高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略的實(shí)踐研究-以三角函數(shù)模型為例①

劉國慶,趙寶江

(佳木斯大學(xué),黑龍江 佳木斯 154000)

0 引 言

目前，高中新課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)納入了數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，但在實(shí)際建模教學(xué)中并未有效地實(shí)施，對(duì)于教師如何提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果，如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)建模，提出六種建模教學(xué)策略，并在課堂教學(xué)中運(yùn)用與實(shí)踐。

1 數(shù)學(xué)建模的重要性

數(shù)學(xué)建模能夠培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問題，用數(shù)學(xué)思維解決問題，數(shù)學(xué)建?？梢蚤_拓學(xué)生思維，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，因此在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師要結(jié)合高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)現(xiàn)狀,設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略，將建模和各個(gè)領(lǐng)域知識(shí)進(jìn)行融合，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模在各個(gè)領(lǐng)域中的作用，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)建模。

2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展現(xiàn)狀研究

2.1 數(shù)學(xué)教師建模素養(yǎng)意識(shí)淡薄

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，但在實(shí)際建模教學(xué)過程中，仍存在很多困難，一方面,教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)不夠清晰，教師的建模綜合素養(yǎng)和建模能力不高,不能將建模和各個(gè)領(lǐng)域聯(lián)系起來，建模認(rèn)識(shí)比較單一。另一方面，大部分?jǐn)?shù)學(xué)建模的教學(xué)模式依然按照常規(guī)的方式進(jìn)行教學(xué)，不夠靈活,通常直接應(yīng)用數(shù)學(xué)公式解題，沒有啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生被動(dòng)的接受建模知識(shí)。

2.2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)能力水平較低

在實(shí)際教學(xué)中，大部分建模教學(xué)卻只是生搬硬套模型,缺乏真正的模型構(gòu)建的過程。教師為了節(jié)省時(shí)間省略了建模過程，而忽視培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，導(dǎo)致學(xué)生形成定勢(shì)思維，無法提高學(xué)生綜合實(shí)踐能力。

2.3 學(xué)生自主探究空間較少

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生面對(duì)問題沒有經(jīng)過深思熟慮,直接根據(jù)公式求解，也沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模常規(guī)的過程,學(xué)生沒有真正了解建模的模式，從而不懂得如何建模，因此在教學(xué)中教師要多讓學(xué)生通過自主探索與應(yīng)用,給學(xué)生時(shí)間讓學(xué)生探究模型來提升建模的素養(yǎng)。

3 培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)策略

3.1 問題啟發(fā)建模教學(xué)策略

教師通過問題分析來展開思路,啟發(fā)學(xué)生思考這個(gè)問題與什么樣的問題相似?如果將這個(gè)問題分解為兩個(gè)或幾個(gè)組成部分將會(huì)怎樣?通過綜合這個(gè)問題的條件分析可以獲得什么樣的結(jié)果?要真正實(shí)現(xiàn)這個(gè)問題的目標(biāo)是必須具備什么樣的條件?可單獨(dú)地分析上面每個(gè)方面,也就是可以把它們綜合在一起來進(jìn)行分析,進(jìn)一步地思考尋找出自己的思路和解決方法。

3.2 圖示教學(xué)建模教學(xué)策略

在進(jìn)行建模的時(shí)候，尤為關(guān)鍵的是變量之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)生所接觸的建模問題，大多數(shù)變量的關(guān)聯(lián)可以借助圖像來展現(xiàn)，或者可以借助圖表來表示，從而可以刻畫變量關(guān)系，梳理好變量之間的關(guān)聯(lián)，結(jié)合已知的知識(shí)點(diǎn)，使變量的關(guān)系更加精細(xì)化，借助這個(gè)關(guān)系讓數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程更加順利。

3.3 開展建模對(duì)話教學(xué)策略

學(xué)生通過各抒己見主動(dòng)參與了探究活動(dòng)，參加建模對(duì)話使學(xué)生都能夠分享在建模中的收獲，從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題有真知灼見。在“對(duì)話”中，學(xué)生通過語言表達(dá)或是圖文表達(dá)進(jìn)行探索交流，表達(dá)自己對(duì)探究問題的理解，從而提高自身的建模素養(yǎng)。

3.4 樣例推廣建模教學(xué)策略

高中生建模時(shí)在沒有任何樣例的環(huán)境下做一些比較陌生的題時(shí),常用的方法就是通過分析條件,尋找未知,更多地注重已知的條件、未知的條件和對(duì)問題的求解上面。如果教師不能提供一個(gè)適量而典型的案例來進(jìn)行引領(lǐng),學(xué)生就很難找到一個(gè)學(xué)習(xí)模式。因此通過開展建模樣例教學(xué),能夠讓學(xué)生找到一個(gè)熟悉的模式，更快地掌握求解各類模型的基本原理及其算法,

