高精度程控電阻網(wǎng)絡(luò)生成算法設(shè)計(jì)*

朱利文，于 雷，金傳喜，陳盼輝，賈正榮，劉明輝

(1. 海軍工程大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 湖北 武漢 430033； 2. 海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430033)

在自動(dòng)測試系統(tǒng)中，程控電阻的應(yīng)用越來越廣泛。程控電阻為自動(dòng)測試系統(tǒng)提供所需的電阻值，可應(yīng)用于熱電阻溫度傳感器(Resistance Temperature Detector, RTD)、電阻應(yīng)變式壓力傳感器、高度傳感器以及電位器式位移傳感器等電阻類傳感器的校準(zhǔn)與測試[1]。

自20世紀(jì)80年代開始，國內(nèi)外均開展了程控電阻的研究工作，但進(jìn)展均不理想[2]。21世紀(jì)初以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、先進(jìn)電子技術(shù)及元器件工藝的發(fā)展，逐漸發(fā)展出了多種程控電阻信號(hào)源。其中，成熟應(yīng)用的主要有兩類：電子合成電阻和程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)[3]。

電子合成電阻目前研究較多，它通過編程控制輸入電壓和輸入電流的比值，從而實(shí)現(xiàn)可變阻值的輸出[3-4]。常用的設(shè)計(jì)方法是基于場效應(yīng)管實(shí)現(xiàn)可變阻值輸出，包括控制場效應(yīng)管導(dǎo)通程度[5]、利用疊加場效應(yīng)管結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)變阻[6]、浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)電壓控制線性可變電阻[7]、接地電壓控制的正電阻器[8]、接地和浮動(dòng)電流控制可調(diào)電阻[9]。行鴻彥等[10]通過控制柵源電壓實(shí)現(xiàn)的可變電阻，其阻值范圍為75.703～141.004 Ω，分辨率為0.025 Ω。美國福祿克公司推出能夠用于Pt100測溫儀表校準(zhǔn)的多參數(shù)校驗(yàn)儀525B，在5～400 Ω的范圍內(nèi)，能夠?qū)崿F(xiàn)1 mΩ的步進(jìn)輸出[11]。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的王冰和喻佳健[3，12]相繼提出了電流型和電壓型兩種電路方案，最終實(shí)現(xiàn)了高精度模擬基準(zhǔn)電阻源。然而，上述電子合成電阻由于使用有源二端口網(wǎng)絡(luò)，只能模擬電阻的性能而不能等效于實(shí)體電阻，因而可能出現(xiàn)與二次儀表激勵(lì)電路不匹配的問題，在應(yīng)用中受到一定的限制[3]。

程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)使用已經(jīng)連接好的精密電阻鏈，通過繼電器選擇性地將相鄰的多個(gè)電阻進(jìn)行組合輸出[4]。繼電器切換實(shí)體電阻網(wǎng)絡(luò)的方式，可解決有源二端口不匹配等問題，其應(yīng)用范圍比電子合成電阻更廣。2012年，美國國家儀器推出了一種具有代表性的16位電阻板卡PXI-2722，實(shí)現(xiàn)了0.25～16 320 Ω的輸出電阻范圍，步進(jìn)為0.25 Ω，精度等級(jí)為0.5%[13]。2016年，英國品英公司推出了一種基于PXI和PCI接口的RTD仿真器，阻值范圍為90～250 Ω，分辨率為0.008 Ω，精度等級(jí)為0.1%[14]。雖然精度等級(jí)實(shí)現(xiàn)了一定程度的提升，但量程范圍內(nèi)阻值偏差仍達(dá)到0.25 Ω。因此，現(xiàn)有程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)在實(shí)現(xiàn)毫歐級(jí)精度時(shí)存在明顯不足。

在高精度輸出場合，由于繼電器導(dǎo)通阻值、基準(zhǔn)電阻初始精度等影響，傳統(tǒng)程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)較為復(fù)雜[15]。

