基于Schnerr-Sauer模型的噴嘴含沙空化流動(dòng)計(jì)算

夏玉立，趙 越

（1.浙江省水利發(fā)展規(guī)劃研究中心，杭州 310019；2.國(guó)際小水電中心，杭州 310002）

0 引 言

空化是一種復(fù)雜的多相流動(dòng)，受空核、表面張力、表面粗糙度等因素的影響，在壓強(qiáng)低于飽和蒸汽壓時(shí)發(fā)生，其本質(zhì)為相變［1］。空化能夠誘導(dǎo)強(qiáng)烈的振動(dòng)與噪聲，對(duì)材料造成嚴(yán)重的空蝕破壞，但同時(shí)又可用于提高切割、清洗、破巖等方面的工作效率［2］。我國(guó)西北地區(qū)河流沙粒含量不同，圖1所示為黃河不同觀測(cè)站處沙粒含量的變化，沙粒不同的粒徑與含量對(duì)空化初生和空化發(fā)展具有顯著影響，對(duì)運(yùn)行的流體機(jī)械也會(huì)造成空蝕與磨蝕的聯(lián)合破壞。

季斌和羅先武［3］采用基于質(zhì)量傳輸方程的空化模型對(duì)繞三維水翼的空化流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到的空穴形態(tài)與空泡脫落周期和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比吻合度較高；Arndt 等人［4］研究了NACA0015 水翼空化的流體動(dòng)力特性，發(fā)現(xiàn)了攻角與空化數(shù)的變化會(huì)對(duì)其產(chǎn)生影響；李向賓等［5］通過(guò)對(duì)湍流模型進(jìn)行修正，并采用修正前后的湍流模型模擬繞水翼時(shí)的超空化現(xiàn)象，結(jié)果表明修正后的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果更為吻合；戚定滿［6］等通過(guò)邊界元的研究方法模擬了兩個(gè)空泡相鄰時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況和演變規(guī)律，并且得出當(dāng)空泡發(fā)生潰滅時(shí)速度與時(shí)間的關(guān)系；Gregorc 等［7］分析了不同沙粒與清水比例對(duì)空化發(fā)展程度的影響；Borkent 等［8］研究了4種不同類型的沙粒對(duì)空化流動(dòng)發(fā)展的影響；Wagterveld等［9］分析發(fā)現(xiàn)空泡的擴(kuò)展能夠使晶體做加速運(yùn)動(dòng)；Pavard 等［10］發(fā)現(xiàn)在高壓與微射流的影響下，空泡能夠成功地將沙粒推開(kāi)；張濤等［11］發(fā)現(xiàn)了空蝕與磨蝕對(duì)翼型聯(lián)合破壞的影響因素。

本文通過(guò)選取沙粒粒徑分別為0.02、0.04、0.06、0.07、0.08 mm，沙粒含量分別為0.02、0.04、0.06、0.07、0.08，著重研究了不同沙粒粒徑與沙粒含量對(duì)噴嘴內(nèi)空化流動(dòng)的影響。數(shù)值計(jì)算過(guò)程選用RNGk-ε湍流模型及Schnerr-Sauer 空化模型求解二維噴嘴內(nèi)不同沙粒粒徑與含量下的含沙?？栈鲃?dòng)。

1 數(shù)值算法

1.1 基本方程

沙粒對(duì)二維噴嘴內(nèi)空化流動(dòng)影響數(shù)值計(jì)算的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程、輸運(yùn)方程［12］如下所示：

式中：u為混合速度；ρm為混合密度；ρl、ρs與ρv為清水、沙粒、與氣體的密度；αl、αs和αv為清水、沙粒、氣體的含量；μm為混合黏度；μl、μs與μv為清水、沙粒、氣體的黏度；m+為蒸發(fā)過(guò)程中的源項(xiàng)；m-為凝結(jié)過(guò)程中的源項(xiàng)。

1.2 空化模型

Schnerr-Sauer 模型是一種均質(zhì)流模型，具有模型中不存在經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的特點(diǎn)［13］，本文使用Schnerr-Sauer 空化模型來(lái)求解二維噴嘴內(nèi)清水介質(zhì)與氣體之間的質(zhì)量傳輸。

