生產(chǎn)周期和更新?lián)Q代影響下的商品微分動(dòng)力模型分析

高德寶,魏玉芬,朱 煥

(黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院,黑龍江大慶 163319)

§1 引言

很多商品需要生產(chǎn)時(shí)間,比如汽車和商品房等.一般地情況下,現(xiàn)在的商品供給量是過去的一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)出來的,也就是說商品的供應(yīng)具有遲滯性[1-3].當(dāng)商品生產(chǎn)出來時(shí),供給量可能與當(dāng)時(shí)的需求量不相符,由此產(chǎn)生供給量與需求量的博弈,兩者的博弈過程主要表現(xiàn)為商品價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化過程.商品的交易是以價(jià)格為媒介的.商品的供給量會(huì)隨著價(jià)格的升高而增加,亦會(huì)隨著價(jià)格的降低而減少.廠家以價(jià)格與成本之差為利潤提供商品供應(yīng)量.在滿足自身需求的基礎(chǔ)上,顧客以價(jià)格為度量購買商品.當(dāng)然價(jià)格越低,銷售量越多,即需求量越多.簡而言之,廠家以價(jià)格為度量提供商品供給量,價(jià)格過高則需求量少,價(jià)格偏低,需求量會(huì)增多.這種關(guān)系就是“捕食-被捕食”[4-8]關(guān)系.具體地說,供給量捕食價(jià)格,價(jià)格捕食需求量.

一些商品的更新?lián)Q代比較頻繁.比如手機(jī)經(jīng)歷了1G,2G,3G,4G和現(xiàn)如今的5G時(shí)代,將來也必將會(huì)發(fā)展到6G時(shí)代.商品更新?lián)Q代的初始,新產(chǎn)品的價(jià)格一般會(huì)瞬時(shí)增高(比如現(xiàn)在5G手機(jī)價(jià)格普遍高于4G的價(jià)格),這在生物數(shù)學(xué)[9-10]理論中稱之為脈沖[11-13],但價(jià)格會(huì)隨著時(shí)間地流逝而逐漸進(jìn)入合理的波動(dòng)范圍內(nèi).

生物數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是應(yīng)用微分方程理論研究種群生態(tài)問題和傳染病問題.因?yàn)槲⒎址匠痰囊恍├碚撘材鼙容^貼近實(shí)踐地描述經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的動(dòng)態(tài)關(guān)系,所以很多經(jīng)濟(jì)模型可以借助微分方程構(gòu)建并加以研究.例如國外學(xué)者[14-17]利用時(shí)滯微分方程構(gòu)建商業(yè)周期模型,同時(shí)研究時(shí)滯對經(jīng)濟(jì)運(yùn)行穩(wěn)定性的影響,最后得出非線性投資函數(shù),非線性儲(chǔ)蓄函數(shù)和時(shí)滯是導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)模型產(chǎn)生周期性波動(dòng)的原因.另外,徐飛[18]運(yùn)用類似的思路建立了綜合國力模型和金融企業(yè)競爭模型,研究了兩個(gè)模型的穩(wěn)定性及周期解的存在性.脈沖微分方程在經(jīng)濟(jì)模型中的應(yīng)用尚不多見,但在生物數(shù)學(xué)模型中應(yīng)用較多.

上述的經(jīng)濟(jì)模型主要以金融投資和企業(yè)競爭為核心,本文的工作與他們的不同.本文利用時(shí)滯微分方程構(gòu)建供給量,價(jià)格和需求量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,其中時(shí)滯代表生產(chǎn)周期.而用脈沖微分方程描述產(chǎn)品更新?lián)Q代后對商品供需關(guān)系的擾動(dòng)作用.通過分析供給量,價(jià)格和需求量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系,希望能夠?yàn)樘剿魃唐返膭?dòng)態(tài)運(yùn)行規(guī)律添磚加瓦.