本文針對(duì)高精度程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)困難的問題，提出一種高精度程控電阻網(wǎng)絡(luò)生成算法，該算法根據(jù)阻值范圍和精度需求，自動(dòng)生成繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)。首先為程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)建立模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，將新型程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)為主電阻、補(bǔ)償電阻以及偏移電阻三個(gè)部分，提出阻值分解算法和子模塊阻值逼近算法對(duì)主電阻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行設(shè)計(jì)，提出精度計(jì)算算法對(duì)電阻網(wǎng)絡(luò)精度進(jìn)行理論計(jì)算；然后分別對(duì)主網(wǎng)絡(luò)和補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，最后以一組需求為例，對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 問題建模

電阻源設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)優(yōu)化問題，問題表述為在可用電阻集合Ω={Ra,i}中選擇任意數(shù)量的電阻，構(gòu)成一個(gè)電阻源，該電阻源能夠在[Rmin,Rmax)內(nèi)連續(xù)取值，在滿足約束條件的前提下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。因此，電阻源網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)可以用數(shù)學(xué)語言描述為：

目標(biāo)函數(shù)：選用的電阻總數(shù)最少。

約束條件：對(duì)于任意設(shè)置的阻值Rset∈[Rmin,Rmax)，其與電阻源輸出的實(shí)際阻值Rprac之間的差值滿足精度要求ΔR，即

|Rset-Rprac|<ΔR

定義1電阻網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為多個(gè)基準(zhǔn)子模塊串聯(lián)，每個(gè)子模塊物理模型如圖1所示，設(shè)開關(guān)變量為bi，bi取1為閉合，bi取0為斷開，則電阻網(wǎng)絡(luò)的總電阻可以表示為

(1)

其中，nR為子模塊數(shù)量，Ri,1為開關(guān)閉合時(shí)每個(gè)基準(zhǔn)子模塊的電阻，Ri,0為開關(guān)斷開時(shí)每個(gè)子模塊的電阻。

圖1 電阻網(wǎng)絡(luò)子模塊物理模型Fig.1 Physical model of resistance network sub-module

首先給出定理1，說明理想情況下構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)所需的電阻子模塊數(shù)量。

(2)

式中，「·?為向上取整。

B=b1…bi…bnR

(3)

定理2在理想情況下，構(gòu)建取值范圍[Rmin,Rmax)的電阻網(wǎng)絡(luò)，精度為ΔR，至少需要nR,min+1個(gè)電阻，其中

(4)

證明：根據(jù)定理1，定理2顯然成立。

□

定理1與定理2給出了理論上構(gòu)成電阻網(wǎng)絡(luò)所需的最小電阻數(shù)量，然而，實(shí)際中的可選用電阻阻值并不總是2i-1ΔR，因此需要在可用的電阻中選擇合適的電阻逼近阻值2i-1ΔR。

定理3從可用電阻集合Ω={Ra,i}中任選電阻逼近阻值Rt，最大誤差ΔRt的取值范圍為ΔRt

證明:采用反證法證明。假設(shè)最大誤差ΔRt≥min{Ra,i}，則可以在Ω中選取nt個(gè)阻值為min{Ra,i}的電阻，從而有

其中

(5)

□

定理4在理想情況下，從可用電阻集合Ω={Ra,i}中任選電阻，依次逼近阻值Ri,0=2i-1ΔR，構(gòu)成電阻網(wǎng)絡(luò)[Rmin,Rmax)，最大誤差ΔRmax

證明：根據(jù)定理2，構(gòu)成電阻網(wǎng)絡(luò)需要至少nR,min個(gè)電阻子模塊，從Ω={Ra,i}中任選電阻逼近每個(gè)子模塊的阻值Ri,0=2i-1ΔR，子模塊逼近誤差ΔRi小于min{Ra,i}，因而有

2 電阻網(wǎng)絡(luò)生成算法設(shè)計(jì)

