基于粒子群算法的磁懸浮列車控制參數(shù)優(yōu)化

苗 欣，李言民，江守亮，金 浩

(1.中車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司，山東 青島 266111；2.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191)

1 引言

高速磁浮列車以其與軌道無摩擦、低噪聲等優(yōu)勢，目前已成為軌道交通領(lǐng)域內(nèi)研究的熱點(diǎn)。磁懸浮控制系統(tǒng)是磁浮列車的核心部分，其動態(tài)性能的好壞決定了列車系統(tǒng)的舒適性與安全性，因此對懸浮控制系統(tǒng)性能的優(yōu)化就顯得十分必要。懸浮控制系統(tǒng)性能的優(yōu)化大致可分為控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化與控制參數(shù)優(yōu)化兩個(gè)方面：控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化包括電磁鐵結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、控制算法結(jié)構(gòu)優(yōu)化，如高溫超導(dǎo)和電磁混合懸浮[1]、永磁電磁混合懸浮[2]等，通過改變電磁鐵的物理結(jié)構(gòu)提升懸浮控制性能；龍鑫林、佘龍華等在文獻(xiàn)[3]提出的非線性控制方法，楊杰提出的懸浮系統(tǒng)的自擾控制算法方法[4]，又從控制算法結(jié)構(gòu)上對懸浮控制系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。通過控制參數(shù)優(yōu)化可以在懸浮電磁鐵與控制器結(jié)構(gòu)不變的情況下，提升控制性能，對于優(yōu)化控制系統(tǒng)、指導(dǎo)調(diào)試車輛更具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。優(yōu)化控制參數(shù)方法可以結(jié)合經(jīng)典控制理論，如控制系統(tǒng)的隨機(jī)線性二次最優(yōu)原理[5]、零極點(diǎn)配置等方式，也可以依據(jù)時(shí)域或頻域的控制性能指標(biāo)，采用智能優(yōu)化算法迭代求解最優(yōu)參數(shù)組合，其實(shí)就等價(jià)為一定約束下的目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)問題，這種優(yōu)化思想在各種控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)多檔位行星變速傳動系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)優(yōu)化[6]，為降低齒輪傳動誤差，結(jié)合有限元計(jì)算，采用混沌蟻群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化[7]，利用改進(jìn)多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化商用車的懸架系統(tǒng)參數(shù)，改善了汽車行駛的平順性[8]，智能優(yōu)化算法以其理論要求低，便于靈活運(yùn)用的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各類控制系統(tǒng)優(yōu)化當(dāng)中。

本文采用單電磁鐵懸浮控制系統(tǒng)模型，通過改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法，使懸浮控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與理想傳遞函數(shù)進(jìn)行擬合，最終懸浮控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性與理想傳遞函數(shù)動態(tài)響應(yīng)特性達(dá)到一致，從而優(yōu)化了懸浮控制系統(tǒng)的軌道跟蹤特性。

2 基于粒子群算法的參數(shù)優(yōu)化

2.1 磁懸浮控制系統(tǒng)特性

磁懸浮列車的懸浮控制系統(tǒng)的最小系統(tǒng)為單電磁鐵懸浮系統(tǒng)，一般而言，對于復(fù)雜控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，需要對系統(tǒng)進(jìn)行降階處理，減少模型自由度；另一方面基于Gottzein E提出“磁輪”[9]概念，TR系列的磁懸浮列車各懸浮點(diǎn)間耦合度大大降低，因此為便于分析磁浮列車的懸浮控制性能，一般建立單自由度磁懸浮控制模型圖1。

圖1 懸浮控制系統(tǒng)

其中，u(t)為電磁鐵電壓、i(t)為電磁鐵電流、m電磁鐵的質(zhì)量，f(t)為懸浮力，s(t)為電磁鐵的測量間隙，h(t)為軌道面與參考面距離，z(t)為電磁鐵與參考面距離。

系統(tǒng)的動力學(xué)方程

(1)

電磁力模型

(2)

軌道與電磁鐵位置關(guān)系:

z(t)=h(t)+c(t)

(3)

電學(xué)方程

(4)

(5)

其中，fd為干擾力，φ電磁鐵的磁鏈，R為電阻，A為電磁鐵的有效面積，μ0為空氣磁導(dǎo)率。

基于以上方程，得到線性化的傳遞函數(shù)如下[10]

(6)

其中

根據(jù)勞斯定律，該系統(tǒng)為本質(zhì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，因此需要進(jìn)行閉環(huán)控制，引入間隙變化的微分量，增加特征方程的一次項(xiàng)，使系統(tǒng)變得穩(wěn)定。

