21世紀國外數(shù)學史與教師教育關系研究與啟示

岳增成，汪曉勤，孫丹丹

21世紀國外數(shù)學史與教師教育關系研究與啟示

岳增成1，汪曉勤2，孫丹丹3

（1．杭州師范大學 教育學院，浙江 杭州 311121；2．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062；3．華東師范大學 數(shù)學科學學院，上海 200241）

以探尋實踐中如何進行教師教育為出發(fā)點，從內(nèi)容維度、形式與過程維度、結果維度對國外新世紀以來數(shù)學史與數(shù)學教師教育的關系進行了考察．研究發(fā)現(xiàn)：國外以數(shù)學史為載體的教師教育強調(diào)原始素材的運用，注重多元文化與民族數(shù)學；教師教育的形式多元，強調(diào)培訓對象的深度參與，教師教育過程與結構精致，注重整體優(yōu)化；教師教育在知識、信念等方面取得了一定的成效．啟示：要對教師教育的內(nèi)容與形式進行合理規(guī)劃；強調(diào)學科內(nèi)容知識與教學內(nèi)容知識的平衡；注重教學、科研、項目間的聯(lián)動．

HPM；教師教育；原始素材；深度參與；多元發(fā)展

一個國家的教育質量是無法超越它的教師的質量的[1]，因此教師質量在國家戰(zhàn)略中具有重要的地位，教師教育受到了空前的關注．教師知識作為教師教育的重要方面受到了廣泛的重視，出現(xiàn)了很多跨國的或地區(qū)性的教師知識比較項目，其目的都是基于對教師專業(yè)知識狀況的了解，提供高質量的教師教育和教師專業(yè)發(fā)展機會，以最終達到促進教師專業(yè)知識發(fā)展的目的[2]．目前，中國已有很多研究聚焦于教師知識的大面積測查，結果顯示無論是職前還是在職教師，其知識水平、知識結構都存在一定的問題，因此研究者們基于測查結果，從制度保障、培養(yǎng)模式、課程設置等提出了改進建議[3–4]．然而，盡管對中國教師教育的建議已從基于思辨走向了基于數(shù)據(jù)，但如何在實踐中進行教師教育及其效果檢驗的實證研究還有待于進一步加強．

HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學史與數(shù)學教育）是數(shù)學教育領域出現(xiàn)最早且較為重要的領域之一，數(shù)學史與教師教育的關系一直是其重要的研究課題，并在這方面取得了豐碩的成果．因此有必要對國外數(shù)學史與教師教育的關系研究進行分析，以期能給中國的教師教育帶來啟示，也能對目前中國HPM領域存在的教師教育缺失，教育倫理學迷失，理論和實踐脫離等現(xiàn)實困境[5]的解決有所裨益．目前，已有對國外相關成果的介紹[6–7]，但有待于進一步拓展．因此，研究者通過對21世紀以來國外以數(shù)學史為載體的教師教育的文獻的梳理，回答如下的研究問題：HPM領域中，國外在開展教師教育時，用了哪些內(nèi)容（內(nèi)容維度）？采取了怎樣的方式（形式與過程維度）？對數(shù)學教師產(chǎn)生了什么樣的影響（結果維度）？

1 內(nèi)容維度

1.1 注重原始素材的運用

HPM國際研究小組的建立與新數(shù)運動強烈反對“數(shù)學教育的歷史觀念”的主張密切相關，HPM主張數(shù)學史是“治愈教條主義的一劑良藥”，認為數(shù)學不僅僅是一種語言，還是人類的活動[8]．因此，數(shù)學教育應從數(shù)學史中汲取養(yǎng)料，特別是原始素材，因為原始素材的閱讀將有助于：澄清、拓展二手素材中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學，揭示不為大眾所知的數(shù)學，識別某一主題歷史的大致發(fā)展脈絡，審視文獻中發(fā)現(xiàn)的解釋、價值判斷，甚至誤傳；理解演進的觀點；體驗真理相對性和數(shù)學活動中人的元素；感知數(shù)學與哲學的關系；感悟簡易、動機和教學（一些原始素材比后來的闡釋更為簡單，可讀性更強；這些素材通常保留了日常用語與合理的解釋，因此它們能夠豐富教師的教學儲備來幫助學生進行意義建構）；借鑒數(shù)學教育史；了解地方性數(shù)學等．原始素材的閱讀也應該成為各級各類數(shù)學教師教育不可或缺的組成部分，因為閱讀原始文獻不僅對教師數(shù)學能力有所貢獻，而且是將數(shù)學史融入到將來的教學中的必要條件[9]．