根據(jù)上述問題建模，為實(shí)現(xiàn)阻值范圍為[Rmin,Rmax)的電阻源，本文提出一種電阻網(wǎng)絡(luò)生成算法。由該算法生成的電阻網(wǎng)絡(luò)包括主電阻網(wǎng)絡(luò)(Main Resistance Network, MRN)、補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)(Compensation Resistance Network, CRN)以及偏移電阻網(wǎng)絡(luò)(Offset Resistance Network, ORN)。

電阻源的設(shè)計(jì)思路為首先設(shè)計(jì)阻值[0,Rmax-Rmin)的主電阻網(wǎng)絡(luò)，之后在考慮開關(guān)閉合阻值的條件下求解主電阻網(wǎng)絡(luò)在[0,Rmax-Rmin)上的最大逼近誤差，而后使用補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)修正這一誤差，最后根據(jù)Rmin以及主電阻網(wǎng)絡(luò)、補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)偏移設(shè)計(jì)偏移電阻。

2.1 主電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

主電阻網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)主要與目標(biāo)電阻源的量程、精度以及可選基準(zhǔn)電阻有關(guān)，主電阻網(wǎng)絡(luò)的主要作用是解決量程范圍的跨度[0,Rmax-Rmin)。在進(jìn)行主電阻網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)要關(guān)注的是在滿足量程范圍前提下，實(shí)現(xiàn)電阻數(shù)量最少。具體的設(shè)計(jì)包括阻值分解、子模塊阻值逼近以及主電阻網(wǎng)絡(luò)生成與優(yōu)化。

首先是阻值分解，其目的在于將主電阻網(wǎng)絡(luò)的阻值[0,Rmax-Rmin)分解為nR,min個(gè)子模塊阻值Rt,i，如算法1所示，其中Rmain為主電阻網(wǎng)絡(luò)阻值。阻值分解算法為主電阻網(wǎng)絡(luò)中的子模塊阻值的選取提供依據(jù)。

算法1 阻值分解

然后是子模塊阻值逼近，用于從可選電阻集合Ω={Ra,i}中選擇盡量少的基準(zhǔn)電阻以逼近每個(gè)子模塊的阻值Rt，具體如算法2所示。

算法2 子模塊阻值逼近

在算法2中，由于可能選用相同的電阻逼近Rt，即集合Ψ中可能存在重復(fù)元素，因而集合Ψ并不嚴(yán)格滿足集合中元素的唯一性。

對(duì)于第i個(gè)子模塊阻值Rt,i，即逼近電阻集合為Ψi，通過Ψi構(gòu)成的實(shí)際子模塊阻值記為Rrt,i。

最后是主電阻網(wǎng)絡(luò)生成與優(yōu)化。算法1輸入的是主電阻網(wǎng)絡(luò)阻值Rmain，滿足Rmain>Rmax-Rmin，以使主電阻網(wǎng)絡(luò)阻值覆蓋[0,Rmax-Rmin)。在[Rmax-Rmin,+∞)范圍內(nèi)取Rmain作為算法1的輸入，之后再通過算法2得到主電阻網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，主電阻網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的電阻數(shù)量與Rmain的取值相關(guān)，因此需要以Rmain作為變量對(duì)主電阻網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的電阻數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化。算法3可生成主電阻網(wǎng)絡(luò)，并可對(duì)電阻數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化。

算法3 主電阻網(wǎng)絡(luò)生成與優(yōu)化

2.2 補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

考慮主電阻網(wǎng)絡(luò)存在逼近誤差nR,minmin{Ra,i}，同時(shí)考慮非理想情況下，開關(guān)閉合時(shí)的電阻值Ri,1>0，因此實(shí)際的主電阻網(wǎng)絡(luò)逼近誤差極有可能大于理論值nR,minmin{Ra,i}，故還需要一個(gè)補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)用于修正主電阻網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差。

每個(gè)開關(guān)閉合后考慮繼電器電阻的實(shí)際阻值Ri,1，即對(duì)于每個(gè)i，有

(6)

其中，Rrelay為繼電器阻值。因此主電阻網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)偏移為

(7)

之后，需要先計(jì)算主電阻網(wǎng)絡(luò)在[0,Rmax-Rmin)上的取值精度，再根據(jù)最大誤差設(shè)計(jì)補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)。