§2 生產(chǎn)周期影響下商品微分動(dòng)力模型的構(gòu)建與分析

一般地情況下,商品的供給量隨著價(jià)格的變化而變化,價(jià)格高時(shí),供給量會(huì)增加,價(jià)格低時(shí),供給量會(huì)減少.但是,多數(shù)商品的生產(chǎn)需要一個(gè)周期,所以其供應(yīng)量的實(shí)現(xiàn)具有時(shí)滯性.價(jià)格能夠?qū)崟r(shí)地反映供應(yīng)量與需求量之間的關(guān)系.當(dāng)價(jià)格低時(shí),需求量會(huì)增加,當(dāng)價(jià)格過高時(shí),需求量會(huì)減少.一般地情況下,商品的需求量與其價(jià)格之間反向變動(dòng),商品的供給量與價(jià)格之間正向變動(dòng).因此,本文假設(shè)供給捕食價(jià)格,價(jià)格捕食需求,商品的供應(yīng)具有時(shí)滯性.

假設(shè)t時(shí)刻,商品的需求量,價(jià)格和供給量分別為D(t),P(t),S(t ?τ),其中τ表示商品的生產(chǎn)周期.根據(jù)上一段的分析,假設(shè)需求量與價(jià)格之間的功能性反應(yīng)函數(shù)均具有HollingⅡ型功能性反應(yīng)[9],價(jià)格與供給量之間具有線性功能反應(yīng).另外受消費(fèi)人數(shù)的限制,需求量具有密度制約性[9],并且需求不完全依賴供給和價(jià)格而存在.綜上分析和假設(shè),需求,價(jià)格和供給之間捕食關(guān)系如圖1所示,則僅受生產(chǎn)周期影響的商品微分動(dòng)力學(xué)模型為

圖1 需求,價(jià)格和供給之間的捕食關(guān)系圖

其中a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,ω,k均為正數(shù).各系數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義如表1所示.

表1 參數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義

模型(1)在(?τ,0]內(nèi)的初始條件滿足

基于問題的實(shí)際意義,模型(1)的可行域?yàn)?/p>

易知模型(1)右側(cè)的函數(shù)具有光滑性,因此模型(1)滿足初始條件的解是存在的并且唯一.

定理1對于任意以D(0)>0,P(0)>0,S(0)>0為初值的模型(1) 的解恒大于零.

證首先證明當(dāng)S(0)>0時(shí),S(t)>0.否則存在t1∈(0,+∞),使得S(t1)≤0.根據(jù)零點(diǎn)定理可知存在t0∈(0,t1]使得S(t0)=0.

又由(D,P,S)=(0,0,0)為模型(1)的平凡解,這與模型(1)解的唯一性相矛盾.故S(t)>0.

模型(1)的前兩個(gè)方程等價(jià)于以下兩個(gè)方程

顯然,當(dāng)D(0)>0,P(0)>0時(shí),D(t)>0,P(t)>0.

綜上所得,定理1的結(jié)論成立.

由定理1可知,商品的需求量,價(jià)格和供給量均大于零,這與實(shí)踐相吻合.

定理2對于模 型(1)的任 意解(D(t),P(t),S(t)),存在正數(shù)MD,MP,MS,T0, 當(dāng)t >T0時(shí),D(t)≤MD,P(t)≤MP,S(t)≤MS.

證令,則有

根據(jù)定理1的結(jié)論和(2)的假設(shè)可知:當(dāng)t ∈(0,+∞)時(shí),

由比較定理[19]可知存在T0>0,當(dāng)t>T0時(shí),.進(jìn)一步地計(jì)算可得

定理2的結(jié)論說明,商品的需求量,價(jià)格和供給量都是有上限的.實(shí)踐中,受消費(fèi)人群的限制,需求量總是有限的.比如剛需的商品房,平均每人最多需要一套.商品價(jià)格需要在消費(fèi)者的承受范圍內(nèi),否則無法購買商品.因此,商品的價(jià)格是有限的.受生產(chǎn)能力的限制,商品的供給量是有限的.若供給量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于需求量,可能會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)后果:一是商家無利可圖;二是該商品經(jīng)濟(jì)崩盤,例如美國的房地產(chǎn)危機(jī).因此,供給量總是有限的.

