非協(xié)調(diào)和雜交有限元的理論和應用
——紀念恩師吳長春教授

黃穎青 肖奇志 馮淼林 陳海波,1)

?(中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室,中國科學技術(shù)大學近代力學系,合肥 230027)

?(LUSAS,Forge House,66 High Street,Kingston upon Thames,KT1 1HN,UK)

??(上海交通大學工程力學系,上海 200030)

引言

吳長春教授(1946.7—2020.8),師從麻省理工學院卞學鐄先生和中國科學技術(shù)大學黃茂光先生,在高性能有限元,特別是非協(xié)調(diào)和雜交元的優(yōu)化設計方面取得了國際領先成就.2020 年8 月24 日,吳長春教授因病于上海不幸逝世.

吳長春教授是我國開展結(jié)構(gòu)分析通用數(shù)值方法研究的先驅(qū)之一,1975 年就在《中國科學》中英文版發(fā)表了論文“受彎彈性薄板數(shù)值分析的新方法—–離散算子法”[1-2].后來,吳長春教授致力于高性能有限元的理論、方法和應用研究,科研成果豐碩.早在20 世紀80 年代,吳長春教授即在非協(xié)調(diào)元和雜交應力元的研究上做出了一系列創(chuàng)新性成果.1982 年他的第一篇國際期刊文章[3]發(fā)表在《International Journal for Numerical Methods in Engineering》,內(nèi)容是關于板彎曲雜交模式的研究.1987 年發(fā)表在國際期刊《Computers&Structures》的文章[4]首次給出了非協(xié)調(diào)元分片試驗的能量一致條件以及滿足分片檢驗的非協(xié)調(diào)形函數(shù)通用公式,國際上以Wu-Huang-Pian 公式被廣泛引用.該方法簡單清晰,為保證非協(xié)調(diào)元的收斂和推廣應用奠定了理論基礎.1988 年的文章[5]提出了優(yōu)化雜交應力元新方法,其核心是要求高階應力在單元邊界對非協(xié)調(diào)位移所做虛功為零,從而可簡便得到著名的5 參數(shù)PS 雜交應力單元.雜交元自20 世紀60 年代由卞學鐄先生提出以來[6],受到廣泛關注和研究,到80 年代對多種工程問題的求解已顯示出優(yōu)越的數(shù)值性能,但如何給出合理的優(yōu)化應力場假設一直是研究者關注的焦點.吳長春教授的方法巧妙地引入非協(xié)調(diào)函數(shù)對應力場進行優(yōu)化,最終的泛函列式并不需要非協(xié)調(diào)內(nèi)位移,方法具有通用性.在1990 年中國力學學會和國家自然科學基金委員會主辦的“固體力學發(fā)展趨勢報告會”上,上述研究成果被程耿東院士和李錫夔教授關于“計算固體力學發(fā)展中的若干問題”的專題報告加以介紹,為促進后期非協(xié)調(diào)和雜交元研究在我國的蓬勃發(fā)展作出了貢獻.1995 和1996 年,吳長春教授進一步發(fā)展了罰平衡雜交元方法[7-8],新的方法極大地提高了雜交元的數(shù)值性能,其中4 節(jié)點罰平衡單元PS (α) 首次突破了MacNeal 的細長梁彎曲梯形自鎖試驗,是首個能通過該測試的4 節(jié)點四邊形單元.即使到目前為止也只有非對稱有限元能很好地通過該測試,傳統(tǒng)的對稱有限元能通過的依然屈指可數(shù)[9].

1988 年至2000 年期間,吳長春教授獲得德國洪堡基金會和日本JSPS 等機構(gòu)的獎學金,先后多次赴德國斯圖加特大學力學所和結(jié)構(gòu)所、日本東京大學、香港大學以及悉尼科技大學開展合作研究.鑒于吳長春教授對發(fā)展有限元理論方法的貢獻,在1992 年香港召開的國際計算工程科學大會ICES’92 上,他被授予首枚“THH PIAN MEDAL”科學獎章,并作為中國代表被推選為ICES’95 國際組委會委員;1993 年在中國科學技術(shù)大學破格晉升為教授和博士生導師;1997 年獲國家自然科學三等獎和安徽省自然科學二等獎;1997 年與卞學鐄先生合著的力學專著《非協(xié)調(diào)數(shù)值分析與雜交元方法》[10]由科學出版社特約出版,該書被列為中科院科學出版基金資助項目.該書的出版正如浙江大學郭乙木教授2001 年在《力學進展》所作的推介所言[11]:“該書大大促進了我國科研人員在該領域的研究,實屬我國計算力學工作者的幸事”.2001 年9 月起吳長春任上海交通大學建工學院力學系教授,2004 年獲上海市科學技術(shù)進步獎一等獎;2006 年和卞學鐄先生合著的英文專著《Hybrid and Incompatible Finite Element Methods》[12]由Chapman&Hall/CRC,Taylor&Francis Group 出版,該書在原中文版的基礎上增加了包括壓電分析和復合材料模擬等新內(nèi)容.

吳長春教授共發(fā)表國內(nèi)外期刊和會議論文160余篇,其中SCI 核心數(shù)據(jù)庫收錄46 篇.下面對他的科研工作和學術(shù)貢獻作簡單的分類介紹.

