自適應(yīng)二階滑模的有限時(shí)間收斂角度約束制導(dǎo)律*

王 洋，孔令云，陳明淑

（西京學(xué)院理學(xué)院，西安 710123）

0 引言

由于傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律所需測(cè)量量少且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，因此，在實(shí)際導(dǎo)彈系統(tǒng)中比例制導(dǎo)律得到了廣泛應(yīng)用［1-2］。然而隨著現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)展，對(duì)導(dǎo)彈的任務(wù)需求不再是單一的命中目標(biāo)，還需要滿足一定的約束條件。其中，為了發(fā)揮戰(zhàn)斗部的威力，需要導(dǎo)彈以一定終端約束角度命中目標(biāo)，這就是角度約束制導(dǎo)模式［3］。

基于滑模控制的強(qiáng)魯棒優(yōu)點(diǎn)，許多角度約束滑模制導(dǎo)律都采用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)［4］。但是這些傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律有兩個(gè)問(wèn)題：一方面，傳統(tǒng)滑模面為線性收斂，收斂速度較慢；另一方面，傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律含有非連續(xù)切換項(xiàng)，會(huì)引起抖振問(wèn)題。

為了提高滑?？刂频氖諗克俣?，文獻(xiàn)［5］提出了具備有限時(shí)間收斂特性的終端滑模面。文獻(xiàn)［6］針對(duì)終端滑模的奇異問(wèn)題提出了非奇異改進(jìn)方法。基于有限時(shí)間收斂滑?？刂评碚摰陌l(fā)展，有國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了有限時(shí)間收斂的角度約束制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［7］基于非奇異終端滑模面以及快速冪次趨近律，設(shè)計(jì)了有限時(shí)間收斂角度約束制導(dǎo)律。但是，在目標(biāo)存在機(jī)動(dòng)加速度時(shí)，文獻(xiàn)［7］的狀態(tài)誤差無(wú)法收斂到零。文獻(xiàn)［8-9］采用非奇異終端滑模設(shè)計(jì)角度約束制導(dǎo)律，從而保證了目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)狀態(tài)誤差依舊能有限時(shí)間收斂到零。但是，文獻(xiàn)［8-9］方法使用的非連續(xù)切換項(xiàng)又帶來(lái)了抖振問(wèn)題。

近年來(lái)，隨著二階滑模控制理論的發(fā)展，具備了在實(shí)現(xiàn)狀態(tài)誤差有限時(shí)間收斂的同時(shí)解決抖振問(wèn)題的可能［10-11］。文獻(xiàn)［12-13］皆采用二階滑模理論進(jìn)行角度約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情況下，可無(wú)抖振地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差有限時(shí)間收斂。然而，這些基于傳統(tǒng)固定增益二階滑模設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律，需要提前已知目標(biāo)加速度等未知干擾的微分上界。實(shí)際上目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況復(fù)雜，因此，難以提前預(yù)知相關(guān)上界信息。

基于以上問(wèn)題，本文提出了一種新型基于自適應(yīng)二階滑模的有限時(shí)間收斂角度約束制導(dǎo)律。首先，構(gòu)建了角度與角速度誤差的非奇異有限時(shí)間收斂滑模面，保證系統(tǒng)誤差在滑模面上有限時(shí)間快速收斂。其次，基于參數(shù)自適應(yīng)二階滑模算法設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，保證滑模面的有限時(shí)間可達(dá)。由于參數(shù)自適應(yīng)變化，無(wú)需提前已知目標(biāo)機(jī)動(dòng)的相關(guān)上界信息，所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律具有強(qiáng)適應(yīng)能力。最后，在各種目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下與傳統(tǒng)有限時(shí)間收斂滑模制導(dǎo)律以及有限時(shí)間收斂二階滑模制導(dǎo)律進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律同時(shí)具備有限時(shí)間收斂及強(qiáng)適應(yīng)能力。

1 問(wèn)題描述

圖1 導(dǎo)彈-目標(biāo)攻防對(duì)抗關(guān)系

可以建立導(dǎo)彈以及目標(biāo)的位置方程

可以建立如下的導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)計(jì)目標(biāo)：考慮期望終端角約束為qd，本文設(shè)計(jì)目標(biāo)為期望終端角在有限時(shí)間tk內(nèi)可達(dá)，同時(shí)，視線角速率有限時(shí)間tk內(nèi)收斂到0：

其中，tk為正常數(shù)。

2 模型推導(dǎo)