定理3若條件

成立,則模型(1)存在唯一的正平衡點(diǎn)(D?,P?,S?),其中

證模型(1)的正平衡點(diǎn)滿足方程組

通過求解方程組(3),易知:若條件H1,H2成立,則D?,P?,S?均為正數(shù).

正平衡點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義就是供需平衡時(shí),需求量,價(jià)格和供給量所處的平衡狀態(tài).

定理4若模型(1)滿足條件H1,H2和條件

則存在τ0>0,使得模型(1)所對應(yīng)的正平衡點(diǎn)(D?,P?,S?),當(dāng)0≤τ <τ0時(shí),局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)τ=τ0時(shí),模型(1)在點(diǎn)(D?,P?,S?)產(chǎn)生Hopf分支;當(dāng)τ >τ0時(shí),(D?,P?,S?)是不穩(wěn)定的.

證模型(1)在(D?,P?,S?)的變分矩陣J(D?,P?,S?)為

特征方程F(λ)=|J(D?,P?,S?)?λE|=0的表達(dá)式為

當(dāng)τ=0時(shí),特征方程(4)變?yōu)?/p>

根據(jù)Routh-Hurwitz定理[9]可知特征方程(5)的特征根均具有負(fù)實(shí)部.由Hurwitz準(zhǔn)則[9]知:當(dāng)τ=0時(shí),正平衡點(diǎn)(D?,P?,S?)是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)τ >0時(shí),設(shè)λ=mi(m>0)是特征方程(4)的一純虛根,則m滿足

進(jìn)一步地可得

因此(m2)至少有一正根,進(jìn)而特征方程(4)存在一對純虛根±m(xù)0i.將其代入方程組(6)有

由上式可得與ω0對應(yīng)的τn,

取τ0是上式產(chǎn)生純虛根的最小正值,則當(dāng)τ <τ0時(shí),正平衡點(diǎn)(D?,P?,S?)仍然保持穩(wěn)定.

令λ=λ(τ),代入方程(4),并在其兩邊對τ求導(dǎo),有

將λ=m0i,τ=τ0代入(8)式得

因?yàn)閙0,τ0滿足方程組(6),所以有

將(10)式代入(9)式并整理得

因?yàn)閙0滿足方程(7),所以(11)式可變換為

由Butler引理[20]知:當(dāng)τ=τ0時(shí),模型(1)在正平衡點(diǎn)(D?,P?,S?)產(chǎn)生Hopf 分支;當(dāng)τ <τ0時(shí),正平衡點(diǎn)(D?,P?,S?) 局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)τ >τ0時(shí),正平衡點(diǎn)(D?,P?,S?)不穩(wěn)定.

定理4給出正平衡點(diǎn)局漸近穩(wěn)定的平衡條件主要與生產(chǎn)周期τ有關(guān).當(dāng)τ <τ0時(shí),需求量,價(jià)格和供給量將會(huì)動(dòng)蕩地趨于平衡狀態(tài);當(dāng)τ=τ0時(shí),需求量,價(jià)格和供給量將會(huì)周而復(fù)始地圍繞正平衡點(diǎn)波動(dòng);當(dāng)τ >τ0時(shí),需求量,價(jià)格和供給量沒有平衡狀態(tài).

為驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性,取不同的系數(shù)和不同的時(shí)滯τ對模型(1)進(jìn)行數(shù)值模擬.首先,取系數(shù)

經(jīng)計(jì)算,可驗(yàn)證上面的系數(shù)滿足條件H1?H3,模型(1)的正平衡點(diǎn)和m0,τ0分別為

取初值(D,P,S)=(2,1,2).當(dāng)取τ=1.8<2.01時(shí),正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.模型(1)收斂的相圖分別如圖2與圖3所示.

