關(guān)于HPM課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的案例分析

汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引 言

近年來，隨著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(HPM)專業(yè)學(xué)習(xí)共同體的不斷擴(kuò)大和HPM教學(xué)案例的不斷增加，數(shù)學(xué)史的多元教育價(jià)值以及HPM教學(xué)理念受到越來越多一線教師的關(guān)注.HPM課例開發(fā)遵循“選題與準(zhǔn)備—研討與設(shè)計(jì)—實(shí)施與評(píng)價(jià)—整理與寫作”的流程，其中課例的評(píng)價(jià)采用了四維度評(píng)價(jià)框架[1][2]，這四個(gè)維度分別是“史料的適切性”、“方法的多元性”、“融入的自然性”和“價(jià)值的深刻性”.其中，“史料的適切性”是指教學(xué)中所使用的歷史素材是否滿足科學(xué)性、可學(xué)性、有效性、人文性和趣味性，“方法的多元性”是指是否采用附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式來運(yùn)用數(shù)學(xué)史；“融入的自然性”是指數(shù)學(xué)史的運(yùn)用是否實(shí)現(xiàn)了邏輯序、歷史序和心理序的有機(jī)統(tǒng)一；“價(jià)值的深刻性”是指課堂上數(shù)學(xué)史是否有助于構(gòu)建知識(shí)之諧、彰顯方法之美、營造探究之樂、實(shí)現(xiàn)能力之助、展示文化之魅和德育之效.上述框架完全是“自下而上”得出的，還缺乏扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，且與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域已有的課堂評(píng)價(jià)方式之間缺乏密切的聯(lián)系，因而還有很大的完善空間.

美國學(xué)者熊菲爾德(A. Schoenfeld)和他的研究團(tuán)隊(duì)提出“為強(qiáng)有力的理解而教”(Teaching for Robust Understanding，簡稱TRU)的課堂評(píng)價(jià)框架，該框架包含數(shù)學(xué)內(nèi)容、認(rèn)知需求、學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)、學(xué)生表現(xiàn)和評(píng)價(jià)運(yùn)用五個(gè)維度[3][4][5].本文融合原有的四維度評(píng)價(jià)框架和TRU評(píng)價(jià)框架，建立更為合理的HPM教學(xué)評(píng)價(jià)框架，并將其應(yīng)用于HPM課例——“三角形的中位線”，以期為未來的HPM課例研究提供指導(dǎo).

2 從TRU框架到HPM教學(xué)評(píng)價(jià)框架

表1給出了熊菲爾德用和他的團(tuán)隊(duì)建立的TRU課堂教學(xué)評(píng)價(jià)表[3][4][5].其中，“內(nèi)容呈現(xiàn)”對(duì)應(yīng)于“教什么”，“認(rèn)知需求”、“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”和“評(píng)價(jià)運(yùn)用”對(duì)應(yīng)于“怎么教”，“學(xué)生表現(xiàn)”對(duì)應(yīng)于“怎么學(xué)”.整個(gè)框架具有鮮明的“以學(xué)生為中心”的特點(diǎn).

表1 “為強(qiáng)有力的理解而教”的課堂評(píng)價(jià)框架

為了將TRU框架用于HPM課例的評(píng)價(jià)，需要將數(shù)學(xué)內(nèi)容替換為與數(shù)學(xué)史相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容.與“數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確、連貫與合理性程度”相對(duì)應(yīng)的，就是“數(shù)學(xué)史料的準(zhǔn)確、連貫和合理性程度”，即四維度評(píng)價(jià)框架中的“史料的適切性”；教師如何利用數(shù)學(xué)史料設(shè)計(jì)和組織課堂活動(dòng)為學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念提供支持，與四維度框架中“方式的多元性”和“融入的自然性”相對(duì)應(yīng).

四維度框架并沒有專門關(guān)注“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”，而“方式的多元性”只是與“評(píng)價(jià)運(yùn)用”部分相關(guān)；從學(xué)生表現(xiàn)可以看到數(shù)學(xué)史在課堂上實(shí)際體現(xiàn)的價(jià)值，因而“價(jià)值的深刻性”與“學(xué)生表現(xiàn)”之間則是“應(yīng)然”和“實(shí)然”的關(guān)系.根據(jù)TRU評(píng)價(jià)框架，我們建立HPM課例評(píng)價(jià)的新框架，見表2.

