長周期高精度回歸軌道與脈沖軌道控制策略設(shè)計

何艷超，徐明

（1.航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094； 2.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100083）

回歸軌道具有使衛(wèi)星定期沿著相對于中心天體完全重復(fù)的軌段上飛行的特性，由于其相鄰星下點軌跡在同一緯度圈上的間距相等，可滿足對特定區(qū)域和目標的周期性觀測要求［1-3］。事實上，回歸軌道為中心天體固連坐標系下的周期軌道。該類軌道在對地觀測、偵察和科學(xué)探測等各類地球遙感任務(wù)中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，如Landsat（美國）、Envisat（歐洲）、SPOT（法國）和Terra-SAR-X（德國）等［2-4］。

回歸軌道的軌跡周期性重復(fù)特性是由于軌道運動與中心天體旋轉(zhuǎn)發(fā)生共振而形成。因而在軌道設(shè)計中需要考慮非球形引力攝動，而在以往多數(shù)關(guān)于地球回歸軌道的研究中假設(shè)軌道主要的攝動因素來自于地球非球形引力分布。隨著地球非中心引力場理論研究的進步和航天工程實踐的深入發(fā)展，不少學(xué)者相繼嘗試采用高階引力攝動模型進行軌道設(shè)計研究。Lara［1］提出了一種基于“修正-預(yù)測”的自動求解數(shù)值方法，可得到高階帶諧項攝動下的回歸軌道初值。隨后，在考慮二階帶諧項和田諧項攝動下，從動力學(xué)系統(tǒng)的觀點，Lara［5］將回歸軌道考慮為分叉于地球固連坐標系下的赤道面內(nèi)的周期軌道，并研究了穩(wěn)定性。更進一步，通過將J2攝動下的回歸軌道作為初值，Lara和Russell［6］采用微分修正算法實現(xiàn)了在完全地球引力攝動模型下的回歸軌道快速設(shè)計。此外，Aorpimai和Palmer［2］研究了考慮帶諧項攝動系數(shù)為J4和J22時，利用周轉(zhuǎn)圓軌道根數(shù)求解滿足回歸條件的軌道。楊盛慶等［7］提出了適用于高精度軌道動力學(xué)模型的迭代修正方法可獲得嚴格回歸軌道。以上研究實現(xiàn)了在高階甚至完全地球攝動引力下進行軌道設(shè)計以保證足夠精度要求的目標，但是很少有研究在設(shè)計階段直接考慮非地球引力攝動（如大氣阻力、太陽輻射光壓和日月引力）的作用，而它們將在軌道控制階段加以考慮，因為非保守力尤其是大氣阻力所引起的星下點軌跡漂移需要額外施加控制力進行抑制。

因此，若缺少必要的軌道維持或軌道設(shè)計初值存在一定的誤差，長期運行的回歸軌道在實際動力學(xué)環(huán)境中則會失去回歸特性。針對該問題，一些學(xué)者在軌道設(shè)計的基礎(chǔ)上面向具體的軌道控制目標提出了一些方法。受限于星上設(shè)備體制和地面站處理能力，Aorpimai和Palmer［2］提出的多脈沖自主控制策略可將衛(wèi)星由初始條件配置到回歸軌道條件?；诎虢馕龇椒?，Sengupta等［8］研究了在J2攝動和大氣阻力作用下對地覆蓋小偏心率回歸軌道的控制問題。溫生林等［9］同樣考慮在J2攝動和大氣阻力攝動下，基于Lyapunov理論設(shè)計了回歸軌道衛(wèi)星星下點軌跡保持的相對平均軌道根數(shù)反饋控制律。張沖難等［10］針對軌道控制時間、燃料消耗、偏心率等約束條件，給出了多脈沖軌道控制策略的具體實現(xiàn)方法進行回歸軌道維持。針對回歸軌道對地連續(xù)覆蓋維持問題，F(xiàn)u等［4］基于緯度幅角分析了整個星下點軌跡漂移量，并提出了維持軌跡漂移不超過給定閾值的控制策略。

