為T(mén)1，左側(cè)繩子拉力大小為T(mén)2，滑輪對(duì)繩子的摩擦阻力大小為f。

對(duì)重錘1，（M+m+m0）g-T1=（M+m+m0）a；對(duì)重錘2，T2-Mg=Ma；對(duì)輕質(zhì)繩最高點(diǎn)受力分析，T1=T2+f；再根據(jù)放入鉤碼m前，各物體勻速運(yùn)動(dòng)合外力均為零；聯(lián)立得：mg=（2M+m+m0）a。答案正確，過(guò)程復(fù)雜，也不是出題的主要意圖。

2" 問(wèn)題的解決方案

這里建立一個(gè)曲線坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型來(lái)嘗試解決上述問(wèn)題，即在繩上取某個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立起一個(gè)描述物體運(yùn)動(dòng)位置的曲線坐標(biāo)系[2]。如上述例題2，取重錘2為原點(diǎn)O，物體沿繩運(yùn)動(dòng)，規(guī)定從重錘2經(jīng)滑輪到重錘1為該坐標(biāo)系規(guī)定的正方向，則其沿繩運(yùn)動(dòng)的加速度為曲線坐標(biāo)系下的切向加速度a，如圖3a所示。

再將兩重錘、鉤碼、繩子和橡皮泥組成的系統(tǒng)列牛頓第二定律F=Ma。其中，M為繩子上懸掛物體的總質(zhì)量，F(xiàn)為曲線坐標(biāo)系下的切向合力，所組成的系統(tǒng)與繩子運(yùn)動(dòng)方向相同的受力為動(dòng)力，與繩子運(yùn)動(dòng)方向相反的受力為阻力，F(xiàn)為動(dòng)力與阻力大小相減得到的切向合力，受力分析如圖3b所示。

重錘1所受的總重力（M+m+m0）g與坐標(biāo)系規(guī)定的正方向相同為動(dòng)力，重錘2所受的重力Mg和繩所受的摩擦力f都與坐標(biāo)系規(guī)定的正方向相反為阻力。由于放入鉤碼m前，系統(tǒng)內(nèi)沿繩方向的各物體所受的合力為零，故除鉤碼重力外，系統(tǒng)內(nèi)其余的動(dòng)力和阻力的切向合力為零，即mg=（2M+m+m0）a，如圖3c所示。

上述得到的方程看似簡(jiǎn)單，本質(zhì)上還是用隔離法分別對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各物體列牛頓第二定律方程聯(lián)立的數(shù)學(xué)結(jié)果。這里嘗試引進(jìn)曲線坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)處理，使得系統(tǒng)內(nèi)等大反向的作用力和反作用力在數(shù)學(xué)運(yùn)算中抵消，實(shí)際上作用力和反作用力分別作用在系統(tǒng)內(nèi)不同物體上，效果不能疊加，故此方程為數(shù)學(xué)表達(dá)式，不具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢硪饬x。但該方法用起來(lái)方便，特別是避免了繩子的拉力和滑輪對(duì)繩子支持力的出現(xiàn)，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。

3" 結(jié)論

對(duì)于教材中的牛頓第二定律實(shí)驗(yàn)的研究，總結(jié)下來(lái)一般可分為三個(gè)層次。

第一層次：T=Ma（假定已經(jīng)平衡摩擦力，即除拉力T以外的合外力為零）。

第二層次：拉力T和懸掛物mg并不相等，mg-T=ma。

第三層次：聯(lián)立上述兩式子，消去T之后有mg=（M+m）a。

如果實(shí)驗(yàn)的目的是探究牛頓第二定律，只能回到第一層次，因?yàn)榈诙偷谌龑哟味际且阎摱傻那疤嵯虏庞械摹Ｈ绻欢ㄒ獙⒌谌龑哟蔚模∕+m）看作整體，這種概念雖然有時(shí)候解題有效，但其實(shí)是某些特例情境下硬加進(jìn)來(lái)的概念，不是普適的，不具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢硪饬x。建議在教輔書(shū)的編寫(xiě)和教學(xué)中還需要做到措辭嚴(yán)謹(jǐn)，避免對(duì)學(xué)生造成誤導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

[1]王唐.淺談繩的張力[J].晉中師專學(xué)報(bào)，1995（2）：32-33.

[2]李文略.一般曲線坐標(biāo)系下的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（2）：133-138.

作者：王雪茹，北京市第一七一中學(xué)，中學(xué)高級(jí)教師（100013）。