圖2 模型(1)局部漸近穩(wěn)定的平面相圖

圖3 模型(1)局部漸近穩(wěn)定的空間相圖

最后,取系數(shù)

模型(1)的正平衡點(diǎn)和m0,τ0分別為

取初值(D,P,S)=(1,1.5,1),τ=2.2≈2.19=τ0,模型(1)圍繞正平衡點(diǎn)產(chǎn)生周期解,其相圖如圖4和圖5所示.

圖4 模型(1)存在周期解的平面相圖

圖5 模型(1)存在周期解的空間相圖

§3 生產(chǎn)周期與更新?lián)Q代疊加效應(yīng)影響下的商品動(dòng)態(tài)關(guān)系分析

商家為了提高其商品在市場上的競爭力,需要不斷地對其進(jìn)行更新?lián)Q代,例如iPhone手機(jī)已更新到12代.上一節(jié)的內(nèi)容僅考慮了生產(chǎn)周期對供應(yīng)量,價(jià)格和需求量的影響.若商品的更新?lián)Q代已完成,則必定會(huì)對商品產(chǎn)生一定程度的影響.更新?lián)Q代的商品是為了替代沒有競爭力或競爭力不高的前代商品,因此商品的總供應(yīng)量基本不會(huì)發(fā)生改變;同時(shí)基于消費(fèi)者的獵奇心理和商家的營銷手段,總需求也會(huì)增加一些;在商品更新?lián)Q代初始時(shí)間內(nèi),新商品的價(jià)格也會(huì)增加一些(例如現(xiàn)在的5G手機(jī)價(jià)格).

為簡化問題,假設(shè)商品的更新?lián)Q代時(shí)間具有周期性,即kT(k=1,2,···)時(shí)刻發(fā)生.假設(shè)kT時(shí)刻,商品的價(jià)格增加了p0,需求量增加了d0,則生產(chǎn)周期與更新?lián)Q代疊加效應(yīng)影響下的商品動(dòng)態(tài)關(guān)系模型如下所示.

其中d0>0,p0>0.

定理5對于模型(12)的任意解(D(t),P(t),S(t)),存在MD >0,MP >0,MS >0,T0>0,當(dāng)t>T0時(shí),D(t)≤MD,P(t)≤MP,S(t)≤MS.

證仍取定理2中的V(t)=,則當(dāng)t≠kT時(shí),存在T0>0,當(dāng)t>T0時(shí),

根據(jù)模型(12)的第3-6個(gè)方程,當(dāng)t=kT >T0時(shí),可得

綜上分析可得,當(dāng)T0

定理5的結(jié)論表明無論更新?lián)Q代多少次,需求量,價(jià)格和供給量都會(huì)有上限.例如多數(shù)的電子信息產(chǎn)品,因?yàn)轭櫩偷臄?shù)量是有限的,需求量必然有限;隨著生產(chǎn)技術(shù)的提高,電子商品的生產(chǎn)成本會(huì)降低,所以價(jià)格會(huì)逐步的減少;若供給量過多,供大于求,則商家的利益得不到保障,因此,供給量只能是有限的.

引理1[21]考慮下面的脈沖微分模型

其中d,μ>0.那么模型(13)存在惟一的正周期解.

定理6當(dāng)ωa1?b1>0時(shí),存在mD >0,mP >0,T1>0,當(dāng)t>T1時(shí),對于模型(12) 的任意解(D(t),P(t),S(t)),有D(t)≥mD,P(t)≥mP.

證因?yàn)?/p>

根據(jù)比較原則,存在t1>0,當(dāng)t>t1時(shí)

根據(jù)引理1和比較原則可得,對于模型(14)的任意解有

取mP={P?exp(?m1(t ?kT))},t ∈((k ?1)T,kT],k ∈Z+,則存在t2>0,當(dāng)t>t2時(shí),P(t)≥mP.

取T1=max{t1,t2},則當(dāng)t>T1且ωa1?b1>0時(shí),D(t)≥mD,P(t)≥mP.

價(jià)格不能低于成本,否則商家無利可圖.為了保證正常的生存,需求量是有下界的,比如生物對水的需求量.這兩個(gè)實(shí)際情況與定理6 的結(jié)論相吻合.不過,供給量可能會(huì)出現(xiàn)斷貨或接近于斷貨的情形,這種情況時(shí)有發(fā)生.