Clark以高校教授的身份講述了數(shù)學史課程開設期間在職研究生Lisa學習有關數(shù)學史融入教學的故事，Lisa則講述了課程學習的歷程及其后續(xù)數(shù)學史融入教學的嘗試，通過雙方互動的敘事研究發(fā)現(xiàn)，盡管課程的參與讓Lisa受益匪淺，但史料的可靠性是她教學設計時面臨的最大挑戰(zhàn)，這引發(fā)了她的憂慮以及Clark對原始素材的思考[10]．可見，史料的可靠性是教師教育指導者和教師面臨的共同問題．Bruckheime等為了讓教師用動態(tài)的觀點看待數(shù)學（數(shù)學演進的觀點），了解數(shù)學是人做出來的（數(shù)學活動的本質），數(shù)學家也會犯錯誤（真理相對性）．在工作坊中向在職教師提供了基于原始素材的負數(shù)、無理數(shù)、一次方程與二次方程3個概念的學習單，學習單內(nèi)容涵蓋了相關概念從不完善到相對完善發(fā)展過程中的多個重要人物和他們的貢獻[11]．因應土耳其課程改革對教學中數(shù)學史使用的要求，以改善職前中學數(shù)學教師的數(shù)學教學知識、數(shù)學觀、數(shù)學教學觀等來應對課程改革帶來的挑戰(zhàn)，Alpaslan等開展了基于原始素材的歐幾里得《幾何原本》、花拉子米《還原與對消》兩個模塊的教學．其中原始素材的選取遵循了如下的標準：與課程標準相關，與職前教師的能力相匹配，素材能夠解決諸如數(shù)學觀點、概念、算法、方法、定理、證明與論證等數(shù)學內(nèi)部問題，素材能夠展示諸如人類、社會、文化對數(shù)學歷史發(fā)展影響的數(shù)學元問題，具有里程碑意義[12]．作為教師，當學生沒有很好地跟隨自己的思路時，常常傾向于快速拒絕他們，這是教師中心性的表現(xiàn)．為了讓數(shù)學教師去中心性，不要從自己的視角看待學生，而能移情于學生、學會傾聽，Arcavi等試圖讓培訓對象在解決古埃及用僧侶文、楔形文字書寫的有關乘法運算的任務時，能夠進入古人的內(nèi)心世界，進而能夠進入學生的內(nèi)心世界[13]．以上3個教師教育的例子反映了原始素材在理解演進觀點，體驗真理相對性和數(shù)學活動中人的元素，感悟簡易、動機和教學等方面的獨特價值．數(shù)學與哲學的關系、本土數(shù)學分別與多元文化、民族數(shù)學相關聯(lián)，以下是對這兩個的概述．