表2 HPM課堂教學(xué)評(píng)價(jià)新框架

3 案例分析

我們以 “三角形中位線”一課為例，來說明HPM課例評(píng)價(jià)框架的應(yīng)用.

3.1 內(nèi)容呈現(xiàn)

我們從科學(xué)性、可學(xué)性、有效性和人文性四個(gè)子維度來看本節(jié)課所用的數(shù)學(xué)史料.

其一，本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)史料有數(shù)學(xué)問題(三角形面積問題)、數(shù)學(xué)定理(三角形中位線定理的歷史、瓦里尼翁與中點(diǎn)四邊形)和數(shù)學(xué)方法(出入相補(bǔ)法、面積法).數(shù)學(xué)問題出自《九章算術(shù)》方田章；數(shù)學(xué)定理的歷史根據(jù)古巴比倫、古希臘、中國古代、17-18世紀(jì)歐洲的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、早期美英幾何教科書中的有關(guān)內(nèi)容整理、歸納而成；數(shù)學(xué)方法中，出入相補(bǔ)法出自劉徽《九章算術(shù)》方田章“圭田術(shù)”注(圖1)，面積法出自歐幾里得《幾何原本》

圖1 《九章算術(shù)》書影(影印四庫全書版)

卷六命題2(圖2)；中點(diǎn)四邊形定理出自18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家瓦里尼翁(P. Varigonon, 1654-1722)的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(1734，圖3).因此，本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)史料都具備科學(xué)性.

圖2 《幾何原本》書影(希思注釋版)

圖3 瓦里尼翁《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》以及書中的插圖

其二，由于三角形面積公式是學(xué)生十分熟悉的內(nèi)容，盡管教師呈現(xiàn)了《九章算術(shù)》原文，但經(jīng)過解釋，學(xué)生在理解上毫無困難；歷史上數(shù)學(xué)家所給出的各種方法都是通過學(xué)生自主探究再現(xiàn)于課堂的，而非教師的灌輸；三角形中位線定理的歷史通過HPM微視頻呈現(xiàn)，為學(xué)生所喜聞樂見，其中所介紹的定理證明方法，與學(xué)生所采用的方法相對(duì)應(yīng)；瓦里尼翁四邊形則是三角形中位線定理的直接應(yīng)用.可見，本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)史料符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，具備可學(xué)性.

其三，教師采用《九章算術(shù)》中的三角形面積問題三角形面積公式，對(duì)應(yīng)于“經(jīng)歷三角形中位線概念的形成過程”這一教學(xué)目標(biāo)，并為“經(jīng)歷三角形中位線定理的探索過程”這一教學(xué)目標(biāo)埋下伏筆；劉徽的出入相補(bǔ)法和歐幾里得的面積法，對(duì)應(yīng)于“經(jīng)歷三角形中位線定理的探索過程”、“培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)”以及“理解從特殊到一般和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想”的目標(biāo)；瓦里尼翁中點(diǎn)四邊形對(duì)應(yīng)于“應(yīng)用三角形中位線定理解決問題”的目標(biāo)；中位線定理的歷史發(fā)展概貌，則對(duì)應(yīng)于“感受數(shù)學(xué)文化的多元性、體會(huì)數(shù)學(xué)背后所蘊(yùn)含的理性精神”的目標(biāo).因此，本節(jié)課所運(yùn)用的數(shù)學(xué)史料完全服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，具備有效性.

其四，本節(jié)課所涉及的歷史素材，都與數(shù)學(xué)家相對(duì)應(yīng)，凸顯三角形中位線定理發(fā)展過程中數(shù)學(xué)家的作用，并揭示定理所蘊(yùn)含的理性精神，具備一定的人文性.倘若教師在教學(xué)中進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生思考“為什么不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家會(huì)不斷地去探究新方法”這一問題，對(duì)于人物的生平事跡也有涉及，則數(shù)學(xué)史料的人文性將得到加強(qiáng).

總的說來，本節(jié)課在“內(nèi)容呈現(xiàn)”維度上，基本達(dá)到了水平3.

