復合MLINEX 對稱損失下Pareto 分布參數(shù)的穩(wěn)健Bayes 估計

周巧娟，王慧麗

（1.南京審計大學金審學院 基礎部，江蘇 南京 210023；2.西安財經(jīng)大學 統(tǒng)計學院，陜西 西安 710100）

0 引言

Pareto分布是一種重要的統(tǒng)計分布，是由意大利學者Pareto作為收入分布于1897年提出的，最初是用于分配理論中，后來被廣泛地運用在很多領域，如：金融、保險、可靠性統(tǒng)計分析等，因此對此分布的研究具有重要的理論和應用價值. 目前，已有很多學者對Pareto分布的統(tǒng)計性質(zhì)進行了研究. 王曉紅在定時截尾數(shù)據(jù)下，研究了熵損失下Pareto分布參數(shù)的Bayes估計及可容許性［1］；韓明在均方損失及熵損失下給出了Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計和多層Bayes估計，研究其可容許性［2］；李秀敏等采用極大似然估計及其漸近正態(tài)性、輪廓似然估計和矩估計法對Pareto分布形狀參數(shù)進行了估計［3］；龍兵在雙邊定時截尾下對Pareto分布的參數(shù)進行了估計［4］. Ming Han在不同損失函數(shù)下研究了Pareto分布的E-Bayes估計，并引入期望均方誤差來度量估計誤差［5］.

Podder.CK提出MLINEX函數(shù)以來［6］，越來越多的學者關注MLINEX函數(shù). 金秀巖在MLINEX損失函數(shù)的基礎上，提出了復合MLINEX對稱損失函數(shù)，并在該損失下得到了對數(shù)伽瑪分布尺度參數(shù)的Bayes估計、E-Bayes估計和多層Bayes估計［7］. 朱寧等在尺度參數(shù)已知的情況下研究了復合MLINEX對稱損失函數(shù)下Pareto分布參數(shù)的Bayes估計、E-Bayes估計以及多層Bayes估計，并證明其可容許性［8］.

對于Bayes統(tǒng)計推斷來說，參數(shù)估計的穩(wěn)健性是一個重要的問題［9］，上述各種損失下關于Pareto分布參數(shù)的討論中均未涉及Bayes估計的穩(wěn)健性的問題. 本文給出了復合MLINEX對稱損失函數(shù)的一種特例，并在這種特殊的損失下研究了Pareto分布參數(shù)的一種穩(wěn)健Bayes估計PRGM（Posterior regret gamma minimax）估計. 最后利用Monte Carlo方法對PRGM估計和極大似然估計進行了比較，說明了PRGM估計的優(yōu)良性.

1 Pareto分布形狀參數(shù)的極大似然估計

設隨機變量X服從Pareto分布，且其分布函數(shù)及密度函數(shù)分別為

其中α是尺度參數(shù)，θ是形狀參數(shù)，且0 <α≤t，θ> 0.

現(xiàn)有一批壽命服從Pareto分布的產(chǎn)品共有n個，進行定數(shù)截尾試驗，直到有r個失效為止，記失效時刻為t1≤t2≤…≤tr，則（t1，…，tr）的聯(lián)合分布密度為

其中總的壽命試驗時間

當(t1，…，tr)已知時，似然函數(shù)為，取對數(shù)得

其中T如（3）式所示.

2 Pareto分布形狀參數(shù)的PRGM估計

2.1 復合MLINEX 對稱損失函數(shù)及其特例

MLINEX非對稱損失函數(shù)的定義［10］：

復合MLINEX對稱損失函數(shù)的定義［7］為：

其中δ為參數(shù)θ的估計.

為了利于求解參數(shù)的穩(wěn)健Bayes估計，我們考慮如下特例：當ω= 1，c= 1時，損失函數(shù)為

圖1 損失函數(shù)（5）的圖像

由圖像可知該損失對Δ及δ均是向下凸的，相對于均衡損失而言，在損失函數(shù)（5）下過低估計比過高的估計有更重的懲罰.

2.2 α 已知時參數(shù)θ 的PRGM 估計

設Bayes統(tǒng)計推斷中所采取的決策為δ=δ(x)，損失函數(shù)為L(θ，δ(x))，x為子樣，f(θ|x)為在子樣x之下θ的后驗概率密度，ρ(f(θ|x)，δ)為采取決策δ的后驗期望損失，則

假設α已知，那么當樣本(t1，…，tr)已知時，T為常量，所以（2）式中參數(shù)僅為θ，取其共軛先驗伽瑪分布

由（2）式和（7）式可得θ的后驗密度函數(shù)為

它仍為伽瑪分布Ga(a+r，T+b).

