RLC串聯(lián)諧振電路中總損耗電阻的一種估算方法

王 楠，錢浩媛，閆 夙，王 麗

(吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 四平 136000)

RLC串聯(lián)諧振是電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)重要且具有一定難度的實(shí)驗(yàn)，其中電路的諧振頻率f0和品質(zhì)因數(shù)Q是兩個(gè)重要的物理概念和實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)?nèi)容[1,2]。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)Q的實(shí)驗(yàn)值總是小于理論計(jì)算值，并且實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差隨著頻率的增大而增大。這應(yīng)該是由工作在交流狀態(tài)下的電感L和電容C存在一定的損耗電阻，且損耗電阻的大小隨著頻率的升高而增大造成的[3]。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，目前普遍采取的解決辦法主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得L和C串聯(lián)后的總損耗電阻r總，從而對(duì)Q的理論值進(jìn)行修正。例如蔣麗欽通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得l=100 mH，r=100 Ω，C=0.05 μF和0.1 μF時(shí)電路中的r總分別為35.84 Ω和61.05 Ω，從而對(duì)Q進(jìn)行了修正，將實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差分別從20.3%和34.0%降低到6.8%和8.5%[4]。與實(shí)驗(yàn)方法不同，本論文通過(guò)數(shù)據(jù)擬合的方法估算出不同電路中的r總，進(jìn)而對(duì)Q的理論值進(jìn)行修正，達(dá)到減小實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差的目的。

1 理 論

已知RLC串聯(lián)諧振電路的f0和Q的理論公式分別為

(1)

(2)

式中的R，L和C分別為電路中電阻箱，電感箱和電容箱的示數(shù)?？梢钥吹?，Q的大小與R，L和C有關(guān)，而電路的f0只于L和C有關(guān)，與R無(wú)關(guān)。所以，我們?cè)趂0相同范圍內(nèi)，L和C取不同值的條件下對(duì)Q2-R曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，從而估算出電路中的r總。

考慮r總的存在后，對(duì)Q的理論公式進(jìn)行修正，則(2)式寫為

(3)

取平方，得

(4)

(5)

(6)

2 實(shí) 驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)使用的實(shí)驗(yàn)儀器為交流電路綜合實(shí)驗(yàn)儀DH4505，交流毫伏表的型號(hào)為AS2173D。

2.1 C=0.05 μF，L取不同值

連接電路圖1，固定輸出電壓U=1 V，取C=0.05 μF，l=20，50，80和100 mH，R在50 Ω～400 Ω之間取不同值時(shí)，分別測(cè)量出電路的諧振頻率f0，以及L和C在諧振狀態(tài)下兩端的電壓，即UL和UC，則Q的實(shí)驗(yàn)值為

Q=UL/U=UC/U

(7)

圖1 RLC串聯(lián)諧振電路圖

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 C=0.05 μF時(shí)，不同電路的諧振頻率f0和Q實(shí)驗(yàn)

2.2 l=100 mH，C取不同值

連接電路圖1，固定輸出電壓U=1V，取l=100mH，C=0.01，0.024 5，0.039 9，和0.05μF，R在50Ω～400Ω之間取不同值時(shí)，分別測(cè)量出電路的諧振頻率f0，以及L和C在諧振狀態(tài)下兩端的電壓，求出Q的實(shí)驗(yàn)值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 l=100 mH時(shí)，不同電路的諧振頻率f0和Q實(shí)驗(yàn)

續(xù)表

3 結(jié)果和討論

圖2(a) 給出了C=0.05μF，l=20，50，80和100mH時(shí)，Q2的實(shí)驗(yàn)值隨R的變化曲線。L取值一定時(shí)，隨著R的增加，Q2單調(diào)減??；而當(dāng)R取值一定時(shí)，Q2隨著L的增大而增大。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(點(diǎn)線)按公式(5)進(jìn)行擬合，得到的參數(shù)見(jiàn)插圖?？梢钥吹剿臈l擬合線的系數(shù)A分別為 (13.19±0.11)，(22.45±0.05)，(33.49±0.77)和(33.46±0.46)，即當(dāng)C=0.05μF，l=20，50，80和100mH時(shí)，RLC電路中的r總分別為(13.19±0.11)Ω，(22.45±0.05)Ω，(33.49±0.77)Ω和(33.46±0.46)Ω。

圖2(b)給出了C=0.05μF時(shí)，r總、L和f0的三維立體關(guān)系曲線圖。其中f0的數(shù)值由公式(1)求得。從圖中可以看到，當(dāng)L從20mH增加到100mH時(shí)，f0從5 035.5Hz減小到2 251.9Hz，同時(shí)r總從13.19Ω增大到33.46Ω。即當(dāng)C=0.05μF，f0在2 251.9Hz～5 035.5Hz之間時(shí)，電路中的r總隨著頻率的增大而減小。在RLC串聯(lián)諧振電路中，r總=rL+rLs+rCs，其中rL為L(zhǎng)的直流電阻，阻值與頻率無(wú)關(guān)；rLs和rCs分別為L(zhǎng)和C在交流狀態(tài)下的損耗電阻，且rLs遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于rCs，所以r總≈rL+rLs。雖然頻率在103～104Hz范圍內(nèi)時(shí)，rLs隨著頻率的增高而增大[5]，但是當(dāng)L從100mH減小到20mH時(shí)，rL會(huì)減小，從而導(dǎo)致圖2(b)中r總隨著頻率的增大而減小。