間隙變化的微分量一般可以通過如下兩種方式獲得：間隙的微分、加速度的積分。一方面，利用間隙傳感器對間隙測量會對系統(tǒng)引進(jìn)高頻噪聲，在微分環(huán)節(jié)的作用下，電磁鐵會產(chǎn)生高頻振動；另一方面加速度信號低頻測量性能較差，在加速度積分的作用下，易產(chǎn)生零點(diǎn)漂移等，因此為避免以上兩個(gè)缺點(diǎn)，構(gòu)建二階的觀測器，綜合利用兩種傳感器的信息對間隙變化率進(jìn)行估計(jì)，其結(jié)構(gòu)如下[11]圖2所示。

圖2 懸浮控制系統(tǒng)模型

通過以上觀測器可以得到估計(jì)后的加速度ao、間隙變化速度vo、間隙變化量so，并將以上的觀測量加權(quán)求和，得到電磁鐵的實(shí)時(shí)控制量，實(shí)現(xiàn)了帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制。在穩(wěn)定懸浮10mm時(shí)，以相對于參考面的軌道面變化Δh(t)為輸入，電磁鐵相對于參考面的位置變化Δz(t)為輸出，可以得到線性化的傳遞函數(shù)

(7)

在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，對于Ka、Kv、Ks不同取值，該控制系統(tǒng)的帶控制帶寬、阻尼也會有所不同，從而決定了控制系統(tǒng)的性能。

2.2 磁懸浮控制參數(shù)優(yōu)化原則

在高速運(yùn)行時(shí)，為防止車輛撞擊軌道、保證乘客安全，在較低頻段的軌道面變化時(shí)，如彎道、梁跨、緩和曲線等，保證足夠的穩(wěn)定裕度，而對軌道錯(cuò)臺、梁端轉(zhuǎn)角等高頻的軌道面變化不敏感。因此，對于25m長的高速磁浮的標(biāo)準(zhǔn)軌道梁，在列車最高時(shí)速600km/h下會存在6.7Hz左右的軌道梁特征頻率，為保證列車安全性與舒適性，懸浮控制系統(tǒng)的帶寬應(yīng)需要設(shè)計(jì)為6.7Hz，同時(shí)要降低帶寬內(nèi)的諧振峰值，使帶寬內(nèi)的幅頻特性較為平坦。

對于阻尼比ζ、無阻尼振蕩角頻率為ωn的二階系統(tǒng)而言，其傳遞函數(shù)為

(8)

由圖3、圖4可知，當(dāng)阻尼ζ=0.707時(shí)，對于5%的誤差帶，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間最短[12]；超調(diào)量為4.3%，相對較低;其自然頻率即為傳遞函數(shù)的帶寬，并且?guī)拑?nèi)無諧振峰值，因此根據(jù)以上分析，以阻尼ζ=0.707、ωn=6.6Hz得到的理想系統(tǒng)，在保證響應(yīng)能力的同時(shí)，超調(diào)量相對較小，具有很好的較好的綜合性能，綜上所述，可以得到如下的理想函數(shù)

圖3 超調(diào)量(左)、不同誤差帶下調(diào)節(jié)時(shí)間(右)與阻尼關(guān)系

圖4 不同阻尼比的幅頻特性

(9)

對于實(shí)際懸浮控制系統(tǒng)模型，可以通過迭代算法尋找Ka、Kv、Ks使得懸浮控制系統(tǒng)與理想系統(tǒng)性能近似，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的近似，達(dá)到保證懸浮系統(tǒng)在指定帶寬情況下，具有較好的動態(tài)性能?？紤]到電磁鐵懸浮控制系統(tǒng)是一個(gè)較強(qiáng)的慣性系統(tǒng)，具有典型的低通特性，因此可以得到如下結(jié)論：

1)低頻帶內(nèi)Gaim(s)與Gmag(s)特性差別不大，幅頻曲線都較為平坦，此時(shí)懸浮控制系統(tǒng)對緩和曲線、彎道具有較好的跟蹤性。

2)中頻帶對系統(tǒng)的動態(tài)性能具有重要作用。

3)高頻帶內(nèi)，由于實(shí)際系統(tǒng)的動態(tài)特性與Gaim(s)慣性作用特性一致，都具有大幅度的衰減特性。

因此，對于兩個(gè)系統(tǒng)的擬合主要著眼于低頻帶末端以及中頻帶，為使兩個(gè)系統(tǒng)的性能相近，以ωn為中心，設(shè)置擬合的頻帶為[ωn-Δωωn+Δω]，若按照一定原則保證兩個(gè)系統(tǒng)在該頻帶內(nèi)近似，就能實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)與理想系統(tǒng)的動態(tài)特性擬合。

