任意面內(nèi)荷載作用下薄圓盤的自由振動與屈曲分析

李國榮 周叮 李雪紅 霍瑞麗

摘要： 基于單集中力作用下半無限平面的應(yīng)力分布公式，利用外載荷疊加原理，得到自平衡面內(nèi)集中力系作用下薄圓盤的應(yīng)力分布公式，通過積分計算進(jìn)一步獲得自平衡面內(nèi)分布力系作用下薄圓盤的應(yīng)力分布表達(dá)式。取切比雪夫多項式與邊界函數(shù)的乘積作為容許函數(shù)，應(yīng)用里茲法分別導(dǎo)出薄圓盤在任意面內(nèi)靜力荷載作用下的橫向自由振動與屈曲的特征值方程，數(shù)值求解特征值方程得固有頻率和屈曲荷載。與取冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)乘積作為容許函數(shù)以及有限元結(jié)果對比驗證了方法的快速收斂性和高精度。

關(guān)鍵詞： 橫向振動; 屈曲; 薄圓盤; 面內(nèi)荷載; 里茲法

中圖分類號： O326; TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-1001-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.014

引 言

薄壁結(jié)構(gòu)具有重量輕、經(jīng)濟(jì)性好等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于航空、橋梁、機(jī)械等領(lǐng)域，在使用過程中人們發(fā)現(xiàn)其較易發(fā)生共振。而結(jié)構(gòu)邊界約束等亦會引起薄壁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)初應(yīng)力，導(dǎo)致其原有的動力特性發(fā)生改變，使得實際使用中出現(xiàn)的共振難以控制。

圓盤在經(jīng)典邊界條件下的振動研究已十分成熟，一些學(xué)者研究了圓盤在各種邊界條件下的振動特性。石先杰等[1]采用譜幾何法分析了彈性邊界條件下圓盤橫向自由振動特性。武蘭河等[2]采用微分容積法求解任意邊界條件下中厚圓盤的軸對稱自由振動。李秋紅等[3]采用改進(jìn)的Fourier?Bessel級數(shù)方法和Rayleigh?Ritz法對任意彈性邊界條件下圓盤的自由振動進(jìn)行分析。Shi等[4]提出了一種求解任意邊界條件下圓盤自由振動的統(tǒng)一方法，將位移解用一種簡單的三角級數(shù)展開形式表示。Zhang等[5]基于簡化板理論和改進(jìn)的二維傅里葉?里茲法，建立了圓盤在各種彈性邊界條件下振動特性的統(tǒng)一分析模型。對于面內(nèi)荷載作用下的振動特性也有學(xué)者進(jìn)行了研究，杜國君[6]分析了均布載荷作用下圓盤在非線性彎曲靜平衡構(gòu)形附近的微幅自由振動，使用修正迭代法求解，得到了固有頻率?載荷的特征關(guān)系。Maretic等[7]以貝塞爾函數(shù)形式給出了等壓作用下圓盤橫向振動的解析解。上述研究表明：初始荷載顯著影響結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能，而固有頻率是反映結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的一個重要參數(shù)。

關(guān)于薄圓盤的屈曲問題，早在19世紀(jì)末，Bryan[8]就指出：沿周邊受壓圓盤的屈曲荷載與徑向?qū)ΨQ屈曲模態(tài)相對應(yīng)。而對于復(fù)雜荷載作用下薄圓盤的屈曲問題，此時的撓度將不再是徑向?qū)ΨQ，求其解析解是十分困難的，這方面的研究文章還不多見。Aung等[9]研究了薄圓盤在中間和邊緣徑向載荷作用下的彈性屈曲問題。馬連生等[10]根據(jù)圓盤軸對稱特征值問題數(shù)學(xué)上的相似性，研究了不同理論間圓盤特征值的解析關(guān)系。邱文彪[11]利用圓盤的應(yīng)變能構(gòu)造圓盤屈曲問題的哈密頓體系，將圓盤臨界載荷和對應(yīng)屈曲模態(tài)的求解歸結(jié)為廣義辛本征值和辛本征解問題。丁華建等[12]利用有限元軟件計算了圓盤在不同計算單元模式下的屈曲問題，結(jié)果表明，常用的板和殼單元對薄板屈曲問題求解有一定的局限性。Ayoub等[13]研究了圓盤在一對徑向集中力作用下的自由振動與屈曲特性。張海軍等[14]使用Ritz法求解了薄圓盤在徑向面內(nèi)荷載下的振動和屈曲特性。