本文研究了一種基于微分代數(shù)運算和考慮完全攝動因素的引力模型下高精度回歸軌道設(shè)計與控制的半解析方法。通過對Poincaré映射進行高階Taylor展開以獲得軌道在一個或者多個回歸周期內(nèi)的狀態(tài)量。該方法一方面通過研究施加于映射交點（即赤道升交點）處的速度增量對回歸模式的作用以實現(xiàn)高精度回歸軌道設(shè)計與軌道控制量優(yōu)化求解；另一方面通過采用多項式運算代替?zhèn)鹘y(tǒng)數(shù)值積分以避免在完全引力攝動下進行長周期回歸軌道遞推造成的計算復(fù)雜性，從而提高回歸軌道設(shè)計與軌道控制量生成效率，對星上的自主實施具有重要意義。

1 問題描述與建模

1.1 坐標系定義

圖1給出地心慣性坐標系和地心固連坐標系的定義。取赤道面為地心慣性坐標系的基本平面，＾X軸由地心指向春分點，＾Z軸垂直基本平面，＾Y軸與＾X、＾Z軸形成正交系；對于地心固連坐標系，＾x軸由地心出發(fā)沿著赤道面與子午面的交線，＾z軸平行于地球自轉(zhuǎn)軸，＾y軸與＾x、＾z軸組成正交系。地心固連坐標系相對地心慣性坐標系自轉(zhuǎn)的角速度為ωE。

圖1 地心慣性坐標系和地心固連坐標系Fig.1 Earth-centered inertial and Earth-centered，Earth-fixed coordinate frames

繼承文獻［1］的變量定義，衛(wèi)星在慣性空間中的位置由圓柱坐標（r，z，?）確定，r為衛(wèi)星到＾Z軸的距離，z為衛(wèi)星距離赤道面的高度，?為衛(wèi)星子午面的瞬時經(jīng)度。衛(wèi)星在地心固連坐標系中的位置與速度表示為軌道狀態(tài)量X＝［x，y，z，vx，vy，vz］T，則其星下點軌跡的緯度φ和經(jīng)度λ分別滿足sinφ ＝z／ρ和tanλ ＝y(tǒng)／x（ρ表示衛(wèi)星與地心之間的距離）。由于赤道處的星下點軌跡漂移最大，以下研究中僅需要考慮衛(wèi)星向上穿越赤道面時的狀態(tài)量。

回歸軌道實際上為中心天體固連坐標系中的周期軌道，可通過一些數(shù)值方法求解，如文獻［5-6］提出的“預(yù)測-修正”算法。該方法針對保守的中心天體引力場是有效的，但當加入非保守力的影響時，將幾乎無法生成周期軌道。根據(jù)求解周期軌道的思路，回歸軌道的初始狀態(tài)X0須與經(jīng)過特定回歸圈次之后的終止狀態(tài)Xf充分接近。

由于近地軌道動力學(xué)環(huán)境中存在各類攝動力的影響，特別是非保守力，即便是滿足回歸條件的軌道也會因攝動作用，相對于參考軌道發(fā)生漂移。在缺少必要的軌道維持下，實際軌道將逐漸偏離回歸條件，并最終導(dǎo)致任務(wù)的失敗。需要指出的是，根據(jù)不同的任務(wù)要求，軌道維持并不必過于頻繁和嚴格，而僅需實際軌道與參考軌道的偏差不超過預(yù)設(shè)的閾值即可。

1.2 回歸軌道條件

當軌道滿足共振條件時，即衛(wèi)星的平均角速度與地球的自轉(zhuǎn)角速度可約，此時軌道為回歸軌道，則具有如下關(guān)系：

式中：ΔΩd為在一個交點周期Td內(nèi)升交點赤經(jīng)的漂移量；nM為回歸周期；nN為在一個回歸周期內(nèi)的軌道圈數(shù)。當回歸軌道具有嚴格的nM∶nN回歸模式時，星下點軌跡在赤道位置上的經(jīng)度（僅考慮升交點處）表示為

式中：λ0為回歸軌道起點處的經(jīng)度；λj為第j圈軌道在升交點處的經(jīng)度。式（2）可作為標稱軌道的基準，以評估實際軌道偏離標稱設(shè)計的程度。