1.2 多元文化與民族數(shù)學并重

數(shù)學本身就是一種文化，現(xiàn)在的數(shù)學是古今中外的數(shù)學家共同努力的結果．在數(shù)學的發(fā)展過程中，數(shù)學與其它學科及整個社會發(fā)展相互推動，形成了良好的互動關系：一方面，其它學科、社會發(fā)展成為了數(shù)學發(fā)展的推動力；另一方面，數(shù)學發(fā)展又反過來促進了其它學科、社會的發(fā)展．數(shù)學史往往可以展現(xiàn)這種發(fā)展過程中的互動關系．因此，數(shù)學史進入教師教育，可以幫助數(shù)學教師認識到數(shù)學與其它學科、與社會發(fā)展的關系，看到不同時代、不同民族對數(shù)學發(fā)展做出的貢獻，從而能用多元文化的視角看待數(shù)學．Ian Isaac等為本科一年級的小學職前教師開設了“數(shù)學的文化起源”課程．這門課程聚焦于中國、印度、埃及、希臘的古代社會在實踐和智力活動中處理幾何概念的方式，比如中國古代實用主義的訴求，使得中國古代的幾何強調(diào)實用，忽視邏輯推理，而古希臘崇尚理性精神，因此古希臘的幾何學強調(diào)邏輯證明，希望給職前教師以更寬闊的視野來看待過去五千年中不同社會文明對數(shù)學發(fā)展的影響[14]．Guyot和Métin為了提高教師的跨學科能力，將高中數(shù)學、物理教師召集到研討班中，向他們呈現(xiàn)了1?500～1?800年間化學、彈道學、算術、幾何4門學科中的火藥制作、彈道軌跡推算、防御工事建造等軍事問題[15]．為了改變多元文化背景的職前教師存在的諸多知識、信念問題，比如在大學前，幾乎對數(shù)學中偉大的人物，甚至是本民族的偉大數(shù)學人物一無所知，認為數(shù)學是一座“孤島”，它的法則與歷史、物理、社會現(xiàn)實無關，數(shù)學是與人類無關的活動領域，Barabash等試圖借助古代與近代數(shù)學家生平、與中小學數(shù)學教學相關且職前教師能夠理解的成就，闡明數(shù)學是不同時代、不同國家的人創(chuàng)造出來的，他們發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造了超越時空的知識來服務自身及其后代[16]．

民族數(shù)學是數(shù)學文化的重要組成部分．用民族數(shù)學進行教師教育，一方面可以讓教師深刻地了解自己民族的文化，形成文化認同，比如葡萄牙航海歷史悠久，但葡萄牙所擁有的相當重要的文化遺產(chǎn)和革新的航?？茖W的方法經(jīng)常被遺忘，因此Ralha、Lopes通過讓葡萄牙職前教師研究葡萄牙數(shù)學史來幫助教師了解所在國家航海事業(yè)的輝煌及其中應用到的數(shù)學原理[17]．另一方面，可以讓教師更深刻地了解其它民族，比如中國古代數(shù)學擅長計算，重視算法，而算法又不被西方學者認同為嚴密證明，因此Chorlay向教師展示了中國古代劉徽注《九章算術》中的分數(shù)乘法算法，以此來說明即使這些材料應用在中小學課堂中十分困難，但應用在教師培訓中將會卓有成效：教師對這些材料的分析引發(fā)了他們對非形式論證的思考，甚至為他們講授一些數(shù)學定義或性質的證明提供了重要參照[18]．

2 形式與過程維度

2.1 教師教育的形式多元

國外HPM視角下教師教育的形式相當多元，這不僅體現(xiàn)在教師教育類型的多樣上，例如國外常用的HPM視角下的教師教育類型有項目（program）、課程（course）、工作坊（workshop）、研討會（seminar）、討論班（session）、課題（project），還體現(xiàn)在類型的組合上，教師教育者既可采用單獨的形式進行教師教育，比如，Loats分別在傳統(tǒng)的學期模式中給職前教師、在暑期專業(yè)發(fā)展課程中給在職中學教師講授數(shù)學史課程[19]．法國2012年前后發(fā)布了一個強調(diào)算法重要性的高中國家課程，并明確地要求在課堂中實施多樣的算法教學．為了幫助教師應對新的挑戰(zhàn)，Michel-Pajus開設了基于歷史素材、更具算法傾向的教師培訓討論班，以向教師展示理解、書寫、驗證算法曾經(jīng)是數(shù)學發(fā)展進程中最重要的工作[20]．也可采用混合的方式進行，比如Barash等在職前教師教育項目中，設置了與數(shù)學史相關的結構性活動，活動分教與學兩部分：學的部分在持續(xù)一年的研討會中實施，教的部分是畢業(yè)課題，在畢業(yè)課題中，每一個歷史主題被詳細描述成一個可以在中小學具體年級實施的教學模塊[16]．發(fā)布于2007年的加泰羅尼亞數(shù)學課程中包含了相關數(shù)學主題歷史起源介紹的理念，但未有文獻涉及到相關主題內(nèi)容的開發(fā)，因此Vallhonesta等開設了一門職前數(shù)學教師課程，為教師提供講授知識所需的素材．在課程的學習過程中，職前教師除了需要處理老師提供的大量素材外，還需要完成一個課題，這一課題包括依據(jù)他們在課程學習過程中處理的史料設計一個學習活動[21]．總之，國外HPM視角下的教師教育形式多樣，還有不同的組合方式，圖1呈現(xiàn)了各種形式之間的大致關系，其中箭頭指向的類型是箭頭開端類型子集，任意箭頭都可去掉．