1 非協(xié)調(diào)和雜交有限元的理論和應用

在前面介紹的研究工作[4]的基礎上,吳長春教授導出了非協(xié)調(diào)元收斂條件的非線性形式和曲線坐標形式[13-15],將非協(xié)調(diào)元方法推廣到大變形和曲線坐標問題的分析.特別有意義的是,該研究提供了實施分片試驗的具體方法,建立了生成非協(xié)調(diào)單元函數(shù)的一般公式.針對發(fā)展高性能多變量有限元的困難,在研究工作[5]的基礎上,吳長春教授系統(tǒng)地導出了能量相容條件、單元優(yōu)化條件和相應的單元優(yōu)化設計方法,建立了雜交元的優(yōu)化應力格式和多變量試解組匹配關系[16-17].針對多變量有限元的穩(wěn)定性問題,吳長春教授發(fā)展了卞學鐄的雜交元機動變形學說,建立了二、三類變量有限元零能模式的一般理論[18],提出了多變量有限元零能模式的對偶控制定理,保證了雜交、混合元解的穩(wěn)定性.另外,對含內(nèi)位移的非協(xié)調(diào)元給出了方便適用的弱連接條件和單元內(nèi)位移獨立條件,保證了非協(xié)調(diào)元解的唯一存在[14].上述研究把穩(wěn)定性這個有限元理論中的“硬骨頭”從抽象的數(shù)學領地中解放出來,成為工程界可以直接掌握的工具.根據(jù)上述理論和方法構(gòu)造的一系列非協(xié)調(diào)單元和雜交元已成功應用于結(jié)構(gòu)非線性分析[19-21]、板殼以及層合結(jié)構(gòu)等問題的數(shù)值分析[22-25].結(jié)合基于多重尺度展開的均勻化理論,上述理論也成功應用于結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化[26-27]、壓電編織復合材料[28-29]的力學和壓電性能的預報,豐富了宏細觀結(jié)構(gòu)設計及其力學分析方法.

2 斷裂力學和J 積分數(shù)值分析

吳長春教授致力于將先進的有限元方法用于研究力學和工程中的挑戰(zhàn)性問題.在斷裂力學方面,為了準確估計應力強度因子和J 積分數(shù)值解的誤差,吳長春教授發(fā)展了J 積分的對偶形式,在此基礎上發(fā)展了J 積分的上下限理論和計算方法[30-32].為計算J 積分的上限,吳長春教授通過精確滿足力邊界條件發(fā)展了罰平衡元方法,克服了傳統(tǒng)平衡有限元難以消除零能模式和獲得位移解的缺點.后來,這些理論和方法進一步推廣[33-36]到解決壓電斷裂問題.

3 無網(wǎng)格方法和局部間斷有限元

吳長春教授一直密切關注著計算力學的最新進展.在無網(wǎng)格方法發(fā)展的早期,他就敏銳意識到該方法在斷裂力學問題中的廣泛應用前景,通過與非協(xié)調(diào)元和雜交元的結(jié)合,克服了無網(wǎng)格方法計算量過大及非協(xié)調(diào)和雜交元難以模擬裂紋擴展的問題,并成功應用于非均質(zhì)材料的動態(tài)斷裂研究中,取得了良好的效果[37-38].另外,針對Cockburn 和舒其望等提出的局部間斷Galerkin 有限元方法,吳長春教授首次提出了與之相應的多變量能量原理,并將其應用于彈性力學的扭轉(zhuǎn)和平面問題[39-40],避免了傳統(tǒng)協(xié)調(diào)元在處理非規(guī)則網(wǎng)格和不同階次單元匹配時出現(xiàn)的困難,非常適合h-p 自適應問題的分析.

4 基于彈性力學對偶理論的有限元

針對有限元在處理偶應力和薄板彎曲等問題的C1連續(xù)性困難,吳長春教授引入彈性力學對偶理論,成功將平面雜交應力元PS 轉(zhuǎn)化為板彎曲[41]單元,將八節(jié)點R/M 板單元轉(zhuǎn)化為4 節(jié)點平面偶應力單元[42]等等,從而充分揭示和驗證了一套系統(tǒng)化的方法.在此基礎上,借助于Cosserat 連續(xù)介質(zhì)模型,通過對對偶理論的深入分析,給出了應用應力函數(shù)構(gòu)造有限元的新思路[43].

吳長春教授的求學之路并不平坦,20 世紀60年代,他曾在基層建筑公司任技術(shù)工人多年,1970—1973 年作為首屆工農(nóng)兵學員在合肥工業(yè)大學建工系學習,畢業(yè)后留校任教.1978—1981 年他在中國科大黃茂光先生的指導下獲得碩士學位并留校任教,1984—1987 年在美國麻省理工學院卞學鐄先生和中國科大黃茂光先生的共同指導下獲得博士學位.吳長春教授從一名技術(shù)工人到工農(nóng)兵學員,到教授和博士生導師,成為計算力學領域的專家學者,對科研的熱愛使得他孜孜不倦,他的自強不息和追求卓越的精神是我們永遠學習的榜樣.吳長春教授在中國科學技術(shù)大學和上海交通大學任教期間,主講結(jié)構(gòu)力學,高等計算固體力學和變分原理等課程,廣受學生好評,1993 年曾獲國家人文部、教育部授予的“全國優(yōu)秀教師”榮譽稱號.吳長春教授培養(yǎng)了碩士和博士研究生、指導博士后20 余人,桃李滿天下.吳長春教授為人謙和,對學生照顧有加,師母陳學英老師為吳長春教授的科研工作給予了極大的支持,在吳長春教授生病期間更是悉心看護,他們是我們尊敬的良師益友.最后,以一首小詩作為結(jié)尾,以紀念恩師.

吾師治學問,只求率與真

桃李遍天下,論著亦等身

浦江東流水,吳門駐長春

人隨仙鶴去,風范永留存

致謝:感謝陳雙喜、孫慧玉、李子然、盛勇、劉衛(wèi)群、黃若煜、何沛祥、袁振、李雷、劉靖華、袁磊、劉明、王凡、劉滎等提供相關資料及對本文的修改.