1.3 嚴格和寬松回歸條件

從實際任務(wù)實現(xiàn)的角度來說，回歸軌道的任務(wù)要求可分為2類：嚴格和寬松。相應(yīng)地，回歸軌道條件可定義為一個回歸周期內(nèi)的精確回歸解和多個回歸周期內(nèi)的有界解。前者表示回歸軌道在經(jīng)過一個回歸周期后返回初始位置，后者表示回歸軌道可在多個回歸周期內(nèi)返回初始位置。

對于精確回歸解的要求，回歸軌道在一個回歸周期內(nèi)在地心固連坐標系下的初始狀態(tài)X0等于終止狀態(tài)Xf。對于回歸軌道有界解，回歸軌道在m個回歸周期后的終止狀態(tài)Xf等于初始狀態(tài)X0。在該情況中，起始于初始有界解，軌道在到達m個回歸周期前將會出現(xiàn)偏離，但通過對軌道在第m個回歸周期時的狀態(tài)施加約束條件X0＝Xf，軌道將會返回至初始狀態(tài)X0附近并與之保持一定偏差，故稱為有界。需要說明的是，當回歸周期數(shù)m＝1時，回歸軌道有界解即約化為精確解。在實際軌道設(shè)計問題中，可根據(jù)期望的精度和軌道控制頻率來確定采用何種解。若任務(wù)具有嚴格的精度要求，可根據(jù)精確解進行軌道設(shè)計并在每個回歸周期內(nèi)進行軌道維持；而對于寬松精度要求，可選擇有界解進行設(shè)計，并在多個回歸周期內(nèi)進行一次軌道維持。

2 基于微分代數(shù)的高階Poincaré映射

2.1 微分代數(shù)方法

微分代數(shù)方法起源于人們嘗試利用代數(shù)手段求解解析問題，其主要思想是在計算機環(huán)境中用類似于用浮點數(shù)近似實數(shù)的方式來處理函數(shù)及其運算。

利用微分代數(shù)方法可直接在計算機環(huán)境中獲得n維函數(shù)的任意k階Taylor展開式，并計算相應(yīng)函數(shù)在某點的值，而所需計算量是固定的。在微分代數(shù)框架下進行所有的計算可實現(xiàn)一般的常微分方程關(guān)于初始條件的直至任意階數(shù)的相流Taylor展開。

不失一般性，考慮下述初值問題

及其對應(yīng)的相流ψ（t；x0）。若采用Runge-Kutta等傳統(tǒng)數(shù)值積分方法，按照計算機的浮點運算規(guī)則對一組初始點x0僅可以獲得單條軌道。而若將x0初始化為微分代數(shù)表示形式，并在微分代數(shù)框架下進行所有數(shù)值積分中涉及的運算，可以得到相流關(guān)于x0的任意階數(shù)的Taylor展開從t0到tf的積分，其多項式表達形式為ψ（tf；x0＋δx0），記為Txf（x0），如圖2所示。

圖2 x0 鄰域內(nèi)初始點（x0 ＋δx0）在t f處的近似解Fig.2 Approximation of initial value（x0 ＋δx0）in the neighborhood of x0 at t f

同時，僅需要將數(shù)值積分運算操作替換為對應(yīng)的微分代數(shù)運算，即可將標準的顯式積分模式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的微分代數(shù)形式。而涉及到的步長控制和誤差估計只需要由Taylor展開多項式的常值部分來確定，即作為Taylor展開點的參考軌道。因此，所得到的積分結(jié)果是以數(shù)值方法得到結(jié)果的Taylor展開多項式，即相流的數(shù)值近似。

微分代數(shù)的主要優(yōu)勢在于：無需對變分方程進行推導(dǎo)和積分處理即可得到流的高階展開式；僅需要將浮點數(shù)的代數(shù)運算替換為微分代數(shù)運算即可實現(xiàn)，因為微分代數(shù)方法同常微分方程是獨立的。另外，利用COSY INFINITY軟件可實現(xiàn)微分代數(shù)運算，在有限的計算時間內(nèi)即可得到高階展開式［11-12］。

2.2 高階Poincaré映射

為了確定回歸軌道的狀態(tài)量，基于微分代數(shù)方法求解Poincaré映射，該映射可將截面（赤道面）上的任意點在經(jīng)過一個回歸周期后同樣投影至該截面［13］。