圖1 國外HPM視角下的教師教育

2.2 教師的深度參與

傳統(tǒng)課程、講座、報告等教師教育形式通常是講授式，教師深度學習機會很少．而要使教師將教師教育的內(nèi)容盡快內(nèi)化到自己的認知結構當中，就需要教師教育者設置相應的活動引導教師的深度參與．在Fenaroli等設計的項目中，教師教育者解釋了歷史作為加強師范生教學的工具是怎樣被使用的，并建議將歷史片段的重點與教育問題相結合．在這樣的背景下師范生受任務的驅動，對與導數(shù)相關的原始素材進行了深入的分析，反思了歷史片段中導數(shù)的新含義，預設了教學中使用推薦的歷史材料的結果，最后分組合作對如何在課堂中介紹導數(shù)進行了設計[22]．除了項目中的任務驅動外，國外其它形式的教師教育也需要培訓對象的深度參與，Smestad設置了項目、任務、游戲等讓教師參與其中，進行數(shù)學史的學習[23]．在Alpaslan等[24]提供的培訓中，職前教師需要分析初等數(shù)學教材，審視教材中數(shù)學史的使用，設計教授特定概念的海報，并在后續(xù)的數(shù)學方法課程中運用數(shù)學史．總之，為了讓教師在數(shù)學教學中運用數(shù)學史，培訓者們通過任務設計、問題引導，讓培訓對象參與到數(shù)學史料的分析當中，從中發(fā)現(xiàn)其對教學的啟示，并進一步進行基于史料的任務設計．

2.3 教師教育過程與結構精致注重整體優(yōu)化

由于時間的有限性，教師教育對效率的要求很高．為了滿足這一要求，國外以數(shù)學史為載體的教師教育過程與結構較為精致．比如Furinghetti為了幫助職前教師將數(shù)學教育教學理論應用于實踐，讓他們參與了一門累計42小時、需要將數(shù)學史融入相關主題設計的課程，并以“了解歷史史料、選擇合適主題、分析課堂需要、設計課堂活動、實施教學計劃、評價課堂活動”的順序進行了九～十年級代數(shù)內(nèi)容的教學設計[25]．Waldegg則組織了一個由12個討論班組成的工作坊，工作坊每次活動持續(xù)4個小時，并按如表1所示的序列展開，其中每個參與者都有責任學習某些知識，這樣他就成了相關知識的專家，也有責任將相關知識教給自己小組（基礎組）的其他成員，或教給其它組的某個成員，而后者就成為了所在組相關知識的專家，并將所學知識再教給所在基礎組的成員[26]．當然，精致的教師教育過程與結構，需要不斷地優(yōu)化．國外有一些研究呈現(xiàn)了優(yōu)化的過程．

表1 工作坊流程

比如，Smestad因挪威教師教育改革的需要，為師范生開設了一門6個小時的數(shù)學史課程．在準備的過程中，他制定了遵循一定教學順序的課程的發(fā)展目標；當發(fā)現(xiàn)職前教師前測問卷的結果與自己的設想出入較大時，他對教學順序進行了調(diào)整；隨后，根據(jù)教學順序選取了數(shù)學史進行了兩輪授課，第二輪授課的內(nèi)容與第一輪完全不同，因為后一輪考慮了考試的需求，安排了概率與組合學的相關歷史介紹[27]．