3.5 信息技術(shù)優(yōu)化建模教學(xué)策略

在進(jìn)行建模課程教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握常用的數(shù)學(xué)軟件，例如excel,lingo,python,matlab,在新課標(biāo)中明確提出，建模教學(xué)中需要融入信息處理手段,教師應(yīng)該更加注重在學(xué)校開展信息技術(shù)建模活動(dòng),從而培養(yǎng)學(xué)生的信息技術(shù)處理能力,讓學(xué)生更加熟練應(yīng)用當(dāng)前的信息處理手段,從而不斷改善新的課堂教學(xué),為教師啟發(fā)了一種新的教學(xué)思路。

3.6 回授教學(xué)建模教學(xué)策略

經(jīng)歷求解模型后,教師變換問題的一些條件,拓寬問題的討論范圍,引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入探究.此時(shí)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)還沒有結(jié)束,需要進(jìn)行回授式教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié),將已有的問題和新的問題對(duì)比分析，學(xué)生已經(jīng)掌握用相應(yīng)的方法和步驟來解決這類模型,教師要對(duì)學(xué)生有信心,將所學(xué)內(nèi)容作為課后的作業(yè),讓學(xué)生獨(dú)立地完成作業(yè)。同時(shí)還可以開展變式強(qiáng)化練習(xí)，通過變式練習(xí)的過程，讓相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型背后的具體問題得以轉(zhuǎn)化，提升了學(xué)生們的建模能力，讓學(xué)習(xí)內(nèi)容更加豐富，提升對(duì)特定問題進(jìn)行圖式識(shí)別認(rèn)知和表征能力.

接下來選取新教材人教B版高中數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)的案例，闡述以上教學(xué)策略的運(yùn)用與實(shí)施。

4 高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例實(shí)踐

[案例情境]例：日月對(duì)海水會(huì)產(chǎn)生引力作用，有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)漲落的狀況，人們稱之為潮。在通常狀況下，早潮被稱作潮，晚潮被稱作汐。一般情況下，在漲潮的時(shí)候，船需要通過行駛步入航道，靠近碼頭；結(jié)束卸貨之后，在落潮時(shí)返回海洋。

表1 港口水深與對(duì)應(yīng)時(shí)間觀測(cè)表

(1)選取特定的函數(shù)來對(duì)時(shí)間和水深度之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行體現(xiàn)，求整點(diǎn)時(shí)水深的近似值(精確0.001m)。

(2)對(duì)于一條貨船而言，其相應(yīng)吃水深度是4m，根據(jù)相關(guān)安全條例，安全間隙應(yīng)當(dāng)不低于1.5m，這個(gè)船在這個(gè)時(shí)候，什么時(shí)候可以入港口？停留時(shí)間是多少？

(3)對(duì)于一條貨船而言，其相應(yīng)吃水深度是4m，安全間隙是1.5m，于2：00進(jìn)行卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度減少，倘若在其完成卸貨之后，要0.4h之后，才可以行駛?cè)肷钏颍摯瑧?yīng)當(dāng)選擇的卸貨時(shí)間是多少？

通過尋求變量變化規(guī)律的過程，在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，將建模的確定變量、理清關(guān)系、計(jì)算系數(shù)、解決問題的幾個(gè)過程都清晰地體現(xiàn)出來。本案例內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，但代表性強(qiáng)，可以方便學(xué)生盡快熟悉建模的流程，掌握數(shù)學(xué)建模的框架體系。

[案例分析] 首先在進(jìn)行導(dǎo)入教學(xué)時(shí),就是可以考慮采用的策略一:問題啟發(fā)建模教學(xué)策略。

在進(jìn)行本次課堂教學(xué)之前,組織每位學(xué)生進(jìn)行討論,大家都是自主表達(dá)意見,針對(duì)這個(gè)周期現(xiàn)象,目前還可以研究探討的問題很多.比如,這些現(xiàn)象出現(xiàn)的原因,能夠利用哪幾個(gè)函數(shù)描述這個(gè)規(guī)律,何時(shí)進(jìn)入港口，何時(shí)停止卸貨等等。引導(dǎo)學(xué)生思考，可以采取哪些學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決這個(gè)問題，從而給學(xué)生埋下好奇的種子，為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

橫坐標(biāo)為時(shí)間x(單位：h)，縱坐標(biāo)為水深y(單位：m)，讓大家思考周期現(xiàn)象問題和已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的關(guān)聯(lián)，找到水深與時(shí)間之間的關(guān)聯(lián)，從而得出這是我們高中的正弦型函數(shù)問題。

[案例分析] 采用策略二：圖示教學(xué)建模教學(xué)策略。

觀察這個(gè)問題中相關(guān)條件，概括出有用的信息,通過上述的圖表和數(shù)據(jù)，可以繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖(如圖1).觀察散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)得出，這個(gè)港口的水深和時(shí)間之間的關(guān)系可以表示為函數(shù)關(guān)系y=Asin(ωx+φ)+h,其中x為時(shí)間,y為水深。