定理7當(dāng)ωa1?b1>0時(shí),模型(12)存在周期解.

證取T2=max{T0,T1},根據(jù)定理5和定理6可知:當(dāng)ωa1?b1>0且t >T2時(shí)mD ≤D(t)≤MD,mP ≤P(t)≤MP, 0≤S(t)≤MS.

根據(jù)確界原理和函數(shù)D(t)的連續(xù)性可知

作映射

根據(jù)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理[22],至少存在一點(diǎn)t0∈[T2, +∞),使得D(t0)=D(t0+T).則D(t)至少有一個(gè)以T為周期的正周期解.同理可證:P(t),S(t)均至少存在一個(gè)以T為周期的正周解.

綜上可得當(dāng)ωa1?b1>0時(shí),模型(12)存在正周期解.

定理7表明:商品周期性地更新?lián)Q代之后,需求量,價(jià)格和供給量必將會(huì)周期地發(fā)生波動(dòng).

取T=20,τ=2.1,d0=0.1,p0=0.4,其余各項(xiàng)系數(shù)與圖2中的各項(xiàng)相同.數(shù)值仿真結(jié)果如圖6所示.

圖6 模型(12)存在周期解的平面相圖

從圖6可以得出,當(dāng)更新?lián)Q代周期地發(fā)生時(shí),前兩個(gè)周期內(nèi),需求量,價(jià)格和供給量由無規(guī)則波動(dòng)逐漸地趨于規(guī)律化.從第3個(gè)周期開始,三者完全遵循周期性波動(dòng).這與定理7的結(jié)論是一致的.由圖6中的前兩張圖可以看出,盡管更新?lián)Q代伊始,需求量會(huì)稍有提高,價(jià)格也會(huì)偏高一些,但是它們會(huì)逐漸回歸到正常的波動(dòng)范圍內(nèi).

當(dāng)仿真參數(shù)發(fā)生改變時(shí),不同的是:需求量,價(jià)格和供應(yīng)量無規(guī)律波動(dòng)的周期個(gè)數(shù)可能不同.相同的是:從某一個(gè)周期開始,三者都會(huì)周期地發(fā)生波動(dòng).

§4 結(jié)語

根據(jù)具有生產(chǎn)周期商品的需求量,價(jià)格和供給量之間的捕食與被捕食關(guān)系,還有更新?lián)Q代對商品供求關(guān)系的的影響,本文建立了兩個(gè)數(shù)學(xué)模型:時(shí)滯微分方程模型和脈沖微分方程模型.利用Hopf分支定理,得到:需求量,價(jià)格和供給量漸近穩(wěn)定收斂于正平衡點(diǎn)的充分條件和它們會(huì)循環(huán)往復(fù)地圍繞正平衡點(diǎn)作周期性波動(dòng)的充分條件.在ωa1?b1>0條件下,當(dāng)生產(chǎn)周期和周期性更新?lián)Q代疊加影響時(shí),商品的需求量,價(jià)格和供給量必然有上下限;同時(shí),它們必將會(huì)在某一時(shí)刻之后作周期性波動(dòng).

本文工作的優(yōu)點(diǎn)如下.

(1)根據(jù)需求量,價(jià)格和供給量之間相互作用關(guān)系，建立了符合商品動(dòng)態(tài)運(yùn)行實(shí)踐的數(shù)學(xué)模型;

(2)兩個(gè)數(shù)學(xué)模型很好地解釋了一些特殊的商品經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象;

(3)兩個(gè)數(shù)學(xué)模型能夠?yàn)樯碳以诓少?生產(chǎn)和銷售中的決策提供有價(jià)值的參考.

本文工作沒有考慮到隨機(jī)因素的影響,也沒有商業(yè)實(shí)踐數(shù)據(jù)的支撐,進(jìn)而無法確定參數(shù).筆者希望這些問題能夠在未來的工作中得到有效解決.