假設(shè)軌道的回歸模式為nM∶nN，本算法以滿足回歸和太陽同步約束的不動點軌道為參考點［13］。不動點狀態(tài)量在經(jīng)過從地心慣性坐標系到地心固連坐標系轉(zhuǎn)換后的狀態(tài)量為X*＝［x*，y*，z*，v*x，v*y，v*z］T，回歸周期取為T*＝nNT*d，并令z*＝0，即考慮回歸軌道的起點總是在赤道面上。將狀態(tài)量x、y、vx、vy、vz和回歸周期T初始化為微分代數(shù)變量，并在完全引力攝動模型下進行軌道遞推（時間從t＝0到t＝T）。由此可得到Poincaré映射的高階Taylor展開式為

通過求解下面的參數(shù)化隱式方程可消除T自由度：

即令滿足多項式映射（4）的分部z為0?；谖⒎执鷶?shù)方法可得

將其回代至映射（4），即可求得

需要說明的是，由于軌道遞推是在地心慣性坐標系下進行的，而映射（4）～（6）及參數(shù)化隱式方程（5）中涉及的軌道狀態(tài)量均表示在地心固連坐標系中，故在進行微分代數(shù)運算時，需要計算從地心慣性坐標系到地心固連坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣M，坐標轉(zhuǎn)換需考慮地球章動和極移效應(yīng)，故矩陣M 為時變的，可通過下面的一階近似：

將轉(zhuǎn)換矩陣表示為微分代數(shù)形式。式中：T0為Taylor多項式（6）中的常數(shù)項，而M′（T0）為M在T0時刻的近似變化率，可通過M 在T0附近的線性變化近似得到，時間變化δT取為微分代數(shù)變量。

通過Poincaré映射（7），可將在赤道面上參考點附近的任意初始點X0經(jīng)過一個回歸周期后投影至赤道面，且映射（6）為所需時間（回歸周期）。求解Poincaré映射需要進行關(guān)于6個變量的微分代數(shù)積分，因此相對于普通的浮點數(shù)積分需要更多的計算時間。但一旦獲得了該映射，便可通過簡單的多項式代入運算精確近似軌道遞推，極大地減少計算量。

3 回歸軌道設(shè)計

作為實現(xiàn)回歸軌道控制的基準［14］，回歸軌道設(shè)計是一個優(yōu)化求解滿足目標條件初值的過程，定義該多目標函數(shù)如下：

由于在回歸軌道設(shè)計中不可避免地需要進行軌道遞推積分，通常不考慮更復(fù)雜的攝動因素或在復(fù)雜攝動下僅考慮到較短時間周期的軌道計算，以避免計算復(fù)雜度的增加，而本文利用微分代數(shù)運算的Poincaré映射多項式來高精度近似常用的軌道積分過程，在計算效率上更具有優(yōu)勢。

采用實際太陽同步回歸軌道任務(wù)的回歸模式作為仿真算例以闡釋本節(jié)所提出的方法，其中TerraSAR-X的回歸模式為11∶167，Landsat-8的回歸模式為16∶233，IRS-P6的回歸模式為24∶341，SPOT-7的回歸模式為26∶379。對于這4種任務(wù)，一個回歸周期內(nèi)的實際軌道在每圈升交點處的經(jīng)度與其標稱值的對比如圖3所示，其中經(jīng)度標稱值由式（2）計算得到，而實際軌道則通過對求解優(yōu)化問題（9）所得到的初值進行軌道遞推得到。

由圖3所示，對于不同回歸模式的回歸軌道，經(jīng)度的實際值處于標稱值所表示的“□”內(nèi)，說明由本節(jié)所提出的設(shè)計方法獲得的軌道初值精度可得到保證。進一步地，將圖3中每一圈升交點處經(jīng)度的實際值與標稱值之間的誤差表示出來，如圖4所示（圖中nN為無量綱值）。對比發(fā)現(xiàn)，實際經(jīng)度偏離標稱值的誤差大小不超過0.008°，對應(yīng)在赤道上的漂移距離為0.89 km。同時可以發(fā)現(xiàn)，TerraSAR-X模式的軌道具有最大的經(jīng)度漂移，這是因為其對應(yīng)軌道高度（半長軸為6883.513 km）相對于其他3種模式最低，受到的大氣阻力攝動作用最強。需要指出的是，本節(jié)求解得到的初值和軌道遞推均在完全引力攝動模型下進行且沒有消除短周期項，因此經(jīng)度誤差的變化出現(xiàn)了短周期的振蕩。