對[ωn-Δωωn+Δω]進(jìn)行N點(diǎn)均勻等分，對于ωi頻率下的理想系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與懸浮控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)域的差值為

Δi=Gmag(s)-Gaim(s)

=|Gmag(jωi)|eφ(jωi)-|Gaim(jωi)|eφ(jωi)

(10)

對于[ωn-Δωωn-Δω]內(nèi)所有的頻率點(diǎn)，設(shè)置目標(biāo)函數(shù)指標(biāo)如下

(11)

該指標(biāo)本質(zhì)上是Δh(t)為輸入、Δz(t)為輸出的閉環(huán)控制系統(tǒng)與理想系統(tǒng)的奈奎斯特曲線擬合(如圖5)，即在指定固定的頻帶內(nèi)，使目標(biāo)系統(tǒng)和懸浮控制系統(tǒng)該復(fù)數(shù)坐標(biāo)系下擬合，就能確定閉環(huán)系統(tǒng)輸入和輸出的幅值相位關(guān)系，從而保證懸浮控制系統(tǒng)與目標(biāo)系統(tǒng)動態(tài)行為上的一致。

圖5 系統(tǒng)奈奎斯特曲線擬合原理

此外，對于如果將懸浮控制系統(tǒng)的等價(jià)為二階系統(tǒng)，那么Bode圖上低頻段等效的諧振頻率和增益的峰值為

(12)

(13)

ΔA=|Aaim-Amag|→0

(14)

同時(shí)，為保證系統(tǒng)的帶寬，設(shè)置帶寬指標(biāo)如下

Δω=|ωaim-ωmag|→0

(15)

圖6 ΔA、Δω指標(biāo)

基于以上的分析，最終設(shè)置目標(biāo)函數(shù)如下

J(Ka，Kv，Ks)=αΔd+βΔA+γΔω

(16)

其中α、β、γ為加權(quán)因子，隨著Ka、Kv、Ks不同取值，J的值也會隨之變化，通過一定的計(jì)算方法得到J的最小值，就可以找到最優(yōu)化后的懸浮控制參數(shù)組合。

2.3 改進(jìn)粒子群優(yōu)化方法

粒子群算法是由J.Kennedy和R.C.Eberhart最早提出[13]，參考動物的群體性行為規(guī)律設(shè)計(jì)的智能算法，具有算法靈活調(diào)整、收斂速度快、原理簡單的特點(diǎn)，在智能控制、函數(shù)優(yōu)化等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[14][15]。

假設(shè)有N個(gè)粒子的群落，其中第k個(gè)粒子的位置可以用一個(gè)D維度的空間向量表示

xk=(xk1，xk2，…xkD)

(17)

對于每個(gè)粒子，每一次迭代移動的速度向量為

vk=(vk1，vk2，…vkD)

(18)

vk由有三部分組成

vk=ωvk-1+c1r1(xlocal-xk-1)+c2r2(xglobal-xk-1)

(19)

其中，ω為權(quán)重因子，vk-1為前一次迭代時(shí)的速度向量，c1、c2為學(xué)習(xí)因子，r1、r2為[0 1]之間的隨機(jī)數(shù)，xlocal為第k個(gè)粒子的歷史最優(yōu)值，xglobal為全部粒子的歷史最優(yōu)值。

位置更新方程

xk=xk-1+vk

(20)

根據(jù)優(yōu)化計(jì)算的指標(biāo)要求，選取適宜的目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)多次迭代后，即可找到參數(shù)xk的優(yōu)化值。但是這種方式下，粒子在迭代初始尋優(yōu)過程中，易進(jìn)入局部最優(yōu)值的情況，為減小進(jìn)入局部最優(yōu)的可能性，對速度的向量方程作如下改進(jìn)

vk=ωivk-1+ci(xlocal-xk-1)+di(xglobal-xk-1)+eirxk-1

(21)