3 結果維度

3.1 信念方面

數(shù)學教師的信念、態(tài)度對教師教學的意義重大，因為教師關于數(shù)學的信念和態(tài)度是影響教師所采用數(shù)學教學方法的關鍵，教師關于數(shù)學及其教學的信念對教學實踐的塑造具有重要的作用[28]．數(shù)學史為教師信念、態(tài)度的轉變提供了新的思路，因為數(shù)學史提供了一處未知的風景，在其中人們以不同的視角看待已經(jīng)變成“冰冷的美麗”的數(shù)學定理、概念和過程[29]．因此，Isaacs等聚焦于讓職前教師探索中國古代作為解決現(xiàn)實問題的實踐科學的幾何，古印度作為構造性、審美媒介的幾何，古埃及宗教對幾何精確構造的需求，古希臘幾何中的邏輯論證．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，通過對中國古代、古印度、古埃及、古希臘幾何的探索，部分學生關于數(shù)學本質的信念發(fā)生轉變，但總體效果不是很理想[14]．Charalambos等通過融入數(shù)學史的數(shù)學項目的實施發(fā)現(xiàn)，職前教師進入項目時持有相當強烈的柏拉圖式的信念，即認為數(shù)學是由永恒準確的事實構成的穩(wěn)定體系，項目完成后，柏拉圖式的信念減弱，但工具主義信念（數(shù)學是安排有序的工具集合）增強，而實驗主義信念（數(shù)學是知識的進化體）與開始時相比有所減弱，這未能達到培養(yǎng)學生實驗主義數(shù)學觀的目的；學生對數(shù)學負面的態(tài)度增強，效能感朝著期望的方向發(fā)展[29]．

盡管教學因素對學生學習方法的運用和問題的解答造成了干擾，嚴格的歷史相似性是站不住腳的，即個體發(fā)育重蹈種族發(fā)展，但學生的理解困難與歷史上數(shù)學家遭遇的障礙具有有趣的相似性[30]．因此，對數(shù)學歷史發(fā)展的研究能夠幫助教師更好地理解學生及學生學習的困難．比如，在一門聚焦于從古至今的數(shù)學進化，以建立數(shù)學學科發(fā)展與社會發(fā)展關系的課程中，Guillemette運用現(xiàn)象學方法，從對話的視角對課堂實錄、個體訪談、群體訪談分析發(fā)現(xiàn)：職前教師持有的認識論與歷史文本蘊含的認識論間的沖突促使他們移情于文本作者與他們將來的學生，開啟了非暴力數(shù)學教育的可能性[31]．

對數(shù)學史及其教學的信念直接影響著數(shù)學教學中HPM的使用，但這方面的研究相當少．Alpaslan等調(diào)查1?593名4個年級師范生發(fā)現(xiàn)，學生對數(shù)學史的使用有著積極的態(tài)度與信念，且隨著教師教育項目中數(shù)學史課程的實施，學生對數(shù)學史的使用態(tài)度更為積極，信念朝著好的方面發(fā)展[32]．Gürsoy也為職前教師開設了一門旨在幫助教師將數(shù)學史融入中學數(shù)學的課程，結果發(fā)現(xiàn)高中職前教師對數(shù)學史融入數(shù)學的態(tài)度與信念發(fā)生了轉變，且這種轉變具有顯著性差異[33]．

由以上介紹可知，數(shù)學史作為教師教育的素材會對培訓對象的數(shù)學、學生、數(shù)學史使用等方面的態(tài)度、信念產(chǎn)生積極影響，但有部分研究的效果并不顯著，這與數(shù)學史在數(shù)學教育中的角色無關，而與教師教育項目中史料的處理方式有關[25]．上述Smestad對教師教育過程與結構的優(yōu)化也間接地證明了這一點．

3.2 知識方面

教育涉及兩個基本的成分——學科內(nèi)容與學生．教學是一門使學生學習學科內(nèi)容的藝術．要想成功地做到這一點，需要對這兩者的深刻理解．不幸的是，這一點經(jīng)常被忘記，且兩個核心成分中的一個往往被過分地強調(diào)．目前看起來有強調(diào)了解學生超過了解內(nèi)容的傾向，人們能夠看到大多數(shù)現(xiàn)有的指向教育改善的文件對教學方法的強調(diào)遠遠多于學科內(nèi)容[34]．因此，教學需要平衡學科內(nèi)容知識與學生知識，教師教育需要平衡學科內(nèi)容知識與教學內(nèi)容知識．HPM是一門跨數(shù)學史、數(shù)學教育的學科，兼具學科內(nèi)容與教學內(nèi)容，將其應用于教師教育將有利于學科內(nèi)容與教學內(nèi)容的平衡．

