影響折射率梯度各因素的研究

時(shí)威 李萍 楊成曉 張震 胡旭東 謝瑜 劉慧

摘要：為了探究各種因素對(duì)折射率梯度的影響，以2020年全國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽（CUPT）“甜蜜的海市蜃樓”這一題目為基礎(chǔ)，研究溫度、觀察角度和介質(zhì)對(duì)折射率梯度的影響。結(jié)合費(fèi)馬原理以及光學(xué)拉格朗日方程得到大氣內(nèi)的光線傳導(dǎo)的軌跡規(guī)律;改變?nèi)芤旱臐舛?、溫度等進(jìn)行多種實(shí)驗(yàn)，用Origin軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，探究了影響海市蜃樓現(xiàn)象的各種因素。研究結(jié)果表明：處于擴(kuò)散層內(nèi)的光線出現(xiàn)彎曲現(xiàn)象，并在該擴(kuò)散層發(fā)生全發(fā)射形成倒立像以及發(fā)生折射形成正立像。

關(guān)鍵詞：海市蜃樓;折射率梯度;光線傳播

在安靜的湖面、沙漠地帶以及海面等地方，在特定情況下，眼前可能會(huì)出現(xiàn)高聳著的亭臺(tái)樓閣、城市古堡以及其他現(xiàn)象，此類(lèi)虛幻形式的奇異景觀，如同處于仙界，此即為典型的海市蜃樓景觀[1]。這是在一定條件下發(fā)生的自然現(xiàn)象，比較少見(jiàn)，一般很難觀察到。其實(shí)這一現(xiàn)象為典型的大氣光學(xué)現(xiàn)象，光線基于各個(gè)密度的空氣層等影響之后出現(xiàn)折射，結(jié)合地形環(huán)境等多方面要素呈現(xiàn)出上現(xiàn)蜃景、下現(xiàn)蜃景和復(fù)雜蜃景等。上現(xiàn)蜃景主要表示光線在不同密度的空氣層中出現(xiàn)折射以及全發(fā)射等情況，使得構(gòu)成的虛像處在實(shí)物上層[2];與此相反的則是下現(xiàn)蜃景[3]。

近年來(lái)，人們對(duì)海市蜃樓現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行了模擬，并從理論上探究了產(chǎn)生海市蜃樓的原因。例如，于鳳軍對(duì)海市蜃樓發(fā)生時(shí)能夠返回地面的光線的初始角度進(jìn)行探討，從理論上初步解釋了海市蜃樓現(xiàn)象[4];房若宇對(duì)海市蜃樓現(xiàn)象進(jìn)行了理論模擬;黃思俞等人研究了海市蜃樓形成的理論分析與實(shí)驗(yàn)?zāi)M，有效制備出折射率和高度保持均勻梯度發(fā)展的鹽水溶液，分析指出實(shí)物景致的清晰可靠的上現(xiàn)蜃現(xiàn)象[5];尹學(xué)愛(ài)對(duì)海市蜃樓演示裝置進(jìn)行了改進(jìn)，可以快速、直觀地得到需要的結(jié)果，同時(shí)實(shí)驗(yàn)成功率也較高[6]。

雖然人們?cè)诶碚摵蛯?shí)驗(yàn)上得到了一定的結(jié)果，但是關(guān)于折射率梯度還有許多問(wèn)題值得研究。2020年全國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽（CUPT）中一道“甜蜜的海市蜃樓”題目：法塔莫干納是一種特殊形式的海市蜃樓的名字，而使用激光照射具有折射率梯度的流體時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生類(lèi)似的效果，請(qǐng)研究這一現(xiàn)象。本文以這道海市蜃樓題目為基礎(chǔ)，并考慮有關(guān)因素，來(lái)深入研究影響折射率梯度的各種因素。其中，本文中的實(shí)驗(yàn)是利用了濃度連續(xù)變化的蔗糖溶液來(lái)模擬連續(xù)變化的空氣，并且在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了上現(xiàn)蜃景。見(jiàn)圖1。

1 ? ?理論模型

我們用蔗糖配置具有折射率梯度的溶液。在玻璃容器中倒入清水，并在其中玻璃容器內(nèi)放入較大量的冰糖，靜置數(shù)小時(shí)以上，待大部分冰糖溶解即完成配液。糖水溶液的密度隨著濃度升高而逐步降低，對(duì)光的折射率則會(huì)逐步降低，繼而形成具有一定折射率梯度的溶液層，如果光線等經(jīng)過(guò)某層溶液時(shí)，則隨即出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)。根據(jù)文獻(xiàn)[2]，假定一束自然光a產(chǎn)生的光線按照i角度入射，自折射率為n的位置進(jìn)入溶液層，結(jié)合折射定律分析出：

n·sini=n1·sin·i1 ? ? ? ? ? ? ?（1）

n1·sin·i1=n2·sinr ? ? ? ? ? ? （2）

不難發(fā)現(xiàn)，如若i、n是定值情況下，因?yàn)閚1>n2得到r>i，故而自下端液體至上端液體的入射角持續(xù)增加，如果增加到臨界角的情況下，隨即出現(xiàn)全反射。如果人眼于a位置背著光Ab'觀測(cè)，即可發(fā)現(xiàn)基于全反射形成的倒立的影像。

利用人工配置的折射率連續(xù)變化的介質(zhì)，模擬光于非均勻介質(zhì)內(nèi)傳播過(guò)程中，能夠獲得光線彎曲情況和模擬大自然中轉(zhuǎn)瞬即逝的海市蜃樓現(xiàn)象。