本文基于彈性力學(xué)基本公式，引入?yún)?shù)h為力的作用線到圓心的距離，推導(dǎo)出圓盤在任意自平衡面內(nèi)荷載作用下的應(yīng)力場解析解。將應(yīng)力場方程代入圓盤能量方程，得到任意面內(nèi)荷載下振動與屈曲的特征方程，采用切比雪夫多項式和邊界函數(shù)的乘積作為位移試函數(shù)，通過求解特征方程可以對任意面內(nèi)荷載作用下圓盤的振動與屈曲特性進(jìn)行分析。研究結(jié)果彌補(bǔ)了分析初應(yīng)力下圓盤動力特性及穩(wěn)定性時，面內(nèi)載荷只能為徑向加載的不足。

1 任意自平衡面內(nèi)荷載作用下薄圓盤的應(yīng)力場

1.1 自平衡集中力系作用下圓盤的應(yīng)力場

考察半無限空間中如圖1所示的薄圓盤區(qū)域，集中力P沿弦AB方向作用于A點，設(shè)其力的作用線AB至圓心O的距離為弦心距h，與r軸的夾角為。

由集中力作用下半無限平面應(yīng)力公式可知[15]，在集中力P作用下，點M處沿r2方向的應(yīng)力為

為維持與集中力P的平衡，沿圓盤邊界需存在合力指向A點的分布載荷。當(dāng)存在多個集中力時，每個集中力都會在圓盤邊界引起對應(yīng)的分布荷載。當(dāng)圓盤邊界的集中力自平衡時，則邊界載荷徑向均布，滿足

把圓盤從半空間取出，將式（2）反向施加于圓盤邊界即可滿足邊界處分布荷載為0。因此，自平衡集中荷載作用下圓盤內(nèi)任一點的應(yīng)力為式（1）與（2）的反向疊加。

過圓心O點做CD與力P作用線平行，將點M沿r2的應(yīng)力轉(zhuǎn)化為以點O為原點，r為正方向的極坐標(biāo)應(yīng)力：

1.2 自平衡分布力系作用下圓盤的應(yīng)力場

如圖2所示，假設(shè)一個面內(nèi)分布力函數(shù)表達(dá)式為，其中為分布力的最大值。那么作用于位置的力為，則對于范圍內(nèi)的作用力可以看作是集中力，其值為。將代入式（6）?（8）并在區(qū)間[，]，[，]進(jìn)行積分，可得K個分布力系作用下的圓盤面內(nèi)應(yīng)力：

1.3 任意自平衡荷載作用下圓盤的應(yīng)力場

任意面內(nèi)力系是指由分布荷載（I個）與集中力（K個）共同作用的面內(nèi)力系。根據(jù)線性疊加原理，多個力的共同作用效應(yīng)，可以分解為各個力分別作用下效應(yīng)的代數(shù)和。根據(jù)該原理，由1.1節(jié)和1.2節(jié)的解可推導(dǎo)出任意面內(nèi)力系作用下圓盤的面內(nèi)應(yīng)力為

2 振動與屈曲方程

2.1 振動方程

在彈性力學(xué)中，薄圓盤在極坐標(biāo)下經(jīng)過無量綱化的最大變形能Umax、最大外力功Wmax、和最大動能Tmax分別為：

式中 為圓盤的彎曲剛度，為振型函數(shù)，為Laplace算子，為密度，為圓盤厚度，為圓盤半徑，為泊松比，為固有振動頻率，，和為前面求得的圓盤無量綱徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力和切向應(yīng)力。