其中，權(quán)重參數(shù)ωi、ci、di、ei隨著迭代次數(shù)增加的線性遞減，r為[0 1]之間的隨機(jī)數(shù)。

在迭代初期ωi、ci、di、ei相對較大，各個(gè)粒子在空間內(nèi)運(yùn)動比較劇烈，增強(qiáng)了全局收斂內(nèi)能力，迭代晚期數(shù)值較小，保證了的局部收斂能力此外，由于隨機(jī)因子r從粒子的自主學(xué)習(xí)和社會學(xué)習(xí)中剝離，使得粒子慣性更強(qiáng)，收斂更為快速。為盡量減少陷入局部最優(yōu)的可能，可以采用試湊的方法，找到較為接近目標(biāo)系統(tǒng)的一組參數(shù)x(Ka、Kv、Ks)，作為迭代計(jì)算的粒子初始位置，可置粒子邊界范圍

[(1-η)x(Ka，Kv，Ks) (1+η)x(Ka，Kv，Ks)]

其中，0.5<η<1為邊界調(diào)整因子。

此外，在迭代優(yōu)化中，需要設(shè)置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的邊界條件，保證每個(gè)參數(shù)下系統(tǒng)特征根位于虛軸左側(cè)，剔除使系統(tǒng)不穩(wěn)定的控制參數(shù)組合。

2.4 仿真結(jié)果

基于以上分析，設(shè)計(jì)粒子群算法粒子的初始位置為x(Ka，Kv，Ks)=x(300、900、150000)，取帶寬頻率ωn=6.7Hz，Δω=6.3Hz，需要擬合的頻帶范圍為[0.4Hz 13Hz]，其中[0.4Hz 6.7Hz]為低頻帶，以保證系統(tǒng)的低頻特性，[6.7Hz 13Hz]保證系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性，以粒子數(shù)N=500，迭代次數(shù)為500進(jìn)行迭代運(yùn)算，優(yōu)化后的粒子位置為x(174.57、1453.5、122589.3)，目標(biāo)函數(shù)值、奈奎斯特曲線、閉環(huán)系統(tǒng)bode圖的收斂過程如下。

圖8 系統(tǒng)閉環(huán)奈奎斯特曲線收斂過程

圖9 系統(tǒng)幅頻曲線收斂過程

如圖7，從優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值的收斂過程來看，粒子群的初期收斂速度較快，具有較強(qiáng)的全局搜索能力，晚期的收斂過程較慢，保證了晚期的局部收斂精度。隨著迭代進(jìn)行，奈奎斯特曲線和bode圖在固定帶寬[0.4Hz 13Hz]內(nèi)逐漸接近，諧振峰值逐漸減小，同時(shí)帶寬逐漸靠近目標(biāo)帶寬，達(dá)到了控制目標(biāo)。

圖7 優(yōu)化目標(biāo)值的收斂過程

3 硬件在環(huán)試驗(yàn)結(jié)果

dSPACE半實(shí)物仿真系統(tǒng)是由德國dSPACE公司研發(fā)的，是一種基于MATLAB/Simulink軟件的控制系統(tǒng)開發(fā)及半實(shí)物仿真的軟硬件實(shí)驗(yàn)平臺，可以非常方便的結(jié)合MATLAB/Simulink進(jìn)行半實(shí)物仿真。dSPACE實(shí)時(shí)系統(tǒng)擁有實(shí)時(shí)性強(qiáng)，可靠性高，擴(kuò)充性好等優(yōu)點(diǎn)[16]。采用SCALEXIO型號半實(shí)物仿真機(jī)搭建硬件在環(huán)的試驗(yàn)系統(tǒng)如圖10。

圖10 懸浮控制硬件在環(huán)試驗(yàn)平臺

其中，工控機(jī)用于仿真模型的搭建，快速原型電路用于運(yùn)行磁懸浮控制算法，SCALEXIO仿真用于運(yùn)行電磁鐵模型、列車動力學(xué)模型、傳感器模型等，它們之間通過信號線連接形成閉環(huán)控制回路。

首先將系統(tǒng)模型各部分離散化，將控制算法通過Simulink的Embeded Coder工具包轉(zhuǎn)換控制代碼后運(yùn)行在快速原型電路，然后在仿真機(jī)中編輯軌道不平順激勵，傳感器模型測量間隙和加速度信號，通過線纜傳輸?shù)娇焖僭碗娐分?，快速原型電路的控制算法?jì)算出控制電壓，將該控制電壓反饋到仿真機(jī)的電磁鐵模型，電磁鐵模型計(jì)算出懸浮力并作用到車輛動力學(xué)模型上，產(chǎn)生變化的間隙和加速度。

圖11 硬件在環(huán)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

假定軌道梁撓度為5mm[15]，以典型的25m長軌道梁為例，設(shè)置4Hz、6.7Hz時(shí)的半正弦激勵，并添加隨機(jī)不平順，分別模擬列車以350km/h、600km/h列車經(jīng)過梁跨的情景，以驗(yàn)證控制參數(shù)優(yōu)化方法的有效性，試驗(yàn)結(jié)果如圖12。

