一道解析幾何選擇題的多維度思考

劉許友

在高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師經(jīng)常提倡學(xué)生進(jìn)行一題多解，鼓勵學(xué)生用發(fā)散思維解題，從多維度、多渠道思考問題.這不僅能激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)整學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的數(shù)學(xué)解題能力，開闊他們的思維，提高學(xué)生知識之間的聯(lián)系與應(yīng)用.在近期的一次課堂教學(xué)中，以一道?？贾谐霈F(xiàn)的圓錐曲線壓軸題為例，啟發(fā)學(xué)生多角度思考問題，達(dá)到了良好的課堂效果.

試題呈現(xiàn)：

已知橢圓C：x29+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線AP與直線y=-3交于點(diǎn)C，直線BP與直線y=-3交于點(diǎn)D，設(shè)直線AP的斜率為k，則滿足CD=36的k的所有值的和為（? ）.

A.-49 B.-94 C.49 D.94

尋找常規(guī)思路：設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，可以很容易寫出AP、BP方程，繼而求出與直線y=-3的交點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)，代入CD=36中探求斜率k滿足的關(guān)系，繼而求解.

解法一 設(shè)P（x0，y0），則直線PA方程為：

y=y0x0+3（x+3），它與直線y=-3的交點(diǎn)橫坐標(biāo)

xc=-3x0-3y0-9y0，同理PB方程為：y=y0x0-3（x-3），它與直線y=-3的交點(diǎn)橫坐標(biāo)xD=-3x0+3y0+9y0，由CD=36可得：CD=xC-xD=6+18y0=36，解得：y0=35或-37，此時點(diǎn)P對應(yīng)四個坐標(biāo)：P1（125，35），P2（-125，35），P3（6107，-37），P4（-6107，-37）.從而由k=y0x0+3得到四個k值：k1=19，k2=1，k3=-1210+7，

k4=1210-7.，故滿足條件的所有值之和為k1+k2+k3+k4=-49.

此種解法屬于通法，直接找到點(diǎn)P，求出斜率.思維量不大，但運(yùn)算稍顯麻煩.換種思維：已知直線PA斜率，要根據(jù)CD長度建立等式尋找k值，關(guān)鍵是找到PA、PB斜率之間的關(guān)系.我們能不能發(fā)現(xiàn)PA、PB斜率之間的關(guān)系呢？

解法二 設(shè)P（x0，y0），則kPA.kPB=y02x02-9=1-x029x02-9=-19.因為kPA=k，所以kPB=-19k，直線AP的方程為y=k（x+3），則C的橫坐標(biāo)xC=-3k-3，直線BP的方程為：y=-19k（x-3），則xD=27k+3.所以CD=xC-xD=27k+3k+6=36，整理得：9k2+14k+1=0或9k2-10k+1=0.易知滿足CD=36的k值共有4個，根據(jù)韋達(dá)定理可得這4個k值之和為-49.

這種解法不用解出k值，過程簡單.但思維的關(guān)鍵是要找到PA、PB斜率之間的關(guān)系.學(xué)生在做題時不一定能發(fā)現(xiàn).但換一種想法，如果利用坐標(biāo)變換將橢圓變換成圓，則A、B兩點(diǎn)為圓直徑兩端點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，這樣的話，是不是就很容易發(fā)現(xiàn)PA⊥PB，kPA.kPB=-1.

解法三 利用坐標(biāo)變換x′=13xy′=y，可將橢圓方程變換為：x′2+y′2=1.在該變換下A（-1，0），B（1，0）.設(shè)kPA=k′，由PA⊥PB，得kPA.kPB=-1.設(shè)P（x0，y0），則PA方程為y′=k′（x′+1），與直線y′=-3的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)xC′=-3k′-1.此時PB方程為y′=-1k′（x′-1），xD′=3k′+1.因為xC-xD=36，即3xC′-3xD′=36.所以3k′+3k′+2=12.整理得：3k′2-10k′+3=0或3k′2+14k′+3=0. 同算法一可知所有k′的和為-43，易知k=13k′，故所有k值之和為-49.

在這種變換下很容易發(fā)現(xiàn)PA、PB斜率之間的關(guān)系，求解也就變得簡單.但這種解法的難點(diǎn)在于要清楚在這種仿射變換下對應(yīng)量之間的關(guān)系，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化.

數(shù)形結(jié)合思想是解決解析幾何問題的重要思想方法.固有的思維是用“數(shù)”來解決“形”的問題，其實有些題型用“形”來解決更方便、更直觀.回到圖形當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)AB∥CD，AB、CD的長度已知，很容易想到了數(shù)形結(jié)合的方法.

解法四 （1）當(dāng)點(diǎn)P位于x軸上方時，如圖1所示，因為AB∥CD，所以ABCD=yPyP+3=16，解得：

yP=35，從而xP=±125.此時直線AP對應(yīng)兩個斜率值：k1=19，k2=1.

圖1

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時，如圖2所示，ABCD=yP3-yP=16，解得：yP=-37.從而xP=

±6107，此時直線AP斜率對應(yīng)兩個k3=

-1210+7，k4=1210-7.故所有k值之和為-49.

圖2

筆者認(rèn)為，要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，一定要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與數(shù)學(xué)思維能力.在解題教學(xué)過程中，教師如果能根據(jù)試題特點(diǎn)，選擇不同的解題方法和技巧，采用“一題多解或一題多變”的方法，常常會使學(xué)生達(dá)到耳目一新的感覺，可以使學(xué)生更積極主動地參與到課堂中去，培養(yǎng)了學(xué)生的信心，提高了他們解題的動力.

（收稿日期：2021-01-12）