一種橋梁實測小樣本數(shù)據(jù)的區(qū)間優(yōu)化方法
——灰自助抽樣與灰色系統(tǒng)理論相結(jié)合

郭慧鵬，陳旭勇，許峙峰，操 爽

武漢工程大學土木工程與建筑學院，湖北 武漢430074

在對橋梁進行非概率可靠性評估時，可靠性指標對區(qū)間參數(shù)變化非常敏感，區(qū)間估計準確度直接影響著橋梁可靠性評估的結(jié)果。農(nóng)村公路橋梁受歷史資料殘缺、試驗經(jīng)費少等因素制約，區(qū)間參數(shù)數(shù)據(jù)主要來源于現(xiàn)場實測，因而獲取的數(shù)據(jù)十分有限。如何對有限的樣本數(shù)據(jù)進行處理優(yōu)化，獲取精確的參數(shù)區(qū)間對于非概率可靠性評估具有重要意義。

傳統(tǒng)的概率參數(shù)估計方法需要大量的數(shù)據(jù)作為基礎，并需要知道樣本的總體分布形式。對小樣本數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計時需要事先假設樣本的總體分布，而不合理的分布假設會直接影響參數(shù)估計的準確度。針對小樣本數(shù)據(jù)少、貧信息的特點，可依據(jù)鄧聚龍［1］提出的灰色系統(tǒng)理論以及劉思峰等［2］提出的灰色關(guān)聯(lián)度進行研究。劉義等［3-4］基于小樣本數(shù)據(jù)間的拓撲關(guān)系和距離關(guān)系提出了灰色距離測度這一概念，并給出了滿足一定灰色置信度下的灰色置信區(qū)間的求解方法。吳云潔等［5］將重抽樣方法與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法相結(jié)合，提出了小樣本灰色置信區(qū)間的求解方法。楊文光等［6］在灰色距離測度中引入了樣本誤差均值和誤差方差，提出了基于熵權(quán)法的參數(shù)估計方法。為了改善自助法抽樣的局限性，Xia等［7］利用自助法和灰色系統(tǒng)理論的優(yōu)點，提出了灰自助法用于小樣本數(shù)據(jù)的參數(shù)估計，但對于區(qū)間估計的應用還不是很完善。曹欣等［8］在此基礎上對原灰自助法抽樣和數(shù)據(jù)擬合的方法進行了改進，避免了極小樣本下的重復抽樣，并對比了自助法和改進灰自助法的分布直方圖，說明了改進灰自助法的優(yōu)越性。陳柔伊等［9］將改進的灰自助法引入到了電力系統(tǒng)中進行可靠性原始參數(shù)預測。汪啟躍等［10］將灰自助法應用到了乏信息隨機振動信號的分析中，對功率譜密度進行了區(qū)間估計，并與自助法進行對比說明其區(qū)間估計的優(yōu)勢?？抡亟莸龋?1］提出了一種基于灰自助和未確知有理數(shù)的新方法，但對于區(qū)間估計還是需要假設樣本的總體分布。目前，灰自助法已經(jīng)航空航天、機械制造以及巖土工程等很多領(lǐng)域得到了應用［12-16］。

在以上研究的基礎上，本文將灰自助抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法相結(jié)合，應用到橋梁參數(shù)的區(qū)間估計中，并給出了具體的計算過程。該方法不依賴樣本的總體分布，具有廣泛的適用性。最后通過實例計算對比了3種區(qū)間估計方法的區(qū)間估計效果，驗證了上述方法的合理性及有效性。

1 相關(guān)理論及定義

1.1 灰自助法

自助法抽樣是在原始樣本范圍內(nèi)重復抽樣，擴展樣本數(shù)。但抽樣局限于原始樣本范圍內(nèi)，當樣本極小時，不可避免地會出現(xiàn)重復抽樣，造成的誤差會在原始樣本數(shù)據(jù)誤差的基礎上繼續(xù)擴大，使結(jié)果極大地偏離真實分布。

