矩形導電板內(nèi)磁場強度研究

劉會峰

(太原學院 數(shù)學系,山西 太原 030032)

0 引言

在生產(chǎn)生活中,如何合理地控制或利用渦流效應一直是學者們研究的一個課題。在傳感器、能量收集裝置等設備中,對棒狀結構材料內(nèi)部磁場的研究較多[1-3],在磁探測研究中經(jīng)常把研究對象等效為橢圓體、球體、圓柱體等[4-5],而對矩形導體內(nèi)磁場與渦流進行系統(tǒng)的研究較少。文獻[6]描述了矩形截面上渦流的分布,但未體現(xiàn)集膚效應,也未研究影響因素。雖然在某些渦流集膚現(xiàn)象中可使用一維分析的方法[7],但有一些問題需要至少看作二維問題來解決。所謂二維問題[8],就是指磁場強度與電流密度的非零分量與描述系統(tǒng)的坐標系的3個坐標之一無關的一類問題。

以直角坐標系為例,有以下兩種情況:

1)電流僅沿某個方向流動,這里不妨假設沿z軸方向流動,則此方向的電流Jz及另兩個方向的磁場Hx,Hy為x和y的函數(shù);

2)磁場僅有某個方向的分量,這里不妨設僅有z方向的分量,則此方向的磁場Hz與另兩個方向的電流Jx,Jy為x和y的函數(shù)。

本文研究第二種情況,以放置在垂直于外激勵磁場中的、電導率為常數(shù)的矩形材料板為研究對象,對板內(nèi)磁場建立數(shù)學模型并進行求解,然后直觀地模擬截面上板內(nèi)磁場的分布形式,并給出分布規(guī)律,最后對板內(nèi)磁場強度產(chǎn)生影響的一些因素進行討論。

圖1 置于外激勵磁場中的矩形導電板Fig.1 The rectangular conductive plate placed in the external magnetic field

1 電導率為常數(shù)的矩形材料板內(nèi)部磁場模型的建立

外磁場H0=(0,0,H0z)=(0,0,Hseiωt)作用于矩形板,矩形板長度、寬度及厚度的一半分別用a,b,c表示。圖1為置于外激勵磁場中的矩形導電板。

不考慮位移電流時,板內(nèi)磁場可由Maxwell方程及其輔助方程描述:

J=σE

(4)

B=μ0μrH

(5)

式中:H為磁場強度;J為電流密度;E為電場強度;B為磁通密度;μ0為真空磁導率;μr為材料的相對磁導率;σ為電導率。

事實上,板內(nèi)磁場僅有z分量Hz,且Hz,Jx,Jy均為x和y的函數(shù)[9]。在電導率為常數(shù)的非磁性材料中,或材料內(nèi)部電磁場看作似穩(wěn)電磁場的情況下,在電導率和磁導率為常數(shù)的磁性材料中,外激勵磁場以正弦變化時,即H0=Hs(cosωt+isinωt)時,

(6)

2 板內(nèi)磁場模型的求解

方程(6)的求解[10]需結合以下邊界條件

(7)

還需要引入新函數(shù)G(x,y),滿足:

G(x,y)=H(x,y)-Hs

(8a)

(8b)

G(2a,y)=G(0,y)=0

(8c)

G(x,2b)=G(x,0)=0

(8d)

于是,非齊次邊值問題(6),(7)轉(zhuǎn)化為了齊次邊值問題(8).對(8b)兩邊同時進行二重Fourier正弦變換,令

得

(9)

解之,

(10)

利用Fourier變換的逆變換,得

(11)

于是,

(12)

3 材料內(nèi)部磁場分布的數(shù)值模擬

事實上,在準靜態(tài)下,磁性材料與非磁性材料物理性能(與磁場有關)的取值并不影響板內(nèi)磁場整體的分布狀態(tài)。所以本研究以非磁性材料銅為例來分析板內(nèi)磁場的分布。為了更好地體現(xiàn)不同尺寸下板內(nèi)磁場分布的不同,本研究選取的大尺寸板的長和寬為小尺寸板的長和寬的10倍左右。