補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)主要關(guān)注目標(biāo)電阻源的精度，因此首先需要得到電阻網(wǎng)絡(luò)的精度，其計(jì)算方法如算法4所示。

在算法4中，Solve_B()是根據(jù)電阻網(wǎng)絡(luò)模型求解開關(guān)陣列的算法，本文采用逐次逼近的算法[15]。該算法將目標(biāo)阻值與開關(guān)對(duì)應(yīng)的權(quán)值逐一比較。如果目標(biāo)阻值大于權(quán)值，則該開關(guān)為斷開，目標(biāo)阻值減去權(quán)值；否則，開關(guān)為閉合。按照此方法，直到所有權(quán)值參與比較。Solve_R()是根據(jù)電阻網(wǎng)絡(luò)開關(guān)陣列計(jì)算實(shí)際電阻值的函數(shù)，即定義1。

算法4 電阻網(wǎng)絡(luò)精度計(jì)算

特別地，Solve_B()求解的開關(guān)陣列對(duì)應(yīng)實(shí)際電阻值總是小于給定電阻值，其目的在于為后續(xù)增加的補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)提供條件。

將算法4中得到的量程范圍內(nèi)最大差值Error記為δRmain，下一步為根據(jù)δRmain進(jìn)行補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)。與主電阻網(wǎng)絡(luò)不同，補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)應(yīng)當(dāng)更加注重精度而非減少電阻數(shù)量。對(duì)此，采用算法5進(jìn)行補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化求解。

算法5 補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)生成與優(yōu)化

2.3 偏移電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

偏移電阻網(wǎng)絡(luò)的主要作用包括兩個(gè)：一個(gè)是為量程范圍做整體平移，使主電阻網(wǎng)絡(luò)需要解決的量程為[0,Rmax-Rmin)，而非設(shè)計(jì)目標(biāo)量程[Rmin,Rmax)，這有利于主電阻網(wǎng)絡(luò)基準(zhǔn)電阻的靈活選擇；另一個(gè)是，由于Ri,1>0，主電阻網(wǎng)絡(luò)與補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)在開關(guān)均閉合時(shí)存在零點(diǎn)偏移，偏移電阻網(wǎng)絡(luò)還應(yīng)考慮這一阻值，即考慮主電阻網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)偏移Rmain,0和補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)偏移Rcomp,0等誤差對(duì)最終輸出的影響。

因此，偏移電阻網(wǎng)絡(luò)阻值Roffset為

Roffset=Rmin-Rmain,0-Rcomp,0

(8)

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 算法仿真與分析

以輸出90～250 Ω阻值范圍為例，對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。目標(biāo)精度設(shè)置為5 mΩ，選擇接觸電阻小的繼電器，其典型值為1.2 mΩ。

算法3僅給出了優(yōu)化思路，具體的求解方法可以采取遍歷、線性搜索、進(jìn)化算法等?？紤]本實(shí)例規(guī)模較小，可采用遍歷的方法。遍歷范圍為[Rmax-Rmin,5(Rmax-Rmin))，即[160 000,800 000)。使用MATLAB進(jìn)行仿真，遍歷過程如圖2所示。

圖2 主電阻網(wǎng)絡(luò)遍歷過程Fig.2 Traversal process of MRN

圖2中Rinput為輸入算法3的阻值，NRs為對(duì)應(yīng)該阻值通過算法1與算法2得到的電阻數(shù)量。以圖2中NRs最小的點(diǎn)為最佳值，最終得到主電阻網(wǎng)絡(luò)電阻數(shù)量為21，主電阻網(wǎng)絡(luò)阻值分布如表1所示。

表1 主電阻網(wǎng)絡(luò)阻值分布

與算法3類似，算法5僅為求解思路，具體優(yōu)化方法同樣采用遍歷算法。與主電阻網(wǎng)絡(luò)不同，補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)更加注重輸出精度。

