基于改進(jìn)平方根變換的VSI EWMA MSE控制圖

陳培樂, 王美涵, 楊志清

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州363000）

廣泛使用的指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均控制圖[1-2]，無論是對(duì)于變量數(shù)據(jù)或?qū)傩詳?shù)據(jù)，在檢測(cè)過程參數(shù)的小偏移都是快速的.自適應(yīng)方案[3-7]應(yīng)用于EWMA 圖之后，使得控制方案對(duì)工藝參數(shù)的小到中等的變化更加敏感.制定的自適應(yīng)方案通過允許在工藝活動(dòng)期間更新控制圖的設(shè)計(jì)參數(shù)，改變抽樣區(qū)間和/或樣本大小和/或控制限制的寬度，從而改進(jìn)控制圖的統(tǒng)計(jì)性能.Eugenio[8]關(guān)于屬性數(shù)據(jù)的自適應(yīng)控制圖的研究結(jié)果也表明，自適應(yīng)方案能夠有效提高控制圖的監(jiān)控性能.但是屬性圖通常不像變量圖那樣信息豐富，因?yàn)橥ǔＴ跀?shù)值測(cè)量中包含的信息更多，而不僅僅是用符合或不符合的術(shù)語來描述質(zhì)量特征，所以考慮利用Tsai等[10]提出的改進(jìn)平方根變換(ISRT)方法來改善屬性數(shù)據(jù)質(zhì)量特征的過程均值和方差.

Chen 等[9]提出了用于監(jiān)控屬性數(shù)據(jù)的可變抽樣區(qū)間和樣本容量的均方誤差（MSE）控制圖，該圖在監(jiān)控小偏移時(shí)的性能還有待提高.為了提高監(jiān)控屬性數(shù)據(jù)的MSE 控制圖的監(jiān)控效率，提出基于改進(jìn)平方根變換的可變抽樣區(qū)間的指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均均方誤差（VSI EWMA MSE）控制圖，同時(shí)檢測(cè)屬性數(shù)據(jù)的過程均值與目標(biāo)值的差異以及過程均值和標(biāo)準(zhǔn)差的偏移.還構(gòu)建了該圖和固定抽樣區(qū)間的指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均均方誤差（FSI EWMA MSE）圖的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型，并比較了兩種控制方案在失控狀態(tài)下的性能.

1 屬性數(shù)據(jù)的VSI EWMA MSE控制圖的設(shè)計(jì)

假設(shè)有一組來自二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X=(x1,x2, …,xn)，試驗(yàn)次數(shù)為k且每次試驗(yàn)的成功率為p，即X～B(k,p).根據(jù)ISRT方法中二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的反正弦變換方法，轉(zhuǎn)換的式子表示為

轉(zhuǎn)換后的連續(xù)型隨機(jī)變量Yi近似于均值為方差為1/4k的正態(tài)分布，即在Yi服從正態(tài)分布的條件下，均方誤差統(tǒng)計(jì)量

其中T為目標(biāo)值，令其中δ3為過程均值偏離目標(biāo)值的幅度.令MSE*i=服從自由度為n，非中心參數(shù)為的非中心卡方分布，即MSE ～4k(n- 1)-1.當(dāng)過程受控時(shí)，過程均值沒有偏離目標(biāo)值，即δ3= 0，此時(shí)MSE*i的期望和方差分別為E(MSEi)=n，Var(MSEi)= 2n.

構(gòu)造計(jì)數(shù)值EWMA MSE統(tǒng)計(jì)量Qi如下：

假設(shè)初始抽樣間隔時(shí)間為t0，為了提高監(jiān)控性能，給定警戒限（WL），并采用兩種不同的抽樣間隔時(shí)間t1和t2，其中t1

其中k為控制界限系數(shù)，w為警戒限系數(shù).

2 屬性數(shù)據(jù)的VSI EWMA MSE控制圖的ATS計(jì)算

運(yùn)用馬爾可夫鏈法計(jì)算VSI EWMA MSE 控制圖的平均報(bào)警時(shí)間（ATS），其中，過程受控時(shí)的平均報(bào)警時(shí)間（記為ATS0）越大越好，過程失控時(shí)的平均報(bào)警時(shí)間（記為ATS1）越小越好，具體計(jì)算過程如下.

將受控區(qū)域[0, UCL]平均分為2m+1個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域的長度為UCL/(2m+ 1)，記第i個(gè)子區(qū)間為(LCLi, UCLi),i= 1, 2, …, 2m,記第i個(gè)子區(qū)間為狀態(tài)i

將第i個(gè)子區(qū)間的中點(diǎn)記為CLi=令從狀態(tài)j一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)k的概率為pjk,j=1, 2, …,2m+ 1,k= 1, 2, …,2m+ 1，則過程受控時(shí)

MSE*t服從自由度為n，非中心參數(shù)為的非中心卡方分布.

令轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=(pjk)(2m+1)×(2m+1)，過程受控時(shí)的平均報(bào)警時(shí)間ATS0的計(jì)算公式為

其中，B為2m+1 維行向量，其元素除了第i個(gè)元素為1 外其余元素全為0，I為2m+1 維單位矩陣，h=(h1,h2,…,h2m+1)，當(dāng)區(qū)域i落在中心區(qū)域（0，WL）時(shí)，hi=t2；當(dāng)區(qū)域i落在警戒區(qū)域（WL，UCL）時(shí)，hi=t1.

假設(shè)失控在過程零時(shí)刻開始發(fā)生，當(dāng)過程失控時(shí)，過程均值則變?yōu)槭Э刂?，其中δ1為過程平均值偏移幅度，過程標(biāo)準(zhǔn)差則變?yōu)槭Э刂灯渲笑?為過程標(biāo)準(zhǔn)差偏移幅度.