3.2 認(rèn)知需求

在數(shù)學(xué)史素材的運(yùn)用方式上，本節(jié)課主要采用重構(gòu)式來促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念、定理的理解與運(yùn)用，并在重構(gòu)的過程中，兼用了附加式、復(fù)制式和順應(yīng)式.

該找一個(gè)什么借口和她搭訕呢？說沒有位子直接坐到她的對(duì)面嗎？可是位子明明很富余呀。跟她打聽點(diǎn)什么事情嗎？可是能打聽什么呢？跟她借點(diǎn)什么小東西嗎？都什么年代了，哪有隨便跟陌生人借東西的？再說了，男人能借的除了打火機(jī)還能是什么？在中國跟一個(gè)女子借打火機(jī)又算什么？咖啡廳不是不可以抽煙的嗎？哎呀！

從歷史上看，幾何概念往往經(jīng)歷從“無意識(shí)幾何”到“實(shí)驗(yàn)幾何”、再到“演繹幾何”的過程.古巴比倫泥版書記錄了許多三角形土地分割問題，人們?cè)诜指钔恋氐膶?shí)踐中，已經(jīng)不自覺地應(yīng)用了三角形中位線，但并未正式提出過“三角形中位線”的概念和性質(zhì)，故屬于“無意識(shí)幾何”階段.

雖然在古巴比倫泥版書和歐幾里得《幾何原本》之間相關(guān)史料是缺失的，但正如三角形內(nèi)角和定理源于現(xiàn)實(shí)生活中的鋪地磚(圖4)一樣，三角形中位線定理也可能有同樣的起源.如圖5所示，將四個(gè)同樣的三角形拼成一個(gè)三角形，易于從中發(fā)現(xiàn)三角形中位線與底邊之間的大小關(guān)系.顯然，這樣的發(fā)現(xiàn)過程屬于“實(shí)驗(yàn)幾何”階段.中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)也應(yīng)用了中位線，但他所實(shí)施的“以盈補(bǔ)虛”操作，就三角形中位線定理而言，亦屬于“實(shí)驗(yàn)幾何”階段.

圖4 六個(gè)同樣的三角形拼成一個(gè)六邊形

圖5 四個(gè)同樣的三角形拼成一個(gè)三角形

歐幾里得在《幾何原本》卷六中嚴(yán)格證明了命題2：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點(diǎn)連線段平行于三角形的底邊.”[4]顯然，三角形中位線定理是該定理的特殊情形，歐幾里得的面積證明同樣適用，這標(biāo)志著中位線定理進(jìn)入“演繹幾何”階段.

本節(jié)課對(duì)三角形中位線定理的歷史發(fā)展過程進(jìn)行了重構(gòu)，如圖6所示.教學(xué)中，這個(gè)重構(gòu)的過程是通過“三角形面積的推導(dǎo)”“中位線定理的證明”和“中點(diǎn)四邊形面積的探究”三個(gè)探究活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的.

圖6 三角形中位線定理產(chǎn)生與發(fā)展過程的重構(gòu)

在第一個(gè)探究活動(dòng)中，教師采用了《九章算術(shù)》中的原始問題，屬于復(fù)制式，證明“圭田術(shù)”的問題，屬于順應(yīng)式，對(duì)于學(xué)生推導(dǎo)三角形面積公式所采用的方法，教師通過“古今聯(lián)系”的策略加以評(píng)價(jià)，屬于順應(yīng)式.在第二個(gè)探究活動(dòng)中，對(duì)于學(xué)生證明中位線定理的不同方法，教師也采用了“古今聯(lián)系”的策略加以評(píng)價(jià)，故屬于順應(yīng)式.在第三個(gè)探究活動(dòng)中，教師根據(jù)瓦里尼翁中點(diǎn)四邊形，提出新的面積問題，屬于順應(yīng)式.HPM微視頻的運(yùn)用則屬于附加式.

要滿足學(xué)生的認(rèn)知需求，教師需要為學(xué)生提供足夠的思維空間，即充分“留白”.本節(jié)課中，教師通過數(shù)學(xué)史的四種運(yùn)用方式，為學(xué)生留出“發(fā)現(xiàn)之白”、“論證之白”和“方法之白”，有效地促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí).