補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)遍歷過程如圖3所示，圖中Rinput為輸入算法5的最大誤差，RmaxError為對(duì)應(yīng)該輸入的補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)最大阻值誤差。Rinput的遍歷范圍為[δRmain,5δRmain)，即[14,70)。以圖3中RmaxError最小的點(diǎn)為最佳值，可得到對(duì)應(yīng)的補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)阻值分布如表2所示。

圖3 補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)遍歷過程Fig.3 Traversal process of CRN

表2 補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)阻值分布

仿真得到Rmain,0值為18.5 mΩ，Rcomp,0值為2.95 mΩ，再由式(8)可得Roffset為89 978.55 mΩ。最終，該程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)仿真輸出精度為4.431 3 mΩ，滿足目標(biāo)精度要求。

該算法解算時(shí)間僅為18.128 s。相比于人工設(shè)計(jì)的方式，本文提出的方法大大提高了設(shè)計(jì)效率。

3.2 目標(biāo)精度與基準(zhǔn)電阻數(shù)量分析

前文采用的優(yōu)化準(zhǔn)則是主網(wǎng)絡(luò)電阻數(shù)量最少的原則，本小節(jié)綜合考慮目標(biāo)精度與基準(zhǔn)電阻，對(duì)整體最優(yōu)方案深入探討。

以輸出90～250 Ω阻值范圍為例，選擇接觸電阻典型值為1.2 mΩ的繼電器，分別設(shè)定目標(biāo)精度為[2,10]毫歐級(jí)，利用本文算法進(jìn)行求解。

目標(biāo)精度與實(shí)現(xiàn)精度對(duì)比如表3所示。結(jié)果表明，理論上可以滿足目標(biāo)精度為[2,10] 毫歐級(jí)的精度要求。

表3 目標(biāo)精度與實(shí)現(xiàn)精度對(duì)比

目標(biāo)精度與電阻數(shù)量之間的關(guān)系如圖4所示。在實(shí)現(xiàn)毫歐級(jí)目標(biāo)精度時(shí)，總體上遵循的規(guī)律為目標(biāo)精度越高，需要的電阻數(shù)量越多。但是，可能存在奇點(diǎn)，如圖4中目標(biāo)精度為6 mΩ的情況。對(duì)于奇點(diǎn)，可利用高目標(biāo)精度方案與低目標(biāo)精度方案的包含關(guān)系，即目標(biāo)精度高的方案可滿足目標(biāo)精度低的需求，從目標(biāo)精度更高方案中選擇電阻數(shù)量最少的方案作為最終結(jié)果。

圖4 精度與電阻數(shù)量之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between accuracy and number

因此，聯(lián)合考慮電阻數(shù)量和精度兩個(gè)維度來選擇最終的算法時(shí)，存在兩種可能結(jié)果：一種是由算法求解該目標(biāo)精度得到的電阻數(shù)量為最少；另一種是算法求解更高目標(biāo)精度得到的電阻數(shù)量為最少。

綜上，綜合考慮電阻數(shù)量和精度，為生成最佳方案，可采用的策略為，先按本文算法求出滿足該目標(biāo)精度的電阻網(wǎng)絡(luò)，而后考慮更高目標(biāo)精度對(duì)應(yīng)的電阻網(wǎng)絡(luò)，通過比較電阻數(shù)量，選出同時(shí)滿足目標(biāo)精度需求和電阻數(shù)量最少的最優(yōu)方案。

此外，當(dāng)阻值精度設(shè)定為10 mΩ時(shí)，便可不需要補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)，這也驗(yàn)證了補(bǔ)償電阻網(wǎng)絡(luò)的主要作用范圍為毫歐級(jí)精度。

4 結(jié)論

針對(duì)高精度程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)復(fù)雜的問題，提出一種高精度程控繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)生成算法，該算法根據(jù)需求量程和精度，自動(dòng)生成繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)。

仿真結(jié)果表明，根據(jù)本文算法得到的繼電器電阻網(wǎng)絡(luò)可滿足目標(biāo)精度要求。該算法大大提高了設(shè)計(jì)效率，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。