在HPM領域，已有一些研究者對HPM與數(shù)學知識、教學知識的互動關系進行探討，特別是HPM與MKT（Mathematical Knowledge for Teaching，數(shù)學教學所需要的知識）的互動關系，因為MKT包括學科內(nèi)容知識與學科教學知識兩部分，且MKT是數(shù)學教育中公認的研究框架，將其引入HPM領域有利于解決目前數(shù)學教育中數(shù)學史研究，包括數(shù)學史與教師教育研究，缺乏與一般數(shù)學教育研究框架、理論建構和方法論有清晰聯(lián)系的問題，有利于數(shù)學教育中的數(shù)學史研究成為數(shù)學教育研究中一個更具影響力的領域[35]．Mosvold等借用已有的教師教育案例，討論了MKT的各個組成部分是如何從數(shù)學史中獲益的，也就是說數(shù)學史是對MKT的完善，比如于教師而言，阿拉伯數(shù)學家花拉子米利用幾何表征進行配方求解一元二次方程的方法（如圖2）就屬于專門內(nèi)容知識，因為現(xiàn)在普遍采用的代數(shù)法求解是各行各業(yè)的人所掌握的，而幾何法求方程的解是教學所特有的[36]．Smestad也進行了類似的討論，他運用13個與HPM相關的案例來闡釋和討論數(shù)學史在MKT框架中扮演的角色，并指出MKT對討論數(shù)學史在哪些方面促進數(shù)學教學時是有用的，且數(shù)學史能夠促進MKT框架的發(fā)展[37]．Jankvist等則運用已有的HPM案例，從MKT的視角來審視HPM，解決了MKT的框架及其組成成分是如何對數(shù)學教育中數(shù)學史的使用起作用的問題[38]．

圖2 花拉子米求解一元二次方程的方法

也有一些研究注重教師學科內(nèi)容與教學內(nèi)容的培養(yǎng)，Waldegg通過讓在職高中教師以表1所示工作坊流程合作解決一系列來自于歷史的經(jīng)典初等算術、代數(shù)、微積分問題，并將所得經(jīng)驗應用于日常教學當中，通過教師的反饋發(fā)現(xiàn)：他們對問題的概念屬性和學生的認知問題有了更為深刻的理解，對教學和學習過程有了清晰的認識，而這些是他們以前所忽略的[27]．Clark的數(shù)學史課程既注重數(shù)學知識，又強調(diào)數(shù)學知識在教學中的應用，這從她的3個課程重點“（1）學習隨時間演變的數(shù)學觀點，（2）研究、討論歷史、文化與數(shù)學發(fā)展之間的互動關系，（3）增加將數(shù)學史融入學校數(shù)學教學所需要的教學知識”中（1）（2）與數(shù)學知識有關，（3）與教學知識有關中可見一斑[39]．

總之，HPM作為歷史與教育的結合體，會對教師知識的完善產(chǎn)生積極的影響，且MKT等分析框架的引入，將會使HPM對教師知識影響的研究更為科學，這也是今后HPM研究的重要方向．

4 結論與啟示

21世紀以來，國外教師教育者采用過程與結構相對精致的項目、課程、工作坊、討論班、研討會等單一、混合的形式，以任務驅動、問題引導等方式讓職前、在職數(shù)學教師對蘊含歷史、文化、教育等價值的數(shù)學史料，特別是原始史料進行閱讀、分析，并將其與教學活動的設計相聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學史的運用對數(shù)學教師數(shù)學觀、教學觀、學生觀、數(shù)學史的使用觀念等的改善有著積極的影響，對教師學科知識、教學知識的完善與平衡也起了積極的作用，對教師教育有如下啟示．