圖1

如果使用平滑的曲線進(jìn)行連接,會(huì)發(fā)現(xiàn)初相、振幅都有所改變，結(jié)合圖像和相關(guān)數(shù)據(jù)，通過計(jì)算得出正弦函數(shù)模型，也就是相應(yīng)的解析式，進(jìn)而能夠確定A,ω,φ,h的值。

[案例分析] 采用策略三：開展建模對(duì)話教學(xué)策略。

從數(shù)據(jù)和圖像可以得出：

A=2.5,h=5,T=12.4,φ=0

[案例分析] 運(yùn)用策略三：開展建模對(duì)話教學(xué)策略。

學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)據(jù)繪制出函數(shù)圖像。在教學(xué)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極探究，不要懼怕失敗，通過推導(dǎo)和計(jì)算，得到較為合理的函數(shù)模型。在上述過程中借助了數(shù)形結(jié)合的理論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)具有邏輯性推理和抽象化的特點(diǎn)。

表2 港口整點(diǎn)時(shí)的水深近似值

時(shí)刻6:007:008:009:0010:0011:00水深/m5.2534.0143.0232.5292.6563.372時(shí)刻18:0019:0020:0021:0022:0023:00水深/m5.7484.4973.3722.6562.5293.023

(2)針對(duì)題目給出的條件，展開相應(yīng)的討論，得到入港以及停留的時(shí)間:經(jīng)過計(jì)算求得安全深度為：

4+1.5=5.5(m)。

所以當(dāng)y≥5.5時(shí)就可以進(jìn)港。令

由計(jì)算器可得

0.2013579208≈0.2014．

[案例分析] 運(yùn)用策略五：信息技術(shù)優(yōu)化解模教學(xué)策略。

利用GeoGebra軟件畫出這個(gè)函數(shù)的圖像，與學(xué)生共同分析特點(diǎn)。

解得xA≈0.3975，xB≈5．8025．

通過函數(shù)的周期性很容易得到：

xC≈12．4+0.3975=12．7975，

xD≈12．4+5．8025=18．2025．

因此，本題貨船可以選擇在00：30分左右進(jìn)入港口，早晨5時(shí)45分左右從港口出發(fā)；或選擇在下午13時(shí)左右入港口，下午18時(shí)左右從港口出發(fā)。可以在港口停留大約5h。

(3)當(dāng)時(shí)間為xh時(shí)，本題貨船的安全水深是ym，也就是y=5．5-0.3(x-2)(x≥2)。畫出相應(yīng)的圖像得到，當(dāng)時(shí)間在6時(shí)到8時(shí)，函數(shù)曲線與直線上存在1個(gè)交點(diǎn)(如圖3)。

利用計(jì)算工具得出交P的坐標(biāo)約為(7．016，3．995)，于是貨船最好在6.6時(shí)之前停止卸貨，馬上離開將駛向深一些的海域。

[案例分析] 運(yùn)用策略六：回授教學(xué)建模教學(xué)策略。

這節(jié)課學(xué)習(xí)了三角函數(shù)模型，大家可以充當(dāng)一次調(diào)研員，利用手中的活動(dòng)表格，以小組為單位選擇你們喜歡的方法，去填寫表3中的數(shù)據(jù)并建立數(shù)學(xué)模型。

表3 時(shí)間與水深關(guān)系表

學(xué)生此時(shí)已經(jīng)在一定程度上掌握了本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn),題目的解答方法步驟,以及題目正確解答的文字書寫格式等。接下來來到回授課堂教學(xué)環(huán)節(jié),這一環(huán)節(jié)主要是用來檢查和評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。此環(huán)節(jié)讓學(xué)生獨(dú)立完成本節(jié)課模型的整理作業(yè),使學(xué)生學(xué)習(xí)更扎實(shí)有效。變式練習(xí)：近兩年小明家用燃?xì)赓M(fèi)用如表4：

表4 小明家用燃?xì)赓M(fèi)用表

2020年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月單位:元758458502315161720366585

(1)畫出函數(shù)圖像用來作為這些數(shù)據(jù)的模型。

(2)你有哪種比較適合又簡(jiǎn)易的方法找出振幅，周期？

(3)你的方法有哪些優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn)？是否可用你的模型來預(yù)測(cè)下一年度的使用情況？

5 結(jié) 語

在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中,應(yīng)用建模策略需要長期堅(jiān)持，其中要注意這樣幾個(gè)問題:首先要正確地運(yùn)用每個(gè)數(shù)學(xué)建模策略，其次要具體問題具體分析，選取恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模策略，最后各個(gè)策略要相互融合，相互滲透。只有這樣,學(xué)生才可真正地學(xué)會(huì)建模,高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)才可真正落地。