基于多種方法探究的亥姆霍茲和多線圈磁場(chǎng)分析

方明月,郭瑞雪,謝翠婷

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)研究以及生產(chǎn)技術(shù)發(fā)展等多領(lǐng)域中，常常要求在某一有限空間內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)均勻性的磁場(chǎng)[1，2]。由于亥姆霍茲線圈簡(jiǎn)便且成本低，因此實(shí)驗(yàn)室和工程上常常使用亥姆霍茲線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)，但是此方法得到的磁場(chǎng)范圍以及均勻性比較有限且有一定誤差[3，4]。有文獻(xiàn)[5，6]提出多載流圓線圈相組合的方法，并表明共軸3個(gè)載流圓線圈磁場(chǎng)的均勻性優(yōu)于亥姆霍茲線圈[7]。

本文將通過理論、仿真以及實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法對(duì)3個(gè)平行共軸載流圓形線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布進(jìn)行求解與測(cè)量，并對(duì)比分析雙線圈和三線圈的磁場(chǎng)均勻性。首先，本文采用解析以及COMSOL Multiphysics仿真軟件對(duì)雙線圈和三線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行求解分析。在此基礎(chǔ)上，確定和驗(yàn)證產(chǎn)生最佳均勻磁場(chǎng)時(shí)三線圈裝置線圈之間的間距以及電流大小等參數(shù)，為實(shí)驗(yàn)裝置搭建提供理論基礎(chǔ)。另一方面，本文搭建雙線圈以及三線圈的實(shí)驗(yàn)裝置，通過智能手機(jī)傳感器以及特斯拉計(jì)兩種手段定量測(cè)量線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真理論數(shù)值進(jìn)行比較和誤差分析，保證數(shù)據(jù)的可信性和實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 單個(gè)圓電流線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律[8]，當(dāng)圓線圈中通以電流I時(shí)，在xy平面上任意一點(diǎn)P1(見圖1)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

式中，μ0=4π×10-7T·m/A為真空磁導(dǎo)率，N為線圈匝數(shù)。

圖1 單個(gè)圓電流線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)

(2)

其中，R為線圈的平均半徑。

(3)

(4)

(5)

(6)

相應(yīng)地，載流圓線圈在其軸線上P2點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為：

(7)

x為圓心O到點(diǎn)P2的距離。

1.2 亥姆霍茲線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度

亥姆霍茲線圈由一對(duì)平行共軸的圓形線圈串聯(lián)構(gòu)成，線圈之間的間距等于線圈的半徑R。當(dāng)兩個(gè)線圈中通以大小相等、方向一致的電流I時(shí)，其軸線上沿著y方向的磁場(chǎng)大小為

(8)

1.3 3個(gè)共軸圓電流線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度

在亥姆霍茲線圈的基礎(chǔ)上增加一個(gè)一模一樣的線圈，即平行共軸三線圈，如圖2所示[9，10]。若相鄰兩線圈間距為a，當(dāng)3個(gè)線圈通以方向一致的電流，兩端線圈的電流強(qiáng)度為I，中間線圈的電流強(qiáng)度為kI時(shí)，軸線上任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為

(9)

(10)

有文獻(xiàn)[6]報(bào)道，當(dāng)k=0.53，a=0.76R時(shí)，三線圈軸線上磁場(chǎng)的均勻性最好。

圖2 3個(gè)共軸圓電流線圈示意圖

2 仿真分析

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[6]可知，在3個(gè)線圈的情況下，當(dāng)相鄰兩線圈間距a=0.76R時(shí)，磁場(chǎng)的均勻效果最好。

因此，本文將通過COMSOL Multiphysics軟件對(duì)不同間距下的三線圈以及亥姆霍茲雙線圈進(jìn)行磁場(chǎng)仿真，從數(shù)值上驗(yàn)證和分析共軸三線圈軸線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布。參數(shù)選取如下：線圈匝數(shù)N=500，線圈直徑d=2r=20 cm，線圈寬度d=1 cm。對(duì)于亥姆霍茲雙線圈，電流選取均為I=100 mA；對(duì)于共軸三線圈，選取兩個(gè)邊緣的線圈電流I=100 mA,中間線圈的電流I0=0.53I。

2.1 不同間距下三線圈的磁場(chǎng)仿真分析

如圖3所示，可以清晰地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=9 cm時(shí)，雖然磁場(chǎng)分布最均勻，但磁場(chǎng)強(qiáng)度偏小。

圖3 不同間距下共軸三線圈軸線上y分量的磁場(chǎng)強(qiáng)度與位移關(guān)系圖

a=6 cm時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度變大，但磁場(chǎng)的均勻性變低。綜合考量磁場(chǎng)的強(qiáng)度以及磁場(chǎng)均勻距離，圖3驗(yàn)證了a=0.76r=7.6 cm時(shí)，三線圈的磁場(chǎng)均勻效果最好。

此外，也可以從圖4中箭頭的指向直觀地看到a=0.76r=7.6 cm時(shí)，三線圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)在xy平面上的分布情況?？梢悦黠@地看到，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度在一定范圍內(nèi)較為均勻。

圖4 共軸三線圈的磁場(chǎng)仿真結(jié)果

2.2 三線圈和亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)仿真分析

圖5呈現(xiàn)了亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)仿真結(jié)果，從箭頭的指向和長(zhǎng)度可以直觀地看到亥姆霍茲磁場(chǎng)在一定區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)出較好的均勻性。