則過程失控時(shí)

MSE*t/δ22服從自由度為n，非中心參數(shù)為n(δ1+δ3)2/δ22的非中心卡方分布.

令失控時(shí)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P1=(p′jk)(2m+1)×(2m+1).同理，過程失控時(shí)的平均報(bào)警時(shí)間ATS1的計(jì)算公式為

3 屬性數(shù)據(jù)的VSI EWMA MSE控制圖的表現(xiàn)

VSI EWMA MSE 圖的統(tǒng)計(jì)性能通過與FSI 圖的比較來評(píng)估，使用平均報(bào)警時(shí)間（ATS）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，ATS 指從開始檢測(cè)到報(bào)警所需的平均時(shí)間.當(dāng)過程處于控制之中時(shí)，最好使用一個(gè)較大的ATS0，因?yàn)檩^大的ATS0代表誤報(bào)率越小，另一方面，當(dāng)過程的參數(shù)發(fā)生變化后，ATS1越小越好.

VSI EWMA MSE 圖的優(yōu)化模型為：給定δ1，δ2，δ3，w，t1，n的初始值，尋找使得ATS1取最小值時(shí)的最優(yōu)參數(shù)組合(λ,k,t2)，并且滿足下列約束條件：

FSI EWMA MSE圖的優(yōu)化模型也滿足式(12)和式(13)，其中t0=t1=t2= 1，w=k.

各參數(shù)的初始值分別設(shè)為：δ1取0.5，1.0，1.5，δ2取1.1，1.5，2.0，δ3取0，t1取0.1，0.5，w取0.1，0.5.FSI 方案尋找給定的初始參數(shù)下使得ATS1達(dá)到最小值時(shí)的最優(yōu)參數(shù)組合(λ,k)，VSI方案尋找給定的初始參數(shù)下使得ATS1達(dá)到最小值時(shí)的最優(yōu)參數(shù)組合(λ,k,t1).

使用最優(yōu)VSI模型計(jì)算的最優(yōu)ATS1值總結(jié)在表1中.表2和表3分別列出了對(duì)應(yīng)的最優(yōu)抽樣間隔t1和最優(yōu)EWMA 參數(shù)組合(λ，k).為了便于比較，表1 和表3 還分別列出了最優(yōu)FSI 方案的最優(yōu)ATS1值和最優(yōu)EWMA參數(shù)組合(λ，k).

表1 ATS0=370，n=5，δ3=0不同w，t2值下，最優(yōu)的ATS1Tab.1 Optimal ATS1 under ATS0=370,n=5,δ3=0 different values of w and t2

表2 ATS0=370，n=5，δ3=0不同w，t2值下，最優(yōu)的t1Tab.2 Optimal t1under ATS0=370,n=5,δ3=0 different values of w and t2

表3 ATS0=370，n=5，δ3=0.0不同w，t2值下，最優(yōu)的(λ，k)組合Tab.3 Optimal(λ,k)combination under ATS0=370,n=5,δ3=0 different values of w and t2

首先，直接比較VSI方案和FSI方案的統(tǒng)計(jì)性能，從表1中的結(jié)果可知，VSI方案在所有考慮到的偏移度組合下都優(yōu)于FSI方案，因?yàn)閂SI方案給出的平均報(bào)警時(shí)間ATS1總是比FSI方案的短.例如考慮偏移度組合δ1=0.5，δ2=1.1，δ3=0時(shí)，F(xiàn)SI方案測(cè)得的ATS1=17.58，其相應(yīng)的EWMA參數(shù)λ=0.172，控制界限系數(shù)k=3.062（見表3）；VSI 方案中w=0.1，t2=0.1 時(shí)測(cè)得的ATS1=8.876，其相應(yīng)的最優(yōu)抽樣間隔t1=1.646（見表2），EWMA 參數(shù)λ=0.280，控制界限系數(shù)k=3.395（見表3）.從表1 可以注意到，VSI 方案中，對(duì)于一個(gè)確定的抽樣間隔t2，當(dāng)警戒界限系數(shù)w減少時(shí)，其相應(yīng)的最優(yōu)ATS1值更小；對(duì)于一個(gè)確定的警戒界限系數(shù)w值，當(dāng)抽樣間隔t2減少時(shí)，其相應(yīng)的最優(yōu)ATS1值更小，即w和k都取較小值時(shí)，可以提高VSI方案的統(tǒng)計(jì)性能.從表2可以注意到，對(duì)于一個(gè)確定的抽樣間隔t2，當(dāng)警戒界限系數(shù)w減少時(shí)，其相應(yīng)的最優(yōu)采樣間隔t1增加；對(duì)于一個(gè)確定的警戒界限系數(shù)w值，當(dāng)抽樣間隔t2減少時(shí)，其相應(yīng)的最優(yōu)采樣間隔t1增加.

4 結(jié)論

給出了基于改進(jìn)平方根變換的最優(yōu)VSI EWMA MSE 控制圖的設(shè)計(jì)方案，不同于監(jiān)控屬性數(shù)據(jù)的計(jì)數(shù)值控制圖的自適應(yīng)方案.此外，還增加了平方根變換的方案，設(shè)計(jì)了屬性數(shù)據(jù)的最優(yōu)VSI EWMA MSE控制圖的優(yōu)化模型，同時(shí)偵查過程均值和目標(biāo)值的差異，以及過程均值和過程標(biāo)準(zhǔn)差的偏移.結(jié)果表明，最優(yōu)VSI EWMA MSE圖的統(tǒng)計(jì)性能優(yōu)于最優(yōu)FSI EWMA MSE圖，能夠更快地發(fā)現(xiàn)過程中的異常波動(dòng).