那么，在損失函數(shù)（5）式的情況下，由（6）式可算得選取決策δ的后驗期望損失為

記δπ表示使后驗期望損失達到最小的決策，即Bayes決策. 那么選取決策δ而不是δπ所構(gòu)成的損失為定義1［9，11］如果有δ*∈D，滿足

成立，則稱δ*是θ的PRGM估計，記為δPRGM.

（i）令Γ1= {π(θ；a，b) = Γ(a，b)，a=a0，b1≤b≤b2，θ> 0 }，當π∈Γ1時，

（ii）令Γ2= {π(θ；a，b) = Γ(a，b)，b=b0，a1≤a≤a2，θ> 0 }，當π∈Γ2時，

（iii）令Γ3= {π(θ；a，b) = Γ(a，b)，a1≤a≤a2，b1≤b≤b2，θ> 0 }，則當π∈Γ3時，

證明：（i）當π∈Γ1時，a=a0為常數(shù)，則由（9）式可知

對δπ求一階、二階偏導數(shù)得顯然于是d(δ，δπ)對δπ是向下凸的函數(shù)，那么從以下三個方面尋找δ*，使δ*滿足（10）式：

①當δ≤-δ時，

②當δ≥δˉ時，

③當-δ<δ<時，

故g(δ)單調(diào)遞減，且g(-δ) > 0，g() < 0，因此有且僅有一點δ*∈(-δ，)使g(δ*) = 0，即d(δ*，) =d(δ*，) .

當δ<δ*時，g(δ) > 0，即f1(δ) >f2(δ) 故，且f1(δ) 單調(diào)遞減，因此δ*處達最小，即

當δ>δ*時，g(δ) < 0，即f1(δ)

當π在Γ1中變化時，易得及，代入上式可得

（ii）當π∈Γ2時，由可知是a的函數(shù)，那么由可將d(δ，δπ)化為

其中B= 2(T+b0) > 0，d(δ，δπ)分別對δπ求一階、二階偏導數(shù)得

當π在Γ2中變化時，易得及，代入上式可得

由此解得δ*，即為δ的PRGM估計：

將-δ及δˉ，代入（14）式得

（iii）由（i）（ii）的討論可知當超參數(shù)a或b變化時d(δ，δπ)對δπ均是向下凸的，因此當π∈Γ3時將及代入（14）式，即可得到結(jié)論.

3 估計的穩(wěn)健性評價

關于PRGM估計穩(wěn)健性評價，仍沿用參考文獻［9］中運用的風險分析作為估計量的穩(wěn)健性分析的基本方法.

若ρ(π，δ(x))表示決策δ(x)下的后驗期望損失，那么決策δ(x)的穩(wěn)健性指標為

由（15）式可知，若對任意取的值ε有

成立，則稱該估計是ε穩(wěn)健的.

因此，我們可以根據(jù)以上評價穩(wěn)健性的指標來評價PRGM估計穩(wěn)健性的好壞.

4 隨機模擬例子

當Pareto分布中α已知時，取α= 5，待估參數(shù)θ的真值為0.5，n= 20，r= 15，通過Monte-Carlo方法產(chǎn)生服從U(0，1)的隨機數(shù)U1，U2，…，U15，再由ti= 5 (1 -Ui)2產(chǎn)生15個服從Pareto分布的隨機數(shù)t1~t15分別為：6.1825 6.6456 6.6809 10.2715 10.4686 11.3679 13.6512 15.4489 17.2681 17.3454 22.0955 25.4090 36.6815 42.3017 87.5335，那么經(jīng)（3）式算得T= 32.0980.

取θ的先驗分布族分別為：

分別在Γ1，Γ2，Γ3下，由計算公式（4）（11）（12）（13）（15）算得如下模擬結(jié)果：

表1 各分布族下α已知時θ的估計及損失（α = 5，θ = 0.5）

由上表可以看出，PRGM估計明顯優(yōu)于極大似然估計，且由后驗穩(wěn)健性可以看出，當先驗分布π在分布族Γ1、Γ2及Γ3上變化時，PRGM估計的后驗風險變化非常小，若取ε= 0.05，則PRGM估計都是ε穩(wěn)健的，因此這種估計均具有較好的穩(wěn)健性.

5 結(jié)束語

本文在復合MLINEX對稱損失的一種特例下，給出了定數(shù)截尾模型下Pareto分布形狀參數(shù)θ的一種穩(wěn)健Bayes估計：PRGM估計，并通過Monte-Carlo方法對這種估計和極大似然估計進行了比較. 隨機模擬結(jié)果表明PRGM估計明顯優(yōu)于極大似然估計且具有較好的穩(wěn)健性.