采用分離變量法構(gòu)建圓盤的振型函數(shù)，在徑向使用第一類切比雪夫多項式，表示振型[16]，在環(huán)向使用傅里葉級數(shù)表示振型

求解特征方程（20），可得圓盤在面內(nèi)荷載作用下的無量綱頻率。

2.2 屈曲方程

由板的穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)時，對應(yīng)的荷載為圓盤的最小屈曲荷載，則式（20）可退化為

3 收斂性與精確性分析

為了驗證本文方法的收斂性，分別考查如圖3?4所示周邊簡支薄圓盤在兩對平行集中力作用下的固有頻率值和一對局部分布荷載作下的屈曲值，荷載參數(shù)如表1所示。圓盤半徑R=1 m，厚度H=0.015 m，彈性模量E=210 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，泊松比μ=0.3。表2給出了簡支圓盤無量綱固有頻率的收斂性，表3給出了簡支圓盤無量綱屈曲值的收斂性。對式（20）和（21）求積分時，采用分段Gauss求積法，將圓盤域沿徑向等分為10個區(qū)間，環(huán)向等分為24個區(qū)間，每個區(qū)間采用15個Gauss點計算。可以看出，當(dāng)截斷級數(shù)取M=N=8時，可精確到三位有效數(shù)字，在后續(xù)的計算中均采用與此例相同的分段和級數(shù)項。利用ABAQUS有限元軟件進(jìn)行計算，使用三角形自由映射法將圓盤劃分為257061個單元，采用S3殼單元進(jìn)行計算。將得到的結(jié)果與本文對比，可以看出，本文結(jié)果與有限元結(jié)果十分吻合，最大誤差僅為0.94%。圖5給出了圖3加載方式所對應(yīng)的前3階振型模態(tài)。

下面分別考察簡支圓盤的無量綱頻率、周邊均布荷載作用下的無量綱屈曲荷載和一對徑向集中力作用下的無量綱屈曲荷載，將本文解與文獻(xiàn)[13?14]及有限元結(jié)果比較，如表4，5和6所示。

表4中，文獻(xiàn)[13]遺漏了二階頻率，其余數(shù)值與本文吻合良好。表5中，本文解與FEM解基本一致，但與文獻(xiàn)[14]的三、四階頻率差異很大。表6中，本文解與FEM 吻合較好，高階頻率精度優(yōu)于文獻(xiàn)[14]。

在表3中本文給出了一對極小范圍內(nèi)分布荷載作用下的簡支圓盤屈曲值，如將其近似為集中荷載，則對應(yīng)的屈曲荷載為pcr1=3267.613×0.004=13.046，與集中荷載作用下的屈曲值13.161比較，誤差僅為0.87%，也間接證明了本文方法的精確性。

4 參數(shù)分析

4.1 集中荷載位置對圓盤屈曲載荷的影響

考慮如圖3所示受兩對平行荷載作用簡支圓盤的無量綱屈曲荷載，分析載荷位置的影響，集中力位置變化范圍h=[0， R/2]。圖6給出了前6階求解結(jié)果，可以看出，在h由0增大到R/2的過程中，h=R/6之前，圓盤的屈曲荷載變化均較為平緩，而在h=R/6之后則呈增大趨勢，尤其是高階屈曲值增幅明顯。圓盤的一階屈曲荷載在h=R/6附近達(dá)到最低點，說明于此處加載集中力，圓盤最易發(fā)生屈曲。此外，在h=0時所得到的前6階屈曲荷載，為表6中一對徑向集中荷載作用下簡支圓盤屈曲載荷的一半，再次證明了本文方法的正確性。