圖5 亥姆霍茲線圈的磁場(chǎng)仿真結(jié)果

圖6繪制了共軸三線圈和亥姆霍茲線圈軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和位移的函數(shù)關(guān)系曲線圖。如圖6所示，通過仿真結(jié)果的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)三線圈軸線上的磁場(chǎng)均勻距離比雙線圈更長(zhǎng)，且磁場(chǎng)強(qiáng)度相對(duì)更強(qiáng)。綜合考慮磁場(chǎng)均勻距離以及磁場(chǎng)強(qiáng)度，三線圈軸線上的磁場(chǎng)均勻性明顯優(yōu)于雙線圈。

圖6 三線圈和雙線圈軸線上y分量的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小對(duì)比

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖7所示，本文對(duì)亥姆霍茲線圈以及共軸三線圈進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)裝置的搭建。在實(shí)驗(yàn)中，采用傳統(tǒng)的特斯拉計(jì)和智能手機(jī)傳感器兩種方法對(duì)線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。

(a)特斯拉計(jì)測(cè)量三線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度

3.2 實(shí)驗(yàn)方法

(1)調(diào)整實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，使3個(gè)線圈等高共軸，并調(diào)好兩兩線圈之間的間距使a=0.76r=7.6 cm；

(2)不接通電源，將華為手機(jī)的傳感器放置在三線圈的軸線上，旋轉(zhuǎn)臺(tái)面使手機(jī)傳感器磁場(chǎng)調(diào)零；

(3)接通電源，沿三線圈的軸線方向移動(dòng)手機(jī)，分別記錄當(dāng)三個(gè)線圈通正向電流和反向電流時(shí)y方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度B+和B-；

(4)重復(fù)步驟(1)～(3)，但是用特斯拉計(jì)替代手機(jī)測(cè)量并記錄三線圈軸線上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；

(5) 調(diào)整實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，使兩個(gè)線圈等高共軸，并調(diào)整兩個(gè)線圈之間的間距使a=r=10 cm；

(6) 重復(fù)步驟(2)～(3)，測(cè)量并記錄雙線圈軸線上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；

(7) 重復(fù)步驟(5)～(6)，使用特斯拉計(jì)替代手機(jī)測(cè)量并記錄雙線圈軸線上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 多方法測(cè)量下三線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布對(duì)比

不同測(cè)量方法下共軸三線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和位移關(guān)系如圖8所示。其中，智能手機(jī)測(cè)量和特斯拉測(cè)量數(shù)據(jù)擬合曲線之間的相關(guān)系數(shù)為0.999 3，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的誤差平方和為2.502 1。由此可見，智能手機(jī)與特斯拉計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致。表明了智能手機(jī)的測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值(特斯拉計(jì)測(cè)量)之間的誤差極小。

圖8 不同測(cè)量方法下共軸三線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小對(duì)比

此外，智能手機(jī)測(cè)量和仿真曲線之間的相關(guān)系數(shù)為0.910 1，特斯拉計(jì)測(cè)量和仿真曲線之間的相關(guān)系數(shù)為0.925 4。這些結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得的軸線磁場(chǎng)分布趨勢(shì)與仿真結(jié)果基本一致。

4.2 多方法測(cè)量下亥姆霍茲線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布對(duì)比

如圖9示，可以清晰地看到，在雙線圈軸線的磁場(chǎng)分布測(cè)量中，用智能手機(jī)與特斯拉計(jì)采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本一致，兩條曲線的相關(guān)系數(shù)為0.977 1。

圖9 不同測(cè)量方法下亥姆霍茲線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小對(duì)比

該對(duì)比表明了智能手機(jī)測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差極小。此外，智能手機(jī)測(cè)量雙線圈磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果的相關(guān)系數(shù)為0.949 4，特斯拉計(jì)測(cè)量的數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)曲線的相關(guān)系數(shù)為0.967 1。這些結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)測(cè)量與仿真測(cè)量數(shù)據(jù)高度一致。

4.3 多方法測(cè)量下三線圈和亥姆霍茲線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布對(duì)比

多方法測(cè)量下三線圈和亥姆霍茲線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布對(duì)比見圖10和圖11。

圖10 智能手機(jī)測(cè)量三線圈和亥姆霍茲線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

圖11 特斯拉計(jì)測(cè)量三線圈和亥姆霍茲線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小

從圖10 和圖11可以看到，智能手機(jī)以及特斯拉計(jì)的測(cè)量結(jié)果表明，三線圈軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻距離大于亥姆霍茲線圈，且相應(yīng)位置處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小明顯大于亥姆霍茲線圈。這從實(shí)驗(yàn)上表明了，在一定電流以及線圈間距a下，共軸三線圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)均勻性明顯優(yōu)于亥姆霍茲線圈。

5 結(jié) 語

本文分別通過COMSOL Multiphysics軟件、智能手機(jī)以及特斯拉計(jì)對(duì)三線圈和雙線圈軸線上的磁場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行了仿真測(cè)量與分析比較。兩種實(shí)驗(yàn)測(cè)量與仿真結(jié)果基本一致，均表明了在特定情況下三線圈軸線上的磁場(chǎng)均勻性優(yōu)于雙線圈，從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了共軸三線圈是產(chǎn)生更加均勻磁場(chǎng)的方法。此外，智能手機(jī)對(duì)三線圈磁場(chǎng)分布實(shí)驗(yàn)測(cè)量的引入，為實(shí)驗(yàn)教學(xué)中測(cè)量磁場(chǎng)提供了一種更加簡(jiǎn)便、低成本以及較高精確度的實(shí)驗(yàn)方法。