式中：rb為空泡半徑，其值為1.0×10-5mm；pv為飽和蒸汽壓；p為局部壓力。

1.3 湍流模型

為充分考慮流動(dòng)過(guò)程旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響，本文使用RNGk-ε湍流模型［14］來(lái)封閉空化流動(dòng)過(guò)程中的雷諾時(shí)均Naiver-Stokes方程。

式中：k為湍動(dòng)能；ε為湍流耗散率；Gk為由平均速度梯度所產(chǎn)生的動(dòng)能生成項(xiàng)；C1ε與C2ε為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；αk、αε與cμ的值分別為1.39、1.39、0.09。

考慮到氣相是可以壓縮的，對(duì)RNGk-ε湍流模型進(jìn)行修正，方程（11）中，n為常數(shù)，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)研究，取其值為10［15］。修正后，使得空化區(qū)域的湍動(dòng)黏度顯著下降，湍動(dòng)黏度的修正函數(shù)如圖2所示。

2 數(shù)值計(jì)算

2.1 基本介紹

在對(duì)二維噴嘴內(nèi)含沙?？栈鲃?dòng)的數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，清水介質(zhì)為主相，沙粒與氣體為次相，將非冷凝氣體的影響予以忽略［16］。由于沙粒粒徑較小，將沙粒視作球形擬流體處理。

2.2 空化數(shù)定義

空化數(shù)用于描述空化發(fā)展的形態(tài)，為一無(wú)量綱數(shù)，常包含有初生空化數(shù)、臨界空化數(shù)，其定義如方程（12）所示［19］。

式中：v∞為無(wú)窮遠(yuǎn)處流場(chǎng)的速度；p∞為無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓力。

2.3 模型與網(wǎng)格

計(jì)算選用流體力學(xué)驗(yàn)證手冊(cè)［17］里的二維噴嘴模型，入口直徑為23 mm，出口直徑為8 mm，噴嘴總長(zhǎng)為48 mm，噴孔的長(zhǎng)度為32 mm。為提高數(shù)值計(jì)算的精確度，對(duì)計(jì)算模型運(yùn)用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行離散，并對(duì)網(wǎng)格做無(wú)關(guān)性分析，結(jié)果如表1所示。發(fā)現(xiàn)隨網(wǎng)格數(shù)的增加，清水介質(zhì)的空化數(shù)的變化較小，最大相對(duì)誤差小于0.3%，因此為節(jié)約計(jì)算資源，在后續(xù)的清水介質(zhì)空化流動(dòng)與含沙?？栈鲃?dòng)的數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，選取的網(wǎng)格數(shù)目為14 330。

表1 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性分析Tab.1 Grid independence analysis

2.4 物理參數(shù)與邊界條件

數(shù)值計(jì)算過(guò)程中的溫度為25°C，沙粒密度為2 650 kg/m3，氣體密度為0.025 58 kg/m3，黏度為1.26×10-6Pa·s，空泡的半徑為1.0×10-5m，空泡數(shù)密度為1.0×1013，飽和蒸汽壓為3 540 Pa。噴嘴入口設(shè)定為總壓入口250 MPa，出口設(shè)定為靜壓出口95 kPa。計(jì)算通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)來(lái)處理壁面處的湍流流動(dòng)，為加速收斂，用SIMPLEC算法求解整個(gè)流場(chǎng)。

2.5 算法驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述算法的合理性，對(duì)繞二維NACA0015 翼型的空化流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。此翼型的弦長(zhǎng)為115 mm，攻角為5°，整個(gè)計(jì)算域?yàn)?20 mm×500 mm，如圖4所示。

數(shù)值計(jì)算將上下邊界設(shè)置為無(wú)滑移邊界條件，左側(cè)邊界設(shè)置為速度入口，右側(cè)邊界設(shè)置為壓力出口，壓力的給定依據(jù)特定的空化數(shù)。當(dāng)空化數(shù)為σ=1.5 時(shí)，翼型表面的壓力系數(shù)的實(shí)驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖5所示，兩者吻合良好［18］，計(jì)算結(jié)果表明上述算法用于數(shù)值計(jì)算含沙?？栈鲃?dòng)具有一定的可行性。