3.1 小板

圖2給出了相關參數(shù)取值分別為2a=0.005 m,2b=0.01 m,f=500 Hz,μr=0.999 994,Hs=400 A/m,μ0=4π×10-7H/m,σ=5.714 3×107S/m時板內(nèi)部磁場的分布。從圖2(a)、圖2(b)可以直觀地看出,小尺寸銅板內(nèi)磁場關于平行于z軸的平面x=a與y=b對稱,總體呈現(xiàn)邊緣最大而越往板的中心區(qū)域越小的趨勢。而從兩個不同方向的截面y=b與x=a上可以看出,H(x,b)的最小值對稱地有兩個,而H(a,y)的最小值唯一地取自(a,b)(最小值由圖中小方框標出)。

圖2 2a=0.005 m,2b=0.01 m時銅板內(nèi)磁場的分布: (a)3D圖;(b)俯視圖;(c)H(x, b);(d)H(a, y)Fig.2 Distribution of magnetic field inside the copper plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m:(a)3D view;(b)Vertical view;(c)H(x, b);(d)H(a, y)

3.2 大板

若圖2板的長與寬都分別擴大8倍為2a=0.04 m,2b=0.08 m, 則板內(nèi)磁場強度的分布如圖3所示。此時,磁場H(x,y)的對稱性及總體變化趨勢與圖2相同。但從圖3(c)和圖3(d)可以看出H(x,b)與H(a,y)的最小值均不再唯一,兩條磁場曲線都出現(xiàn)了頻繁的波動,這種波動使得從H(x,y)的3D分布圖上來看,其底部出現(xiàn)了眾多的“凹槽”,由于H(a,y)的波動較多且振幅明顯,所以從俯視圖看,凹槽平行于x軸。

圖3 2a=0.04 m,2b=0.08 m時銅板內(nèi)磁場的分布:(a)3D圖;(b)俯視圖;(c)H(x,b);(d)H(a,y)Fig.3 Distribution of magnetic field inside the copper plate with 2a=0.04 m,2b=0.08 m:(a)3D view;(b)Vertical view;(c)H(x, b);(d)H(a,y)

圖3 (續(xù))Fig.3 (Continue)

4 材料內(nèi)部磁場的影響因素

非磁性材料與磁性材料內(nèi)部磁場的分布形式類似,所以本文研究影響材料內(nèi)部磁場分布的因素時,主要以非磁性材料為例進行研究。因為磁性材料為非線性的,即其磁導率與外磁場的頻率等有關,所以特別考慮了磁性材料的動態(tài)相對磁導率與材料內(nèi)部磁場的關系。

這里,對不同尺寸的板在其兩個互相垂直的截面x=a與y=b上的磁場曲線來探究一些因素對板內(nèi)磁場分布的影響。

4.1 板的尺寸對材料內(nèi)部磁場分布的影響

當板為小尺寸矩形板時,如2a=0.005 m,2b=0.01 m時,H(a,y)無波動,H(x,b)有輕微的波動(如前面圖2所示);而當板的長與寬同時增大相同的倍數(shù)時,圖4顯示H(a,y)的波動開始顯現(xiàn),且波動的頻率迅速增加,而H(x,b)的波動始終是平緩且不頻繁的。

所以,對于矩形板來說,平行于短邊的截面上的磁場波動是不明顯的,而平行于長邊的截面上的磁場波動明顯且頻繁。

另外,由圖4還可以看出,磁場強度的最小值隨板的增大而減小,也就是說,隨著板的增大,磁場的集膚效應越來越顯著。

圖4 不同尺寸矩形板內(nèi)的磁場在兩個平面的分布:(a)H(x, b);(b)H(a, y)Fig.4 Distributions of magnetic field inside rectangular plates with different dimensions:(a)H(x, b);(b)H(a, y)

4.2 外激勵頻率對材料內(nèi)部磁場分布的影響

為了方便,縱坐標使用|H/Hs|代替|H|來刻畫磁場的變化規(guī)律,顯然,這樣做對磁場的描述是沒有影響的。

圖5給出了2a=0.005 m,2b=0.01 m時,外激勵頻率f分別取200 Hz,500 Hz, 1 000 Hz及1 500 Hz時矩形板內(nèi)磁場強度的分布情況。由圖可知,外激勵磁場頻率越大,板內(nèi)磁場強度越小,磁場作用深入到板內(nèi)的深度就越小,集膚效應就越顯著。