圖3 升交點處經(jīng)度實際值與標稱值的對比Fig.3 Comparison of actual and nominal longitude values at ascending nodes

圖4 一個回歸周期內(nèi)每圈軌道升交點處經(jīng)度實際值與其標稱值對比的漂移量Fig.4 Drift value of actual longitude compared with nominal one at ascending nodes of each cycle of orbit during one repeat cycle

4 脈沖軌道控制策略

4.1 控制策略設(shè)計

對于任何采用回歸軌道的空間任務(wù)，要面臨的一個主要問題是：當衛(wèi)星偏離參考軌道一定范圍時，需要施加周期性控制以恢復(fù)至回歸軌道條件，否則任由偏差增大將導(dǎo)致任務(wù)失敗。根據(jù)第3節(jié)所確定的回歸軌道初值，衛(wèi)星在經(jīng)過一個或若干個回歸周期后終止狀態(tài)將會偏離初始狀態(tài)。因此，為消除該偏差，本節(jié)設(shè)計一種脈沖軌道控制策略以進行軌道維持，步驟如下：

步驟1 根據(jù)在軌道設(shè)計階段所提出的設(shè)計方法，可得到滿足多目標函數(shù)（9）的回歸軌道初值。

步驟2 對所得到初值進行軌道積分，得到與設(shè)計階段采用的時間長度（一個或者多個回歸周期）相同的軌道狀態(tài)，并利用此時的軌道狀態(tài)重新構(gòu)造微分代數(shù)映射。

步驟3 為得到下一個（或多個）回歸周期內(nèi)的初值，即脈沖控制的目標值，利用在步驟2中重新構(gòu)造得到的微分代數(shù)映射，通過優(yōu)化方法對控制問題，即式（10）進行求解。

步驟4 根據(jù)步驟2得到的第一個（或者多個）回歸周期結(jié)束時的末狀態(tài)量與步驟3得到的目標值的速度差值，即可獲得軌道控制所需要的速度脈沖。

在由上述軌道控制方法得到的速度脈沖作用下，所有的星下點軌跡將會維持在標稱軌跡附近期望的偏差閾值內(nèi)。需要說明的是，控制目標值是根據(jù)控制精度要求而決定的，為得到該目標值可將控制問題表示為

需要說明的是，采用微分代數(shù)方法所得到的Taylor多項式映射通常對多個回歸周期（一般為2～3個）均有效，可用來近似真實的軌道遞推結(jié)果。該映射可以通過地面離線計算得到，并在衛(wèi)星入境可見時上注至星載計算機，并在隨后的1～2個回歸周期內(nèi)（直至多項式精度發(fā)散）由星上進行多項式運算即可。由于多項式的計算僅涉及乘法和加法運算，且無需每個回歸周期內(nèi)均上注軌道控制指令，在線計算并不需要過多消耗星上有限的CPU計算資源和占用地面上行資源，便于星上進行軌道遞推計算，該優(yōu)點對星上自主軌道控制具有重要的作用。

4.2 嚴格精度情形

本節(jié)將說明具有嚴格精度要求的控制策略。在本情形下的算例中，取位置漂移、速度漂移和升交點赤經(jīng)漂移的閾值分別為10－6km、10－3km／s和10－7（°）／s以確定具有嚴格精度要求的軌道目標狀態(tài)量。為保持一致性，本節(jié)同樣以在設(shè)計階段所采用的4個實際回歸軌道任務(wù)模式為例。

實施脈沖軌道控制前后的2個回歸周期的狀態(tài)量如表1～表4所示，各表的第2列和第4列中的位置、速度分別為開始第1個和第2個回歸周期的初始條件，而第3列和第5列中的位置、速度分別為第1個和第2個回歸周期結(jié)束時的終止狀態(tài)。在第1個回歸周期結(jié)束時，通過施加脈沖控制使衛(wèi)星到達目標狀態(tài)，即第2個回歸周期的初始狀態(tài)，并隨后開始第2個回歸周期。所需的速度增量Δv只需通過對比第3列和第4列的速度分量即可，各回歸模式算例（TerraSAR-X、Landsat-8、IRSP6和SPOT-7）所需大小分別為6.8178 cm／s、6.6070 cm／s、9.7281 cm／s和13.8476 cm／s。通過以上脈沖機動，即可將軌跡偏差維持在給定閾值內(nèi)，并滿足嚴格的精度要求。

