均質(zhì)圓盤熱傳導(dǎo)問題的新解法1)

李翔宇 袁江宏 沈火明 李映輝

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

熱傳導(dǎo)是航空航天、高速鐵路、電子器件等高新領(lǐng)域的關(guān)鍵科學(xué)技術(shù)問題。關(guān)于熱傳導(dǎo)過程中引起的熱應(yīng)力是當(dāng)前學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)之一。從理工科核心課程數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)的角度來看，熱傳導(dǎo)方程是典型的拋物線型二階偏微分方程[1]。若時(shí)間足夠長，均質(zhì)材料/結(jié)構(gòu)中的溫度最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。針對(duì)二維問題，在極坐標(biāo)系(ρ，φ)中，穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)T(ρ，φ)需滿足拉普拉斯方程[1]

此時(shí)，偏微分方程為橢圓型方程。

本文針對(duì)均質(zhì)圓盤中的熱傳導(dǎo)問題，提出一種新的求解方法。這種簡單而優(yōu)雅的解法由復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)所滿足的柯西-黎曼方程并結(jié)合圓域中的泊松公式直接獲得。所得的積分形式解與文獻(xiàn)中提出的傅里葉級(jí)數(shù)解完全一致。這項(xiàng)工作建立了傅里葉級(jí)數(shù)解和積分形式解兩者之間的橋梁，豐富了數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)內(nèi)容，并可為相關(guān)數(shù)學(xué)等式提供物理解釋。

1 均質(zhì)圓盤熱傳導(dǎo)問題

如圖1 所示，考慮半徑為a的均質(zhì)圓盤的熱傳導(dǎo)問題，即假設(shè)圓周ρ=a處的溫度為

其中f(φ) 為已知函數(shù)，求圓盤中(ρ≤a) 的穩(wěn)態(tài)溫度分布。顯然，式(1) 和式(2) 構(gòu)成了一個(gè)典型的邊值問題。

在數(shù)學(xué)物理的經(jīng)典參考書[2]中，給出了該問題的傅里葉級(jí)數(shù)解答。此解答從如下定理出發(fā)：若T(ρ，φ) 是定義在圓形區(qū)域(ρ≤a) 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，則T(ρ，φ) 可以表示成的傅里葉級(jí)數(shù)[2]為

即cna|n|為函數(shù)f(φ) 的傅里葉級(jí)數(shù)中的系數(shù)[2-3]。

將式(5) 代入式(3)，便得到了邊值問題(1)和(2) 的解，即用傅里葉級(jí)數(shù)(3) 和(5) 確定了圓盤中的穩(wěn)態(tài)溫度分布。

2 積分形式解

這一節(jié)探討邊值問題的積分形式解。它可由復(fù)變函數(shù)中的泊松公式直接獲得。

現(xiàn)在推導(dǎo)泊松公式。假設(shè)復(fù)變函數(shù)g(ρ，φ) =u(ρ，φ) + iv(ρ，φ) 是定義在復(fù)平面上半徑為a的圓域|z| =ρ≤a內(nèi)的解析函數(shù)，其中z=ρeiφ，|z| 為復(fù)數(shù)z的模，且u(ρ，φ) 和v(ρ，φ) 為二元實(shí)變函數(shù)。顯然，作為解析函數(shù)的實(shí)部和虛部，u(ρ，φ)和v(ρ，φ)需滿足柯西-黎曼方程，進(jìn)而滿足二維拉普拉斯方程，即[1]

對(duì)于圓內(nèi)任意一點(diǎn)z=ρeiφ(ρ ＜a)，由柯西積分公式有[1]

其中ζ=aeiθ(0 ≤θ ＜2π)。

另一方面，對(duì)于圓外一點(diǎn)z1=(a2/ρ)eiφ=ρ1eiφ(即ρ1=a2/ρ)，由柯西定理知[1]

式(7) 減去式(8)，可得圓域的泊松公式[1]

比較式(9) 兩邊的實(shí)部和虛部，可得

即復(fù)變函數(shù)的實(shí)部(或虛部) 在圓內(nèi)任意一點(diǎn)處的值可由實(shí)部(或虛部) 在圓邊界上的值加權(quán)積分來表達(dá)。

由于圓盤的溫度場(chǎng)滿足拉普拉斯方程，故可認(rèn)為T是某解析函數(shù)的實(shí)部或虛部。于是圓盤的溫度場(chǎng)可由邊界的溫度來表示

3 解的一致性

在這一節(jié)中，級(jí)數(shù)解(3) 和(5) 將化為積分解(11)。將式(5) 代入式(3) 并交換積分順序(因級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂)，可得

將式(15) 代入式(12)，便得到式(11)。這說明級(jí)數(shù)解和積分解是一致和等價(jià)的。

4 討論

本節(jié)討論兩類特殊情況。

情形一：圓盤周邊在點(diǎn)(ρ，φ)=(a，φ0)處有一強(qiáng)度為T0的點(diǎn)熱源，其余地方溫度為0，即T(a，φ)=f(φ)=T0δ(φ-φ0)，其中δ(x) 為關(guān)于x的狄拉克δ函數(shù)。由式(11) 可得圓盤中的無量綱溫度分布為

其中λ(ρ，φ) 在數(shù)學(xué)物理方法中為泊松核，解釋為邊界影響函數(shù)。

情形二：圓盤周邊保持恒溫，即T(a，φ) =f(φ)=T0。此時(shí)，圓盤中每點(diǎn)的溫度必為T(ρ，φ)=T0。由式(12) 可得

根據(jù)參考文獻(xiàn)[4]，式(17) 中的結(jié)果是正確的。事實(shí)上，該積分可化為復(fù)平面上單位圓的圍道積分進(jìn)行計(jì)算[1]，也可得到式(17) 的結(jié)果。這樣便為恒等式(17) 賦予了物理含義。

5 結(jié)論

本文利用復(fù)變函數(shù)中圓域的泊松公式獲得了均質(zhì)圓盤的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的積分解 (11)。該積分解與傅里葉級(jí)數(shù)解(3) 和(5) 是一致的?？紤]積分解的兩種特殊情況，從而為泊松核函數(shù)和恒等式(17) 賦予了物理含義。該項(xiàng)工作為傅里葉級(jí)數(shù)解和泊松公式搭建了橋梁，豐富了數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)內(nèi)容。