圖12 4Hz軌道激勵下的懸浮控制系統(tǒng)響應(yīng)

如圖12所示，當(dāng)列車運(yùn)行速度為350km/h，軌道激勵為4Hz時(shí)，懸浮控制系統(tǒng)在初值參數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)、優(yōu)化參數(shù)后的系統(tǒng)響應(yīng)、理想系統(tǒng)響應(yīng)下的電磁鐵振動的幅值分別為4.3mm、2.2mm、2.1mm。表明優(yōu)化參數(shù)后的懸浮控制系統(tǒng)與目標(biāo)系統(tǒng)動態(tài)行為相似，低頻跟隨性較好，能夠較為理想地跟蹤軌道。

如圖 13列車速度為600km/h時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)的軌道梁的激勵頻率為6.7Hz，懸浮控制系統(tǒng)在初值參數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)、優(yōu)化參數(shù)后的系統(tǒng)響應(yīng)、目標(biāo)系統(tǒng)響應(yīng)下的電磁鐵振動的幅值分別為4.2mm、1.6mm、1.4mm。初值參數(shù)下的懸浮控制系統(tǒng)，響應(yīng)比較劇烈，由于懸浮電磁鐵的具有較強(qiáng)非線性，電磁鐵容易控制失穩(wěn)或者與軌道吸死，而參數(shù)優(yōu)化后的懸浮控制系統(tǒng)與理想系統(tǒng)響應(yīng)近似，具有很好的跟隨性，提高了列車舒適度和安全性。

圖13 6.7Hz軌道激勵下的懸浮控制系統(tǒng)響應(yīng)

如圖14 對于8Hz及以上軌道激勵，可以認(rèn)為是懸浮控制系統(tǒng)需要抑制的軌道不平順，系統(tǒng)此時(shí)不應(yīng)跟蹤軌道梁，初值參數(shù)下、優(yōu)化參數(shù)下的懸浮控制系統(tǒng)與理想系統(tǒng)電磁鐵振動的幅值分別為2.1mm、1.4mm、1.1mm。初值參數(shù)下的懸浮控制系統(tǒng)，階躍響應(yīng)振動劇烈，控制參數(shù)優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)較為平緩，列車舒適度和安全性得到了提高。

圖14 8Hz軌道激勵下的懸浮控制系統(tǒng)響應(yīng)

磁懸浮列車系統(tǒng)在長期的運(yùn)營當(dāng)中，可能出現(xiàn)地基下沉等現(xiàn)象，會導(dǎo)致的軌道梁錯(cuò)臺的產(chǎn)生，列車高速通過時(shí)，測量間隙的產(chǎn)生階躍，引起懸浮控制系統(tǒng)振蕩收斂，影響列車乘坐舒適度。

在仿真機(jī)中模擬5mm的軌道階躍[17]如(圖 15)，發(fā)現(xiàn)初值參數(shù)下、優(yōu)化參數(shù)下的懸浮控制系統(tǒng)與理想系統(tǒng)電磁鐵振動的超調(diào)量分別為37%、11%、4.8%。動態(tài)調(diào)節(jié)時(shí)間為分別為0.95s，0.3s，0.11s，因此優(yōu)化后的控制參數(shù)在系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性都顯著提高。

圖15 5mm的軌道階躍響應(yīng)

4 結(jié)論

高速列車懸浮控制動態(tài)特性與控制參數(shù)關(guān)系密切，通過優(yōu)化控制參數(shù)，使懸浮控制特性滿足安全和舒適度指標(biāo)更具有工程意義。針對目前時(shí)速600km/h磁浮列車尚未有試驗(yàn)線路的現(xiàn)狀，本文首先確定理想擬合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，再通過粒子群算法使系懸浮控制系統(tǒng)與理想傳遞函數(shù)近似，通過搭建的半實(shí)物仿真系統(tǒng)，對懸浮控制參數(shù)進(jìn)行了先期驗(yàn)證與參數(shù)優(yōu)化，經(jīng)半實(shí)物仿真驗(yàn)證，懸浮控制系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性得到了提高。

為提高擬合手段的精確性，對于指標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化、加權(quán)因子等的設(shè)定是需要進(jìn)一步研究的方向，此外考慮電磁鐵的非線性等因素，提高整個(gè)模型的建模精度對參數(shù)優(yōu)化方法的可靠性也有重要作用。