表1 TerraSAR-X回歸模式算例軌道控制結(jié)果Table 1 Orbital control results of Terr aSAR-X repeat pattern

表2 Landsat-8回歸模式算例軌道控制結(jié)果Table 2 Orbital control results of Landsat-8 repeat pattern

表3 IRS-P6回歸模式算例軌道控制結(jié)果Table 3 Or bital contr ol results of IRS-P6 repeat patter n

表4 SPOT-7回歸模式算例軌道控制結(jié)果Table 4 Orbital control results of SPOT-7 repeat patter n

不同于采用調(diào)節(jié)半長軸平根的方式進行軌道維持，本文方法直接通過速度修正進行軌道控制，改變瞬時軌道根數(shù)，如圖5～圖7所示。圖中各軌道圈次升交點處半長軸a、軌道傾角i和升交點赤經(jīng)漂移率Ω·均為在真赤道坐標系下的值，nN為無量綱值。此外，圖7中虛線為地球繞太陽運動角速度ωS的大小。由仿真結(jié)果可知，各參數(shù)在施加軌道控制前后保持連續(xù)變化，且半長軸與升交點赤經(jīng)漂移率均保持在固定的區(qū)間內(nèi)。

圖5 施加脈沖機動前后半長軸的演化Fig.5 Evolution of semi-major axis before and after impulsive maneuvers

圖6 施加脈沖機動前后軌道傾角的演化Fig.6 Evolution of inclination before and after impulsive maneuvers

圖7 施加脈沖機動前后升交點赤經(jīng)漂移率的演化Fig.7 Evolution of drift rate of right ascension of ascending node before and after impulsive maneuvers

因此，基于嚴格回歸軌道條件的軌道設(shè)計及每個回歸周期施加一次脈沖機動的軌道控制方法可以用來完成具有嚴格精度要求的回歸軌道任務(wù)。

4.3 寬松精度情形

考慮到在實際任務(wù)設(shè)計中，存在著對精度要求比較寬松的情況，如允許設(shè)計軌道同標稱軌道之間存在一定的偏差，此時不必如嚴格精度情形那樣在每個回歸周期內(nèi)均進行一次脈沖機動控制，從而對燃料的消耗也將隨之大大減少。

本節(jié)以薩瑞衛(wèi)星技術(shù)有限公司實施的UoSAT-12地球觀測任務(wù)［15］為例，對寬松精度情形下的軌道控制策略進行說明，并將所得結(jié)果同已知結(jié)果［2］進行對比。

UoSAT-12衛(wèi)星質(zhì)量為300 kg，軌道傾角為64.75°，高度約為650 km，軌道回歸模式為7天102圈。由于該軌道不是太陽同步軌道，在求解作為初始猜測的不動點時，需將太陽同步約束替換為傾角約束。基于微分代數(shù)方法求解得到的Poincaré映射（7）在多個回歸周期內(nèi)也具有可靠的精度，故只需要在完全引力攝動模型下進行一次軌道遞推得到映射（7）的Taylor多項式，并隨后通過代入多項式計算即可近似軌道遞推結(jié)果（在本例中需代入求解2次）。由此，可以確定3個回歸周期內(nèi)的全部軌道狀態(tài)。采用寬松回歸條件進行軌道設(shè)計，容許實際軌跡相對標稱軌跡存在一定的漂移，但在第3個回歸周期時軌道狀態(tài)將返回至初始軌道狀態(tài)附近。