(a) C=0.05 μF，L取不同值時(shí)Q2的實(shí)驗(yàn)值隨R的變化曲線；

圖3給出了C=0.05μF，L取不同值時(shí)，Q和實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差Δ與R的關(guān)系曲線圖。圖中修正前和修正后的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差Δ分別為：

其中Q修正前和Q修正后分別由公式(2)和(3)計(jì)算而得。從圖中可以看到Q修正前與Q實(shí)驗(yàn)存在明顯偏差，而Q修正后與Q實(shí)驗(yàn)基本完全相符。當(dāng)l=20，50，80和100mH時(shí)，Δ修正前的大小分別在0.38%～20.94%，4.00%～31.00%，8.29%～40.51%和8.92%～42.72%之間，而Δ修正后的大小分別降低到0.09%～4.53%，0.02%～1.67%，0.19%～5.53%和0.13%～5.69%之間，從而說(shuō)明r總對(duì)Q修正的正確性和必要性。值得注意的是，Δ修正前的大小是隨著L的增大而增大的，即當(dāng)C=0.05μF，f0在2251.9Hz～5035.5Hz之間，Q的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差隨著頻率的增大而減小，這應(yīng)該是由于r總隨f0的增大而減小造成的。

(a) l=20 mH

圖4(a) 給出了l=100mH，C=0.01，0.024 9，0.039 9和0.05μF時(shí)，Q2的實(shí)驗(yàn)值隨R的變化曲線?？梢钥吹?，C一定時(shí)，Q2隨著R的增加單調(diào)減?。籖一定時(shí)，Q2隨著C的增大而減小。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(點(diǎn)線)按照公式(6)進(jìn)行擬合，得到的參數(shù)見(jiàn)插圖?？梢钥吹疆?dāng)l=100mH，C=0.01，0.024 9，0.039 9和0.05μF時(shí)，RLC電路中的r總(數(shù)值等于系數(shù)A)分別為(88.33±3.54)Ω，(55.79±1.50)Ω，(33.85±0.51)Ω和(33.46±0.46)Ω。圖4(b)給出了l=100mH時(shí)，r總、C和f0的三維立體關(guān)系曲線圖。當(dāng)C從0.01μF增加到0.05μF時(shí)，f0從5 035.5Hz減小到2251.9Hz，同時(shí)r總從88.33Ω減小到33.46Ω。即當(dāng)l=100mH，f0在2 251.9Hz～5 035.5Hz之間，RLC串聯(lián)諧振電路中的r總隨著頻率的增大而增大。這是因?yàn)殡娐分蠰值沒(méi)有改變，即rL沒(méi)有改變，r總隨頻率的變化與rLs的變化一致。

(a) l=100 mH，C取不同值時(shí)Q2的實(shí)驗(yàn)值隨R的變化曲線；

圖5給出了l=100mH，C取不同值時(shí)，Q和Δ與R的關(guān)系曲線圖?？梢钥吹絈修正后與Q實(shí)驗(yàn)基本完全相符。即當(dāng)C=0.01，0.024 9，0.039 9和0.05μF時(shí)，Δ修正前的大小分別在6.48%～22.86%，4.40%～18.94%，3.65%～18.88%和3.26%～16.94%之間，而Δ修正后的大小分別降低到2.89%～11.54%，1.28%～7.82%，0.43%～4.52%和0.33%～4.98%之間。同樣值得注意的是，Δ修正前的大小是隨著C的增大而減小的，即當(dāng)l=100mH，f0在2 251.9Hz～5 035.5Hz之間，Q的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差隨著頻率的增大而增大，這應(yīng)該是由于r總隨f0的增大而增大引起的。

(a) C=0.01 μF

4 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，本文通過(guò)數(shù)據(jù)擬合的方法估算出了RLC串聯(lián)諧振電路中r總的大小，從而對(duì)Q的理論值進(jìn)行了修正。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

(1)f0在2 251.9Hz～5 035.5Hz之間時(shí)，RLC串聯(lián)諧振電路中存在一定的損耗電阻，從而使Q的實(shí)驗(yàn)值明顯小于理論值；

(2)當(dāng)C=0.05μF，f0在2 251.9Hz～5 035.5Hz之間時(shí)，r總隨著頻率的增大而減小，從而使得Q的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差隨著f0的增大而減小；

(3)當(dāng)l=100mH，f0在2 251.9Hz～5 035.5Hz之間時(shí)，r總隨著頻率的增大而增大，從而使得Q的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差隨著f0的增大而增大。

通過(guò)以上研究可以使學(xué)生更好地理解RLC串聯(lián)諧振電路的特征，提高他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。此外，運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不僅準(zhǔn)確快捷，而且可以使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論公式生動(dòng)起來(lái)，從而極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。