3 結(jié)果分析

選取沙粒粒徑為0.07 mm 與沙粒含量在8%下的噴嘴空化流動(dòng)計(jì)算結(jié)果，觀察靜壓、氣體、與沙粒在二維噴嘴內(nèi)的分布特性。

3.1 靜壓與氣體分布

如靜壓的分布圖6所示，低壓區(qū)主要集中在噴孔起始段的兩側(cè)，且兩者的分布均為軸對(duì)稱分布，與氣體體積分?jǐn)?shù)分布圖7中高體積分?jǐn)?shù)區(qū)基本重合，該現(xiàn)象表明該區(qū)域?yàn)楹沉？栈鲃?dòng)初生區(qū)域。

3.2 沙粒分布

沙粒分布對(duì)空化流動(dòng)的發(fā)生與發(fā)展有著較為顯著的影響，可誘導(dǎo)形成更多的空核，同時(shí)也對(duì)壓力脈動(dòng)形成顯著的影響。流動(dòng)下的沙粒的分布如圖8所示，由于沙粒重力造成的沉降，沙粒堆積與靜壓和氣體體積分?jǐn)?shù)的分布類似，呈軸對(duì)稱分布于噴嘴入口段的兩側(cè)。

3.3 空化數(shù)的變化

如表2所示，通過(guò)式（12）計(jì)算得到各工況下的含沙?？栈鲃?dòng)的空化數(shù)均低于清水介質(zhì)下的1.379；通過(guò)圖9與圖10 可以看出空化數(shù)隨沙粒粒徑與沙粒含量的變化存在波動(dòng)，沙粒促進(jìn)了空化流動(dòng)在二維噴嘴內(nèi)的發(fā)展，但促進(jìn)空化程度各不相同。

表2 含沙?？栈鲃?dòng)的空化數(shù)Tab.2 Cavitation number in cavitation flow containing sand particles

3.3.1 空化數(shù)隨沙粒含量的變化

圖9為當(dāng)沙粒粒徑給定時(shí)，空化數(shù)隨沙粒含量的變化。當(dāng)沙粒粒徑為0.02 與0.04 mm 時(shí)，空化數(shù)隨沙粒含量的增加持續(xù)下降，而當(dāng)沙粒含量為0.08 時(shí)達(dá)到最小值，此時(shí)對(duì)空化流動(dòng)的影響最為劇烈。當(dāng)沙粒粒徑為0.06 mm 時(shí)，空化數(shù)隨沙粒含量的改變有較劇烈的波動(dòng)，呈“W”型變化；當(dāng)沙粒含量為0.06 時(shí)空化數(shù)達(dá)到最大值，此時(shí)的沙粒對(duì)空化流動(dòng)的影響最小。當(dāng)沙粒粒徑為0.07 與0.08 mm 時(shí)，兩者的空化數(shù)隨沙粒含量的變化相類似，空化數(shù)表現(xiàn)為整體下降，但在沙粒含量由0.04 變?yōu)?.06 時(shí)，空化數(shù)又有適度的增長(zhǎng)，空化數(shù)同沙粒粒徑為0.02 與0.04 mm時(shí)的類似，也在沙粒含量為0.08時(shí)達(dá)到最小值。

3.3.2 空化數(shù)隨沙粒粒徑的變化

空化數(shù)隨沙粒粒徑的變化如圖10所示，當(dāng)沙粒含量為0.02與0.04 時(shí)，空化數(shù)的變化整體呈現(xiàn)“V”走勢(shì)，而當(dāng)沙粒粒徑為0.06 mm 時(shí)所得到的空化數(shù)值最小。沙粒含量為0.02 時(shí)的空化數(shù)隨沙粒粒徑由0.02 mm 增加至0.04 mm 而變大，但當(dāng)沙粒含量為0.04 時(shí)卻有較為顯著的下降，而沙粒含量為0.06、0.07、0.08 下的空化數(shù)隨沙粒粒徑的變化具有相同的規(guī)律。通過(guò)計(jì)算結(jié)果可以看出，隨沙粒粒徑的增加，空化數(shù)呈現(xiàn)先減少后增加再減少的變化趨勢(shì)，但在具體的沙粒粒徑含量范圍內(nèi)，空化數(shù)的變化程度各不相同，但都在沙粒含量為0.04 時(shí)空化數(shù)出現(xiàn)最小值，說(shuō)明了沙粒對(duì)空化流動(dòng)影響的多樣性。