根據(jù)本例的控制要求，僅需初始位置與3個回歸周期后的終止位置偏差保持一定的距離范圍即可，則控制優(yōu)化問題（10）轉(zhuǎn)化為

且在本例中將距離閾值xt設(shè)定為2 km，以此說明回歸軌道寬松情形的控制策略。

由于采用代入Taylor多項式（7）的方法來近似求解本應(yīng)由軌道遞推得到的實際狀態(tài)量，先需要檢驗該方法的精度。對比采用微分代數(shù)方法得到的每一個回歸周期處的星下點軌跡經(jīng)度與在相同時機采用軌道遞推方法計算實際的經(jīng)度，結(jié)果如圖8所示。圖中：回歸周期個數(shù)m無量綱?？梢园l(fā)現(xiàn)，在3個回歸周期內(nèi)采用微分代數(shù)方法得到結(jié)果能較好地吻合利用軌道遞推方法所得到的結(jié)果。

圖8 基于微分代數(shù)方法和軌道遞推方法的經(jīng)度對比結(jié)果Fig.8 Comparison of longitude values obtained by DA-based orbital propagation and numerical integration-based orbital propagation

如前所述，采用微分代數(shù)方法利用寬松回歸條件，僅涉及1個回歸周期內(nèi)的軌道遞推和另外2次Taylor多項式的代入求值，相比于直接采用3個回歸周期內(nèi)的軌道遞推方法，大大減少了計算量，實現(xiàn)了軌道的快速和準確的設(shè)計。在3個回歸周期內(nèi)升交點處的實際和標稱經(jīng)度值的對比結(jié)果如圖9（a）所示，相應(yīng)地，二者的偏差表示如圖9（b）所示，圖中nN無量綱。

根據(jù)本節(jié)的軌道控制策略和寬松精度要求，可得到軌道控制前后6個回歸周期內(nèi)的軌道狀態(tài)量如表5所示，回歸軌道的初值如第2列所示，在前3個回歸周期內(nèi)起始于該狀態(tài)的軌道將會首先發(fā)生漂移，如表5中的第3列狀態(tài)量所示，該過程的經(jīng)度偏差已表示在圖9（b）中；在第3個回歸周期時施加脈沖機動Δv，其結(jié)果由第4列與第3列的速度差值計算得到。圖10給出了在隨后的3個回歸周期內(nèi)，實際軌跡與初始狀態(tài)的經(jīng)度偏差，可見不超過0.00163°，約為1.81 km。相應(yīng)地，軌道控制施加前后軌道在真赤道坐標系下的半長軸和軌道傾角的變化關(guān)系如圖11所示?？刂祁l率為每3個回歸周期（21天）進行1次軌道控制，所施加的脈沖控制量大小Δv為3.8583 cm／s，平均每天僅需要1.8373 mm／s的控制消耗。該結(jié)果同文獻［2］給出的結(jié)果（每天1次軌道控制，平均每次軌道控制量為3.6 mm／s，軌跡漂移平均值為2.72 km）一致，但是本文提出的方法基于完全引力攝動模型，且所需軌道控制頻率低、軌道控制計算效率高同時具有更好的軌跡抑制效果（偏差不超過1.81 km）。

圖9 三個回歸周期內(nèi)經(jīng)度的實際值與標稱值對比Fig.9 Comparison of actual and nominal longitude values during three repeat cycles

圖10 軌道控制后軌跡經(jīng)度與其初始值的偏差Fig.10 Deviation of actual orbital longitude from initial longitude after orbital control

圖11 六個回歸周期內(nèi)半長軸和軌道傾角的演化Fig.11 Evolution of semi-major axis and inclination within six repeat cycles

表5 寬松精度情形下軌道控制結(jié)果Table 5 Orbital control results for loose-accuracy scenario

5 結(jié) 論

1）面向嚴格和寬松任務(wù)約束的回歸軌道任務(wù)，提出了基于微分代數(shù)的高階Poincaré映射方法，解決了在完全高精度引力模型下回歸軌道設(shè)計與控制問題。

2）針對嚴格任務(wù)約束，在每個回歸周期內(nèi)均要求初始與終止軌道狀態(tài)量相等，且在每個回歸周期內(nèi)施加一次脈沖機動。針對寬松任務(wù)要求，通過Poincaré映射代替軌道積分，實現(xiàn)了在多個回歸周期內(nèi)的一次軌道設(shè)計和在此時間內(nèi)的一次脈沖控制。

3）本文方法可極大地減少計算量，并具有對計算資源依賴較小的優(yōu)勢，便于星上自主進行軌道遞推計算，可用于星上自主軌道維持。