灰自助法將灰色GM（1，1）預測模型與自助法結(jié)合起來，改善了自助法抽樣局限于原始樣本范圍內(nèi)的缺陷，避免了重復抽樣。本文采用經(jīng)驗分布進行抽樣，其原理如下：

假設橋梁某參數(shù)現(xiàn)場實測所得樣本數(shù)據(jù)列向量為

根據(jù)自助法抽樣，將數(shù)據(jù)由小到大進行排序

經(jīng)驗分布的函數(shù)值為

對經(jīng)驗分布進行抽樣的過程為

1）在（0，1）區(qū)間產(chǎn)生隨機數(shù)r；

2）令β=（n-1）r，i=int（β）+1；

重復抽樣n次可得第一個自助樣本，重復多次，即可得到多個自助樣本。對每個自助樣本分別進行升序、降序排列，分別通過灰色GM（1，1）預測模型預測下一個值，相當于對每個自助樣本區(qū)間邊界進行了擴展，改善了自助法在原始樣本范圍內(nèi)抽樣的局限性?；疑獹M（1，1）預測模型原理如下：

對每個自助樣本排序后累加生成新的數(shù)據(jù)序列，按均值生成法構(gòu)造背景值

其中，Y為x1,x2,···,xi相加的和，Z為背景值函數(shù)。

建立GM（1，1）模型的白化方程為

估計發(fā)展系數(shù)a，灰色作用量b

求解得到相應函數(shù)為

通過累減還原得到該樣本的預測值。

1.2 灰色系統(tǒng)理論

灰色系統(tǒng)理論是將每個樣本與整個樣本空間的距離關(guān)系定義為灰色距離測度，在給定的灰色置信度下求解灰色置信區(qū)間。

1）計算樣本中某一數(shù)據(jù)相對于樣本中其他數(shù)據(jù)的灰色距離

2）計算樣本中所有樣本點的平均灰色距離

3）計算每個樣本點的灰色權(quán)重

4）整個樣本的灰色估計值

5）在給定的灰色置信度α下，灰色置信區(qū)間為

6）求解每個樣本的灰色置信區(qū)間，通過取交集的方式獲取更加精確的灰色置信區(qū)間。

2 實例驗證與方法比較

自助法抽樣由于在原始樣本范圍內(nèi)進行抽樣，不可避免地會造成區(qū)間估計結(jié)果更窄，估計結(jié)果會與實際出現(xiàn)較大偏差。本文方法是在文獻［5］的基礎上改進了抽樣方法，利用灰自助抽樣取代自助法抽樣，改善自助法抽樣的局限性。為更好地驗證本文所提方法有效性，下面通過實例進行比較分析。

以實測橋梁混凝土強度的數(shù)據(jù)作為小樣本數(shù)據(jù)，樣本X=｛35.1，34.1，33.7，33.9，35.6，35.0，33.8，35.3，34.3，34.9｝，共10個樣本數(shù)據(jù)。

1）基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法：

取灰色置信度為0.6，根據(jù)灰色系統(tǒng)理論方法算得灰色估計值為34.589，灰色置信區(qū)間為［33.956，35.222］，區(qū)間寬度為1.267。

2）自助法抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法相結(jié)合：

取灰色置信度為0.6，計算得到原始樣本以及4個抽樣樣本的置信區(qū)間，通過取交集的方式得到最終的置信區(qū)間如表1。

表1 各樣本的灰色置信區(qū)間Τab.1 Gray confidence intervals of each sample

3）本文方法：

本文將灰自助抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法相結(jié)合來對小樣本數(shù)據(jù)進行區(qū)間估計，該方法無需知道樣本的總體分布形式。取置信度為0.6時，計算得到原始樣本以及4個抽樣樣本的置信區(qū)間，通過取交集的方式得到最終的置信區(qū)間如表2。