1.1 根據(jù)費(fèi)馬原理推導(dǎo)大氣中光線傳播的軌跡方程

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，如圖2所示，當(dāng)光線自空間內(nèi)的具體點(diǎn)P經(jīng)過(guò)路徑C到達(dá)Q點(diǎn)，則所通過(guò)的空間折射率分布為n（x，y，z）情況下，經(jīng)過(guò)路程元ds的光程為：

（3）

結(jié)合費(fèi)馬原理，光線沿著光程是極值的路徑傳播，所以有

（4）

假設(shè)大氣折射率僅為高度z的函數(shù)，根據(jù)幾何關(guān)系運(yùn)算整理得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E微分方程為：

（5）

其中K為常數(shù)。假定折射率基于高度變化表現(xiàn)為指數(shù)形式：n=n0e-αz，其中n0為底層的空氣折射參量，α為正系數(shù)，則

（6）

分離變量并整理得光線在大氣中傳輸?shù)能壽E方程：

（7）

這之中α，n0，K，c分別選定合理的參量，該方程即為往上凸起的拋物線。

1.2 利用光學(xué)拉格朗日方程推導(dǎo)大氣中光線傳播的軌跡方程

結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)[5]，假定空氣折射率和高度之間的關(guān)系n=n0e-αz，綜合光學(xué)拉格朗日方程，獲得光線方程：

（8）

在近軸情況下ds≈dx，光線方程變?yōu)椋?/p>

（9）

因?yàn)閷?duì)稱性，只要求探討光線于XOZ平面中的傳導(dǎo)，解（9）式可得：

（10）

此式為一元二次方程，因?yàn)棣翞檎?，?0，所以光線的軌跡為一系列往上凸的拋物線。

2 ? ?實(shí)驗(yàn)分析

2.1 “海市蜃樓”影響因素的探究

先在玻璃容器里注入清水，用激光筆射入，觀察光路，可以發(fā)現(xiàn)激光通過(guò)清水的光路是一條直線。接著我們?cè)谘b有清水的玻璃容器里放入冰糖，靜置一段時(shí)間，冰糖溶液形成具有折射率梯度的液體。用激光筆射入，觀察光路，可發(fā)現(xiàn)糖溶液中由于存在折射層，光路是彎曲的，見(jiàn)圖3。

保持溶液溫度不變，改變?nèi)芤海ㄌ侨芤海┑臐舛龋^察光路偏離角度（與水平方向夾角），見(jiàn)表1。保持溶液濃度不變，改變?nèi)芤海ㄌ侨芤海┑臏囟?，觀察光路偏離角度（與水平方向夾角），見(jiàn)表2。用表中的數(shù)據(jù)作圖，可得到圖4和圖5。

由圖4可知，濃度越大，偏轉(zhuǎn)角度越大，折射現(xiàn)象越明顯;由圖5可知，溫度越大，偏轉(zhuǎn)角度越大，折射現(xiàn)象越明顯。

2.2 “海市蜃樓”現(xiàn)象的觀察

圖6 ?光路的軌跡

用激光從一側(cè)斜下方照射具有折射率梯度的溶液，發(fā)現(xiàn)光路朝上凸形成一條拋物線。建立如圖6所示的坐標(biāo)系XOZ，O、A兩點(diǎn)為拋物線與X軸的兩交點(diǎn)，B為拋物線的頂點(diǎn)，C為頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即OA中點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)中測(cè)量出：OA=12 cm，BC=1 cm。將O、A、B 3點(diǎn)坐標(biāo)分別代入（10）式中得：

解出：

所以有：

（11）

此式即為拋物線的軌跡方程。

然后，將帶箭頭的紅紙條貼在玻璃容器一側(cè)，在另一側(cè)觀察，見(jiàn)圖7。首先，保持溶液的濃度為60%，改變?nèi)芤旱臏囟?，觀察其產(chǎn)生的蜃景。發(fā)現(xiàn)溫度越高，產(chǎn)生的蜃景越清晰（見(jiàn)圖8）。其次，保持溶液的溫度為20°，改變?nèi)芤旱臐舛?，觀察其產(chǎn)生的蜃景，發(fā)現(xiàn)濃度越大，產(chǎn)生的蜃景越清晰（見(jiàn)圖9）。然后，我們從不同的位置來(lái)觀察，可以發(fā)現(xiàn)若人在較遠(yuǎn)（高）處，逆著彎曲的反射光線看去，可看到正立的圖像，如果人員處于較近位置，逆著光線來(lái)看，則能夠發(fā)現(xiàn)倒立的虛像。

3 ? ?結(jié)論

本文用理論模型和實(shí)驗(yàn)分析研究了各種因素對(duì)折射率梯度的影響。結(jié)果表明：“海市蜃樓”成因與溫度、觀察角度、介質(zhì)有關(guān)，這一現(xiàn)象主要基于光的折射導(dǎo)致的。觀察的視角差異導(dǎo)致出現(xiàn)成像差異，觀察的現(xiàn)象為倒立狀態(tài)或是正立形式，也只是和觀察所處的點(diǎn)位不同有關(guān)。如果所處位置較高，逆著光路光差，則能夠發(fā)現(xiàn)基于折射形成的正立虛像;如果處在較低的位置，逆著光路進(jìn)行觀察，則可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)全反射形成的倒立形式的虛像。

參考文獻(xiàn)

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