總的說來，本節(jié)課在“認(rèn)知需求”維度上達(dá)到了水平3.

3.3 學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)

一枝獨(dú)秀不是春，百花齊放春滿園.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，不是讓少數(shù)學(xué)生受益，而是為全體學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)機(jī)會(huì).本節(jié)課中，探究活動(dòng)分組開展，組內(nèi)研討、全班交流、個(gè)體展示、生生交流，絕大多數(shù)學(xué)生都有機(jī)會(huì)表達(dá)自己的想法，所有的學(xué)生都積極參與到活動(dòng)之中.通過在線研討、課堂觀察以及課后與執(zhí)教者的交流發(fā)現(xiàn)，有四個(gè)因素導(dǎo)致本節(jié)課在“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”維度上取得成功.

一是教師的HPM教學(xué)理念.比利時(shí)-美國著名科學(xué)史家薩頓(G. Sarton, 1884-1956)曾經(jīng)指出，數(shù)學(xué)史研究的主要目的是揭示數(shù)學(xué)的人性(humanity).數(shù)學(xué)史告訴我們，數(shù)學(xué)研究乃是人類的一種文化活動(dòng)，是人在做數(shù)學(xué)，是人在創(chuàng)造歷史.HPM以溝通歷史與現(xiàn)實(shí)、融合數(shù)學(xué)與人文、創(chuàng)建人性化課堂為目標(biāo)，其基本教學(xué)理念是教學(xué)的實(shí)施即文化活動(dòng)的實(shí)施，以學(xué)生為中心，給予他們探究機(jī)會(huì)，讓他們經(jīng)歷新知的發(fā)生和發(fā)展過程，從而將歷史再現(xiàn)于課堂.本節(jié)課充分體現(xiàn)了這一理念.

二是基于數(shù)學(xué)史的探究任務(wù)的設(shè)計(jì).本節(jié)課采用“溫故知新”策略來設(shè)計(jì)探究任務(wù)：三角形面積公式的推導(dǎo)為“溫故”，推導(dǎo)過程中使用了中位線并導(dǎo)致中位線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，為“知新”(圖7).“溫故”需要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，“知新”需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，“溫故知新”為全體學(xué)生的參與提供了保障.

圖7 溫故知新

三是 “同儕學(xué)習(xí)”的組織形式.本節(jié)課上，探究活動(dòng)是按照小組合作(四人一組)的形式開展的，每一小組都需要匯報(bào)本組的探究成果，每一小組都需要傾聽其他小組的匯報(bào)，當(dāng)一個(gè)小組在某個(gè)地方被“卡住”時(shí)，別的小組需要予以解決.例如，當(dāng)一個(gè)小組展示面積證法(下一節(jié)方法6)時(shí)，只證明了中位線與底邊的位置關(guān)系而未能解決大小關(guān)系，另一小組給予了補(bǔ)充，從而完善了證明.為了小組的榮譽(yù)，每一位學(xué)生都需要貢獻(xiàn)自己的智慧.四是學(xué)生本身的知識(shí)基礎(chǔ).同樣一份HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，在不同層次的學(xué)校實(shí)施的效果互不相同，很多時(shí)候，當(dāng)學(xué)生的基礎(chǔ)較弱或數(shù)學(xué)情感比較消極時(shí)，學(xué)生參與度會(huì)較低，這種情況下，為了增加全體學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，教師需要對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)加以改進(jìn).本節(jié)課的成功，部分得益于學(xué)生良好的基礎(chǔ).

總的說來，本節(jié)課在“學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”維度上達(dá)到了水平3.

3.4 學(xué)生表現(xiàn)

本節(jié)課中，學(xué)生的表現(xiàn)主要體現(xiàn)在探究過程和結(jié)果上.探究活動(dòng)1中，學(xué)生通過拼圖得到三角形面積公式的兩種推導(dǎo)方法：一是將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，二是將三角形轉(zhuǎn)化為矩形(圖8)，無意中都為三角形中位線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明埋下了伏筆.基于探究活動(dòng)1中的方案，學(xué)生很快猜想出中位線的性質(zhì).在探究活動(dòng)2中，學(xué)生相繼給出六種方法證明中位線性質(zhì)(圖9)：方法1是課本上呈現(xiàn)的方法，是人們最常見的方法；方法2和3分別通過作中位線上的高線和中線，將以中位線為底邊的小三角形進(jìn)行分割，從而將原圖形轉(zhuǎn)化為矩形和平行四邊形；方法4則是通過中位線上的任意一點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線對(duì)小三角形進(jìn)行分割，是對(duì)方法1-3的一般化、動(dòng)態(tài)化.對(duì)于各種方法，學(xué)生都能夠完整地表達(dá)證明的過程(圖10)，氣氛活躍，精彩紛呈.