圖5 2a=0.005 m,2b=0.01 m時, 不同頻率下板內(nèi)磁場分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.5 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m at different frequency:(a)H(a, y);(b)H(x, b)

當2a=0.05 m,2b=0.10 m時,下面對激勵磁場的頻率分范圍分別討論其對板內(nèi)磁場分布的影響。當激勵磁場的頻率較小時,這里f分別取50 Hz,100 Hz,150 Hz及200 Hz,板內(nèi)兩個截面中的磁場強度分布如圖6所示。

顯然,此時磁場強度的變化規(guī)律與小尺寸板中類似,隨激勵磁場頻率的增大,板內(nèi)磁場強度減小。圖6(a)與圖6(b)顯示,當頻率取某個值時,板內(nèi)可能存在磁場強度為零的區(qū)域。為便于觀察,圖6(c)和圖6(d)分別給出了板中心區(qū)域的局部放大,可以看出,f=200 Hz時,板中心的磁場強度已經(jīng)非常接近于零。

圖6 2a=0.05 m,2b=0.1 m時, 幾個較低頻率下板內(nèi)磁場的分布:(a)H(a,y);(b)magnetic field;(c)板中心附近的H(a,y);(d)板中心附近的H(x,b)Fig.6 Distribution of H(x,y) inside a plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at lower frequency:(a)H(a, y);(b)H(x, b);(c)H(a, y) near plate;(d)H(x, b) near plate center

圖7給出了激勵磁場的頻率f比較大時,即f分別取400 Hz,700 Hz,1 000 Hz及1 500 Hz時,板內(nèi)磁場強度的分布。

圖7 2a=0.05 m,2b=0.1 m時, 幾個較高頻率下矩形板內(nèi)磁場分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.7 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at higher frequency:(a)H(a,y);(b)H(x,b)

由于板內(nèi)磁場強度分布的對稱性,我們只取了板的一半來考慮,另一半與此相同。此時磁場的分布顯然要比圖7所示的磁場分布復雜得多。

當2a=0.05 m,2b=0.1 m時,由于兩個截面內(nèi)的磁場均出現(xiàn)了波動,且波動的頻率與振幅各不相同,所以此時由圖7(a),7(b)可以分別看出,板內(nèi)磁場隨外激勵頻率的變化分以下三部分:矩形板的邊緣處(板同一位置的磁場強度隨外激勵頻率f的增大而減小);板的中心處(板同一位置處,磁場強度隨外激勵頻率的增大而增大)及其它部分(圖中所框區(qū)域,無規(guī)律可循)。

4.3 材料的電導率對內(nèi)部磁場分布的影響

圖8與圖9分別給出了2a=0.005 m,2b=0.01 m和2a=0.05 m,2b=0.1 m時,不同電導率下矩形材料板內(nèi)的磁場分布。

圖8 2a=0.005 m,2b=0.01 m時,不同電導率下板內(nèi)磁場分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.8 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m at different conductivity:(a)H(a,y);(b)H(x,b)

圖9 2a=0.05 m,2b=0.1 m時,不同電導率下超磁致伸縮矩形板內(nèi)磁場H(x,y)的分布:(a)H(a,y)的局部放大;(b)H(x,b)的局部放大Fig.9 Distribution of H(x, y) inside a plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at different conductivity:(a)Partial magnification of H(a,y);(b)Partial magnification of H(x,b)

由圖8可知,2a=0.005 m,2b=0.01 m時,隨著材料電導率的增大,板內(nèi)磁場強度減小。

2a=0.05 m,2b=0.1 m時,由于磁場分布的對稱性,我們依然取磁場強度變化曲線的一半來進行分析。從圖9磁場的分布來看,對于磁場H(a,y)與H(x,b)均需把板分為三個區(qū)域來考慮。特別地,都存在無規(guī)則變化區(qū)域,如圖放大部分所示(圖9(a)主要存在于磁場曲線的波谷位置附近)。