（1）合理規(guī)劃教師教育的內(nèi)容與形式，引導教師深度參與．

教師教育和實踐中教師的專業(yè)發(fā)展，需要提供合理的教學知識基礎，而且從理論上講，還應與實踐緊密聯(lián)系起來．這似乎是一個常識性問題，但要使其成為現(xiàn)實，遠遠比期望的更加困難[40]．國外數(shù)學史與教師教育關系的相關研究為縮短教學基礎知識與實踐的“距離”提供了借鑒：一方面，教師教育的內(nèi)容需要與教師教學的內(nèi)容高度相關；另一方面，可以通過工作坊、研討會、討論班、項目等形式，引導教師將教師教育的內(nèi)容應用到相關教學內(nèi)容的設計上，并通過教師之間、教師與專家之間的研討，完善設計，如有可能，還可以將完善的設計應用到教育見習、教育實習、教學實踐當中，以檢驗其效果，為進一步地完善提供實踐支撐．

（2）教師教育要強調(diào)學科知識與教學知識的平衡．

上文中提到目前的教學有強調(diào)學生而忽略學科內(nèi)容的傾向，而HPM與MKT的互動關系對教師學科內(nèi)容知識與教學內(nèi)容知識的平衡有著積極的作用．當然，HPM只是數(shù)學教育的一個方向，在利用其它方向或領域進行教師教育時，應依據(jù)培訓的需求，幫助教師達到學科內(nèi)容知識與教學內(nèi)容知識的平衡．比如，針對職前教師教學內(nèi)容知識相對薄弱的問題，不妨引導教師將教學理論應用于教學活動、任務設計等活動，使他們獲得更多的課程與教學知識、課程與學生知識、課程與內(nèi)容知識（這是MKT框架中數(shù)學學科內(nèi)容的3個組成部分），對于在職教師，學科內(nèi)容知識可能稍顯薄弱，可以在學科教學內(nèi)容的基礎上，多從學科本質問題出發(fā)，來完善教師的學科內(nèi)容知識．

（3）注重教學、科研、教師教育項目的聯(lián)動．

對教師教育者而言，時間的相對有限往往導致了教學與科研的矛盾．但從數(shù)學史與教師教育關系的研究來看，教學與科研又是統(tǒng)一的，因為上文中的研究都是基于教學的科研成果，且很多都是在教師教育項目的支持下完成的，這為教師教育者平衡教學任務、科研任務提供了一條新路，即教師教育研究者在教師教育項目的支持下，將教育對象轉變成研究對象，以檢驗教學內(nèi)容、教育方式等對教師專業(yè)發(fā)展的影響．如若能將教學—科研—教師教育項目進行統(tǒng)一，不僅緩解了教師教育者科研方面的壓力，還將有助于教師教育課程的完善，從而更好地服務于教師的專業(yè)發(fā)展．

[1] MOURSHED M, CHIJIOKE C, BARBER M. How the world’s most improved school systems keep getting better [M]. Mckinsey & Company, 2010: 3.

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A Review of Non-Domestic Studies on HPM and Teacher Education in the 21st Century

YUE Zeng-cheng1, WANG Xiao-qin2, SUN Dan-dan3

(1. School of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;3. School of Mathematical Science, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

To explore how to conduct teacher education, we analyzed studies on HPM and teacher education abroad according to content, types & processes, and outcomes. We found that foreign researchers emphasize the use of primary sources and think highly of multicultural and ethno-mathematics; the types of teacher education are varied; the structure of the education process is delicate; they attach importance to deep engagement with training objects and holistic improvement in teacher education; and, after engaging in teacher education, training objects achieve the development of knowledge and belief. We can reasonably plan content and types, balance subject matter knowledge and pedagogical content knowledge, and link teaching, research, and programs to improve our teacher education.

HPM; teacher education; original source; deep engagement; mufti-development

G632.4

A

1004–9894（2021）06–0092–06

岳增成，汪曉勤，孫丹丹．21世紀國外數(shù)學史與教師教育關系研究與啟示[J]．數(shù)學教育學報，2021，30（6）：92-97．

2021–09–02

2020年度教育部人文社會科學研究青年基金項目——多路徑數(shù)學科普的構建及其對少數(shù)民族學生數(shù)學觀的影響研究（20YJC880117）；杭州師范大學教育學院省優(yōu)勢特色學科培訓項目——市縣兩級名師工作室協(xié)同引領下的小學數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展機制與評價研究（19JYXK015）

岳增成（1988—），男，山東濰坊人，講師，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育（HPM）、教師教育研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]