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

3.1 非奇異有限時(shí)間收斂滑模面設(shè)計(jì)

3.2 基于傳統(tǒng)切換項(xiàng)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對(duì)滑模面式（14），采用傳統(tǒng)滑?？刂评碚?，可以設(shè)計(jì)如下的有限時(shí)間收斂滑模制導(dǎo)律（Finitetime-convergent sliding-mode guidance law，F(xiàn)TCSMGL）：

3.3 基于二階滑模的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了解決FTC-SMGL 的抖振問(wèn)題，采用二階滑模設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，首先給出二階滑模控制的相關(guān)引理：

引理3（二階滑?？刂扑惴ǎ?6］：考慮如下系統(tǒng)

由引理3 可知，只要參數(shù)滿足式（29），則s 及s˙將在有限時(shí)間收斂到0，由此式（16）將在有限時(shí)間成立，按照引理2 設(shè)計(jì)滑模面參數(shù)就能保證x1及x2有限時(shí)間收斂到0。

證明完畢。

3.4 基于自適應(yīng)二階滑模的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

對(duì)于FTC-SMGL 與FTC-SSMGL 來(lái)說(shuō)，分別需要已知不確定項(xiàng)上界dmax或者不確定項(xiàng)微分上界。實(shí)際上，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況復(fù)雜，難以提前已知相關(guān)信息。因此，在面對(duì)復(fù)雜的目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)，以上制導(dǎo)律存在難以適應(yīng)的問(wèn)題。為了解決二階滑模算法需要已知不確定項(xiàng)上界信息的問(wèn)題，已經(jīng)出現(xiàn)了相關(guān)的參數(shù)自適應(yīng)算法，接下來(lái)本文將基于自適應(yīng)二階滑模算法設(shè)計(jì)角度約束制導(dǎo)律，在解決抖振問(wèn)題的同時(shí)，避免使用與目標(biāo)機(jī)動(dòng)等相關(guān)的未知信息，首先給出需要用到的引理：

引理4（自適應(yīng)二階滑模控制算法）［17］：考慮如下的系統(tǒng)

其中，p4為正常數(shù)。

定理3：如果系統(tǒng)式（9）采用式（37）FTC-ASSMGL，其中的制導(dǎo)律參數(shù)q1、q2、α1以及α2滿足引理2 的要求，制導(dǎo)參數(shù)p4滿足引理4 的要求，則系統(tǒng)狀態(tài)x1及x2可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

證明：將制導(dǎo)律式（37）代入式（18）可得

可知系統(tǒng)狀態(tài)滿足引理4 所給出的形式，由引理4 可知，s 及s˙將在有限時(shí)間收斂到0，由此將在有限時(shí)間成立，按照引理2 設(shè)計(jì)滑模面參數(shù)就能保證x1及x2有限時(shí)間收斂到0。

證明完畢。

4 仿真驗(yàn)證

仿真中考慮3 種制導(dǎo)方法：式（19）給出的FTCSMGL，式（28）給出的FTC-SSMGL 以及式（37）給出的FTC-ASSMGL。3 種方法滑模面的參數(shù)相同，都取為q1=0.1，q2=0.2，α1=0.428 6 以及α2=0.6。3 種制導(dǎo)律所用到的參數(shù)分別取為φ1=0.03，φ2=0.004，λ2=0.11，k2=0.008 以及p4=0.014。

考慮兩種不同幅值及變化率的目標(biāo)機(jī)動(dòng)場(chǎng)景：

圖2 場(chǎng)景1 仿真結(jié)果（AT=10sin（t/5））

表1 脫靶量

圖3 場(chǎng)景2 仿真結(jié)果（AT= 70sin（2t））

5 結(jié)論

基于非奇異有限時(shí)間收斂滑模面及參數(shù)自適應(yīng)二階滑模算法，本文提出了一種新型有限時(shí)間收斂角度約束制導(dǎo)律。所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律參數(shù)能夠自適應(yīng)變化，避免了傳統(tǒng)基于二階滑?；蚯袚Q項(xiàng)設(shè)計(jì)時(shí)需要目標(biāo)機(jī)動(dòng)上界信息的問(wèn)題，更加符合戰(zhàn)場(chǎng)使用實(shí)際。同時(shí)，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以保證角度與角速率誤差有限時(shí)間快速收斂，且制導(dǎo)指令連續(xù)無(wú)抖振。最后，在各種機(jī)動(dòng)目標(biāo)下仿真，結(jié)果驗(yàn)證了上述優(yōu)點(diǎn)。