表2 各樣本的灰色置信區(qū)間Τab.2 Gray confidence intervals of each sample

將以上3種方法獲得的置信區(qū)間進行對比可以發(fā)現(xiàn)，當采用自助法對原始樣本進行擴充獲得多組相似樣本后，各相似樣本的灰色置信區(qū)間相互交錯，通過取交集可以排除隨機誤差對結(jié)果的影響，進而獲得更加精確的灰色置信區(qū)間。

圖1將3種方法在不同灰色置信度下的置信區(qū)間進行了對比。從圖1中可以看出，任一相同灰色置信度下，方法2和方法3計算得到的區(qū)間寬度更窄，這是因為方法2及方法3采用自動法抽樣對原始樣本數(shù)據(jù)信息對樣本數(shù)據(jù)進行了擴充，獲取了大量有效信息，彌補了統(tǒng)計理論在小樣本數(shù)據(jù)估計中的不足，估計的精度更高。而方法2得到的區(qū)間寬度比本文方法更窄，但由于自助法抽樣局限于原始樣本范圍內(nèi)，所以并不能說明其結(jié)果更加可靠。

圖1 3種區(qū)間估計方法的置信區(qū)間比較Fig.1 Comparison of confidence intervals of three interval estimation methods

為了說明本文方法得到的結(jié)果相比于方法2更加符合實際。本文將算例中實測的混凝土強度樣本數(shù)據(jù)作為原始樣本，灰自助法及自助法仿真樣本數(shù)均為1 000，對比其通過灰自助抽樣以及自助法抽樣后的樣本分布。

大量實測及統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，混凝土強度服從正態(tài)分布，故原始密度函數(shù)服從正態(tài)分布。從圖2中可以看出灰自助抽樣的分布明顯好于自助法抽樣分布。在小樣本的情況下，灰自助法抽樣得到的樣本分布更加接近樣本的真實分布，其分布更加平滑。而自助法抽樣局限在原始樣本范圍內(nèi)，所以其樣本分布與樣本真實分布相差較大，而且連續(xù)性也不強。故在本文所采用的抽樣方法所獲得的樣本更加符合實際，最終計算得到的區(qū)間估計結(jié)果也更加可靠。

圖2 樣本分布：（a）原始樣本，（b）自助法樣本，（c）改進灰自助法樣本，（d）原始樣本真實分布密度Fig.2 Sample distribution：（a）original sample，（b）bootstrap sample，（c）improved grey bootstrap sample，（d）truedensity curve of original sample

3 結(jié) 論

對農(nóng)村公路橋梁進行可靠性評估時，現(xiàn)場實測獲得的橋梁參數(shù)數(shù)據(jù)有限。對于區(qū)間變量，其區(qū)間估計的準確性直接影響著可靠性指標的大小。針對小樣本數(shù)據(jù)的區(qū)間估計，本文將灰自助抽樣與基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法相結(jié)合，將其應用到小樣本數(shù)據(jù)的區(qū)間估計中。該方法具有以下特點：

1）灰自助法抽樣通過灰色GM（1，1）預測模型對樣本邊界進行擴展，改善了自助法抽樣局限于原始樣本內(nèi)的缺陷。

2）基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法不依賴原始樣本的分布形式，無需假設概率分布特征，能夠有效解決小樣本、貧信息問題中參數(shù)的區(qū)間估計。

3）算例的計算結(jié)果表明，本文所采用的方法在任意灰色置信度下區(qū)間估計的結(jié)果均好于基于灰色系統(tǒng)理論的區(qū)間估計方法。相較于方法2中的自助法抽樣，本文的采用的灰自助法抽樣是對自助法抽樣進行了改進，改善了自助法抽樣的局限性，通過其獲取的樣本更加接近樣本的真實分布，故采用本文方法對農(nóng)村公路橋梁參數(shù)進行區(qū)間估計時具有較高的可信度。