無窮乘積的斂散性判別準則與性質(zhì)研究

張 輝，許 娟

（安慶師范大學數(shù)理學院，安徽 安慶 246133）

無窮級數(shù)理論是“數(shù)學分析”[1]課程中非常重要的內(nèi)容,在現(xiàn)行的教材中已經(jīng)做了較為全面的闡述，特別是對正項級數(shù)的斂散性理論有較為深入的探討。本文的主要工作是對無窮乘積的斂散性做一些基本研究，這部分內(nèi)容在現(xiàn)有教材中沒有涉及，相關(guān)文獻[2-4]討論的也不夠具體。作為和無窮級數(shù)相對應的一種形式，無窮乘積在許多場合都會遇到，因此一個較為本質(zhì)的闡述有助于更好地理解無窮乘積的有關(guān)特征。

1 無窮乘積斂散性的概念

關(guān)于無窮乘積斂散性的基本概念，在不同的教材或講義中說法不同，但本質(zhì)上是一樣的，本文的定義主要參考文獻[5]。

定義1給定數(shù)列，稱為無窮乘積。

為了更好地刻畫無窮乘積的斂散性概念，將無窮乘積的前n項之積記為，并稱An為無窮乘積的前n項部分積。

定義2如果部分積數(shù)列收斂于A（即=A），則稱無窮乘積收斂，并稱A為無窮乘積的積，記作。如果是發(fā)散數(shù)列，則稱無窮乘積發(fā)散。

有了無窮乘積斂散性的概念后，可以利用定義來判斷其斂散性。

例1證明。

證明記，將上式兩邊同時乘上，則有

一般情況下，部分積數(shù)列的極限很難求出，想要通過直接求部分積數(shù)列的極限來判斷無窮乘積的斂散性非常困難，因此，尋找一些有效的判別準則就尤為重要。

2 無窮乘積斂散性判別準則

在進行斂散性判別討論之前，首先給出無窮乘積收斂的必要條件，這個結(jié)果在文獻[4]中有描述，這里給出一個更加簡單的證明方法。

定理1無窮乘積收斂于非零值的必要條件是=1。

證明不妨假設(shè)=A＞0，則存在N∈?+，使得對于任意的n＞N，有An＞0，則有

注1定理1的結(jié)果說明如果無窮級數(shù)收斂于非零值，則數(shù)列中負數(shù)至多只有有限個。為了避免負數(shù)帶來技術(shù)上的混淆，本文只討論an＞0的情形。

注2對于收斂于零值的無窮乘積級數(shù)，定理1的必要性并不一定成立，例如取an=，則有

考慮到無窮級數(shù)于無窮乘積之間的聯(lián)系，可以將無窮乘積改寫為指數(shù)形式：

由式（1）可以看出

上面的關(guān)系式（2）并不是相互等價的，只是一個充分條件，因為如果級數(shù)，則無窮乘積收斂到零。為了使級數(shù)理論能夠更好地應用到無窮乘積上去，下面分兩種情形來進行討論。

情形1當an＞1時，顯然不可能出現(xiàn)，因此有

從而，在an＞1情形下關(guān)系式（2）便是相互等價的，故可以利用正項級數(shù)的判別準則來判定無窮乘積的斂散性，于是可得無窮乘積的極限形式的比式判別法和根式判別法。

定理2（比式判別法）若=q，則當q＜1時，無窮乘積收斂；當q＞1或q=+∞時，無窮乘積發(fā)散。

定理3（根式判別法）若=l，則當l＜1時，無窮乘積收斂；當l＞1或q=+∞時，無窮乘積發(fā)散。

注3值得指出的是，類似于無窮級數(shù)，當q=1或l=1時，上述判別準則無法判別，例如事實上是發(fā)散的，但是，因此不能直接利用比式判別法或根式判別法進行判斷，對于此種情形可以利用如下的判別法進行判斷。

定理4如果正項級數(shù)收斂，則收斂。

證明收斂時，利用無窮小的性質(zhì)，有

情形2當an＜1時，因為可能出現(xiàn)的情形，所以沒有關(guān)系式（2）所表達的等價形式，利用收斂收斂，則有如下的判別準則。

定理5（1）若=q，則當q＜1時，無窮乘積收斂；（2）若=l，則當l＜1時，無窮乘積收斂。

顯然，定理5只給出了q＜1和l＜1時的判別準則，對于q＞1或l＞1時，定理5似乎并沒有給出無窮乘積發(fā)散的判別準則。事實上，在此種情形下，無窮乘積不可能出現(xiàn)發(fā)散的現(xiàn)象。為了更好地闡述此種情形，給出如下定理。

定理6假設(shè)數(shù)列{an}(an＞0)是一個嚴格單調(diào)遞增的數(shù)列，則數(shù)列{an}一定是收斂于某一個確定的值或者收斂于非正常極限+∞。

證明不妨假設(shè){an}不收斂于一個確定的值，如果也不收斂于+∞，由單調(diào)性可知，一定存在M＞0，使得對于任意的n∈N，都有an＜M，即數(shù)列有界，而根據(jù)單調(diào)有界原理可知，數(shù)列{an}一定收斂，這與假設(shè)矛盾，從而結(jié)論成立。

利用定理6可以得到，當an＜1時，級數(shù)的斂散性只有兩種情形，即收斂于一個確定的值或，再結(jié)合式（2）可知無窮乘積一定收斂。

例2考察無窮乘積的斂散性。

分析借助無窮級數(shù)的斂散性來考察，由于無窮級數(shù)，而

3 無窮乘積斂散性質(zhì)

通過上述研究發(fā)現(xiàn)，收斂的無窮乘積可以轉(zhuǎn)換成收斂的正項級數(shù)。一個有趣的問題是能否將收斂的正項級數(shù)的一些性質(zhì)推廣到無窮乘積。下面的性質(zhì)就是正項級數(shù)理論中柯西定理的推廣。

性質(zhì)1若無窮乘積與分別收斂于A、B，則無窮乘積收斂于AB。

證明不妨假設(shè)和的部分積分別為An和Bn，則的部分積為

由極限的乘積運算性質(zhì)可知

性質(zhì)2若無窮乘積分別收斂于A、B≠0，則無窮乘積收斂于。

注4需要指出的是無窮級數(shù)的性質(zhì)不是都可以推廣到無窮乘積上去，如無窮乘積與分別收斂，卻不能推導出也收斂。

4 結(jié)束語

本文從無窮乘積定義出發(fā)，通過取對數(shù)的方法，將無窮乘積問題與無窮級數(shù)關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化，結(jié)合無窮級數(shù)理論對無窮乘積的斂散性給出了一些基本且必要的討論，包括無窮乘積的斂散性判別準則、無窮乘積的斂散性性質(zhì)等。雖然探討這些方法和性質(zhì)的出發(fā)點相對比較樸素，但是對于今后進一步深入研究無窮乘積斂散性的理論是非常必要的。