4 沙粒作用

含沙空化流動(dòng)的空化數(shù)均小于清水下的空化數(shù)表明沙粒促進(jìn)了空化流動(dòng)的發(fā)展，綜合考慮沙粒的特性以及對(duì)流場(chǎng)變化的影響，其主要原因解釋如下：

（1）在含沙?？栈鲃?dòng)中，沙粒能夠誘發(fā)形成更多的空核，從而形成更多的空泡，空核初生演化為空化泡的過(guò)程［20］如圖11所示。

（2）虛擬質(zhì)量力［21］為間接接觸力，在含沙?？栈鲃?dòng)中有較為顯著的作用，該力能夠使得清水、沙粒、氣體的混合動(dòng)能增加。依據(jù)伯努利方程可知，在此力的作用下壓力會(huì)得到顯著降低，從而有效促進(jìn)空化流動(dòng)的發(fā)展。

（3）沙粒是一種疏水性不浸潤(rùn)的固體材料，二維噴嘴內(nèi)的含沙?？栈鲃?dòng)下所形成的拉應(yīng)力比清水空化流動(dòng)大，更容易形成空泡，進(jìn)而促進(jìn)空化的發(fā)生與發(fā)展。

（4）由于清水與沙粒的密度差，當(dāng)清水的速度減小時(shí)，由于受到慣性的影響，沙粒的速度會(huì)小于清水速度形成速度差，進(jìn)而造成滑移速度。圖12 為清水空化流動(dòng)與含沙水空化流動(dòng)下的滑移速度比較，以沙粒粒徑為0.06 mm，沙粒含量分別為0.02、0.04、0.06、0.08 的滑移速度云圖分布為例進(jìn)行說(shuō)明。計(jì)算結(jié)果表明，含沙粒空化流動(dòng)的滑移速度相比清水流動(dòng)更大，同時(shí)依據(jù)公式（13）還可得到，含沙?？栈鲃?dòng)下的薩夫曼升力［22］也要大于清水空化流動(dòng)?？梢钥闯鲈诨扑俣扰c薩夫曼升力的共同影響下，含沙?？栈鲃?dòng)中的壓降顯著，相比清水流動(dòng)更加能夠促進(jìn)空化流動(dòng)的發(fā)展。

式中：第1 項(xiàng)表示為速度在y方向上的梯度；第2 項(xiàng)表示為清水與沙粒之間的滑移速度的絕對(duì)值。

（5）含沙?？栈鲃?dòng)的湍動(dòng)能高于清水空化流動(dòng)。以沙粒粒徑為0.06 mm，沙粒含量為0.02、0.04、0.06、0.08的湍動(dòng)能分布云圖13為例進(jìn)行說(shuō)明。湍動(dòng)能增大致使壓力波動(dòng)程度變大，能夠顯著促進(jìn)含沙?？栈鲃?dòng)中壓力的下降，促使空化流動(dòng)在二維噴嘴內(nèi)的發(fā)展。

5 結(jié) 論

本文基于Schnerr-Sauer 空化模型和RNGk-ε湍流模型研究二維噴嘴內(nèi)不同沙粒粒徑與沙粒含量下的含沙?？栈鲃?dòng)，并選用流體力學(xué)驗(yàn)證手冊(cè)中的二維噴嘴模型進(jìn)行計(jì)算分析，得到的主要結(jié)論有。

（1）靜壓、氣體體積分?jǐn)?shù)、沙粒在二維噴嘴內(nèi)的分布均為軸對(duì)稱分布。

（2）沙粒粒徑為0.06、0.07、0.08 mm 時(shí)的空化數(shù)隨沙粒含量的波動(dòng)程度高于沙粒粒徑為0.02 mm 與0.04 mm 時(shí)的空化數(shù)，而當(dāng)沙粒含量為不變量時(shí)，空化數(shù)波動(dòng)程度受沙粒粒徑變化影響更大大。

（3）沙粒特性、滑移速度、薩夫曼升力、湍動(dòng)能的共同作用促進(jìn)了噴嘴內(nèi)的含沙水流動(dòng)空化的發(fā)展?！?/p>