4.2 集中荷載大小和位置對圓盤固有頻率的影響

考察如圖3所示受兩對平行集中力作用的簡支圓盤，集中力變化范圍為[-Pcr1，Pcr1]，負(fù)值代表圓盤承受拉力，加載位置h=0.5R。圖7給出了前6階無量綱頻率。

分析兩對平行荷載作用位置對簡支圓盤固有頻率的影響，集中力值為260000 N，作用位置的范圍h=[0， 0.8R]。圖8給出了前6階無量綱固有頻率。

圖7和8顯示，集中力位置變化對圓盤固有頻率的影響不明顯，但集中力大小對圓盤固有頻率的影響較為顯著，壓縮集中力增大使得圓盤的固有頻率降低，而拉伸集中力增大導(dǎo)致固有頻率升高。

4.3 分布荷載大小對圓盤固有頻率的影響

考慮圖4所示分布荷載大小對圓盤無量綱固有頻率的影響，分布荷載大小變化范圍為[0， pcr1]，h為[-0.002R， 0.002R]，圖9給出了圓盤的前6階無量綱頻率隨分布荷載大小的變化，可看出，隨外荷載增大圓盤的各階固有綱頻率都減小，且當(dāng)分布荷載增大到一階屈曲荷載時，圓盤的一階固有頻率降為0。

4.4 分布荷載范圍對圓盤屈曲載荷的影響

研究如圖10所示受自平衡集中力P1與分布荷載p2共同作用下簡支圓盤的屈曲載荷，P1為徑向集中力，p2為關(guān)于r軸對稱的均布荷載，方向沿r軸。h的變化范圍為[0.002R， 0.5R]，結(jié)果如圖11所示?？梢钥闯?，無量綱屈曲荷載隨分布荷載范圍的擴(kuò)大而增大，階數(shù)越高增幅越大。

5 結(jié) 論

本文研究了任意自平衡面內(nèi)荷載作用下薄圓盤的振動與屈曲特性。首先推導(dǎo)了圓盤在面內(nèi)荷載作用下應(yīng)力場的解析解，然后使用Ritz法建立能量方程，選取切比雪夫多項式做容許函數(shù)，求解了圓盤在任意面內(nèi)力作用下的無量綱固有頻率和屈曲載荷。討論了兩對平行集中力作用下，荷載大小和加載位置對圓盤固有頻率及屈曲載荷的影響和分布荷載作用下，荷載大小對圓盤頻率的影響，以及分布荷載與集中力共同作用下分布荷載范圍對圓盤屈曲載荷的影響，主要結(jié)論如下：

（1）獲得了任意自平衡載荷作用下圓板面內(nèi)應(yīng)力分布的解析解，擴(kuò)大了解析法的求解范圍。

（2）使用切比雪夫多項式和邊界函數(shù)的積作為容許函數(shù)求解圓盤的振動與屈曲特性優(yōu)勢明顯。與文獻(xiàn)[13?14]及有限元對比證明了方法的高精度。與有限元需劃分網(wǎng)格相比計算量小，且參數(shù)化分析比有限元簡單得多。

（3）簡支圓盤在承受兩對平行集中力時，集中力作用位置在R/6附近最易發(fā)生屈曲，而集中力位置對頻率的影響較小。簡支圓盤在承受一個集中力與一個分布荷載時，荷載分布范圍對圓盤高階屈曲載荷值的影響大于低階。

（4）本文提供的方法能計算任意面內(nèi)自平衡荷載作用下圓盤的固有頻率與屈曲載荷。消除了分析圓盤自由振動與屈曲時面內(nèi)荷載必須過圓心的限制，完善了圓盤在各種面內(nèi)荷載作用下的自由振動與屈曲特性研究。

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作者簡介： 李國榮（1992-）， 男， 碩士研究生。電話： 18351888151; E-mail： 18351888151@163.com

通訊作者： 霍瑞麗（1980-）， 女， 副教授， 碩士生導(dǎo)師。電話： （025）58139521; E-mail： ruilihuo@njtech.edu.cn