綜上所述,對于整個板內(nèi)磁場強度來說,在板的邊緣部分隨 電導率的增大而減小;在板的中心區(qū)域隨電導率的增大而增大;介于兩者之間的部分隨電導率不規(guī)律變化。

4.4 材料的磁導率對內(nèi)部磁場分布的影響

對于非磁性材料來說,材料的相對磁導率為一個非常接近于1的常數(shù),所以這里不再考慮材料的磁導率對非磁性材料內(nèi)部磁場的影響。而對于磁性材料來說,其屬于非線性媒質(zhì)材料,即它的磁導率不是常數(shù),磁導率會隨激勵磁場等外界因素的變化而變化,所以,下面將研究磁性材料在不同的外磁場頻率下所具有的不同磁導率對材料內(nèi)部磁場的影響。

磁性材料鐵鎵合金在低頻或準靜態(tài)下,相對磁導率與頻率的關系如圖10[11]所示。外激勵磁場的頻率分別取2 000Hz,500Hz,200Hz,50Hz時,相對磁導率μr對應地取值為40,85,120,160.

圖10 室溫下Fe81Ga19相對磁導率與頻率的關系Fig.10 Relative magnetic permeability vs frequency of Fe81Ga19 alloy at room temperature

取矩形板的尺寸為2a=0.005 m, 2b=0.01 m時,圖11給出了相對磁導率取以上4個值時,板內(nèi)磁場強度的變化。由圖可以看出,隨著μr的增大,板內(nèi)磁場強度增大,集膚效應減小。

圖11 2a=0.005 m,2b=0.01 m時, 不同相對磁導率下板內(nèi)磁場分布:(a)H(a,y);(b)H(x,b)Fig.11 Distribution of magnetic field inside a plate with 2a=0.005 m,2b=0.01 m at different permeability:(a)H(a,y);(b)H(x,b)

當矩形板的尺寸增大為2a=0.05 m,2b=0.1 m時,圖12給出了H(x,y)在兩個截面x=a與y=b上的分布曲線,這里我們只截取了能反映分布規(guī)律的一部分,并且把其中一些特殊的分布區(qū)域放大顯示。

圖12 2a=0.05 m,2b=0.1 m時, 不同相對磁導率下矩形磁性材料板內(nèi)磁場分布:(a)H(a,y);(b)H(a,y)的局部放大;(c)H(x,b)Fig.12 Distribution of magnetic field inside a magnetic plate with 2a=0.05 m,2b=0.1 m at different permeability:(a)H(a,y);(b)Partial magnification of H(a,y);(c)H(x,b)

對于H(a,y):

1)由圖12(a)可以看出,板的邊緣部分(大致范圍:0

2)圖12(b)中所示,即0.012

3)在相對磁導率不取160時,除去上面所述兩部分,隨磁導率增大,板內(nèi)磁場強度減小。

對于磁場H(x,b),如圖12(c)所示,在板的邊緣部分(大致范圍:0

對稱地,板的另一半磁場的變化情形同上。

由以上的分析可得,對于大尺寸的磁性材料板,由于其相對磁導率與激勵磁場的頻率是相關的,所以板內(nèi)部磁場強度的變化事實上比圖12所反應出來的更復雜。我們只能肯定的是板邊緣部分的變化與小尺寸板內(nèi)的變化規(guī)律相同,其它區(qū)域內(nèi)只能根據(jù)激勵磁場的頻率與相對磁導率的不同取值具體對待。

5 結語

本文對基于Maxwell方程組建立的電導率各向同性矩形材料板內(nèi)部磁場強度模型,應用二重Fourier正弦變換得到了用二重級數(shù)表示的板內(nèi)磁場強度的表達式。

通過對板內(nèi)磁場強度分布規(guī)律的研究,我們得到:板的尺寸不同,板內(nèi)磁場的分布形式也不同,這種不同主要體現(xiàn)在板的中心位置附近,當板較大時,板的中間部分磁場強度會有所波動。在研究外激勵頻率及材料的電導率和磁導率對材料內(nèi)部磁場的影響時,小板內(nèi)磁場的變化是規(guī)律的,而大板內(nèi)磁場的變化比較復雜,有部分區(qū)域是無規(guī)律可循的。這些結論為器件的設計提供了理論支持。