圖8 三角形面積公式的推導(dǎo)方案

圖9 學(xué)生關(guān)于三角形中位線定理的不同證明

圖10 學(xué)生展示三角形中位線定理的不同證明

方法5分別過兩腰中點(diǎn)作底邊的垂線，從而將原三角形轉(zhuǎn)化為矩形，但學(xué)生未能像方法4那樣將該方法進(jìn)行一般化、動(dòng)態(tài)化.事實(shí)上，如圖11所示，過兩腰中點(diǎn)任作兩條平行線，都可以證明中位線定理.

在探究活動(dòng)3中，學(xué)生證明了中點(diǎn)四邊形的形狀，但由于沒有足夠的時(shí)間，他們未能用等積變形得出中點(diǎn)四邊形的面積.

圖11 方法5 的一般化(課堂上沒有出現(xiàn))

總的說來，本節(jié)課在“學(xué)生表現(xiàn)”維度上達(dá)到了水平3.

3.5 評(píng)價(jià)運(yùn)用

本節(jié)課中，教師采用“古今聯(lián)系”的策略來評(píng)價(jià)學(xué)生的探究成果.學(xué)生的方法2和方法5與劉徽的兩種出入相補(bǔ)法完全一致(圖12)，方法6的第一部分再現(xiàn)了歐幾里得的方法.方法4 將方法1-3囊括其中，是對(duì)歷史的完美超越.方法6的第二部分解決了《幾何原本》未涉及的中位線與底邊的大小關(guān)系，是對(duì)歐幾里得方法的精彩補(bǔ)充.“古今聯(lián)系”策略讓學(xué)生仿佛穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對(duì)話，既再現(xiàn)歷史，又超越古人，有效地激發(fā)了學(xué)生的興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的自信心.此外，本節(jié)課中，“同儕互評(píng)”往往代替教師的評(píng)價(jià)，成了本節(jié)課的亮點(diǎn)之一.

圖12 古今聯(lián)系

但本節(jié)課中，盡管“古今聯(lián)系”和“同儕評(píng)價(jià)”對(duì)學(xué)生產(chǎn)生了積極的影響，但對(duì)于后續(xù)教學(xué)，特別是中點(diǎn)四邊形的探究，并未產(chǎn)生顯著的影響.因此，本節(jié)課在“評(píng)價(jià)運(yùn)用”上與水平3尚有一定的差距.

4 結(jié)語

綜上我們看到，融合TRU框架和HPM四維度評(píng)價(jià)框架后所形成的新框架，涉及“教師教什么”、“教師怎么教”以及“學(xué)生如何學(xué)”，可用于HPM課例的評(píng)價(jià)；與舊的四維度評(píng)價(jià)框架相比，新框架更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，并且避免了舊框架中“融入的自然性”和“價(jià)值的深刻性”兩個(gè)維度的主觀性，可操作性更強(qiáng)，因而更適用于教研活動(dòng).當(dāng)然，該框架還需在未來的HPM教研實(shí)踐中進(jìn)一步加以完善.

對(duì)HPM課例的評(píng)價(jià)，主要關(guān)注與數(shù)學(xué)史相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、學(xué)習(xí)過程與教學(xué)成效.但從HPM視角設(shè)計(jì)和實(shí)施的一節(jié)課畢竟是數(shù)學(xué)課，而不是數(shù)學(xué)史課，不可能從頭到尾都與數(shù)學(xué)史相關(guān).因此，評(píng)價(jià)過程中需要注意與數(shù)學(xué)史相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容和無關(guān)數(shù)學(xué)史的教學(xué)內(nèi)容的區(qū)別，客觀地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史在教學(xué)中所扮演的角色.