二維梯形沉積盆地放大效應(yīng)的數(shù)值模擬研究

包得志,榮棉水,喻 煙

(1.應(yīng)急管理部國(guó)家自然災(zāi)害防治研究院,北京 100085;2.北京工業(yè)大學(xué),北京 100124)

0 引言

“盆地效應(yīng)”是指入射到盆地內(nèi)部的地震波由于基巖和土層介質(zhì)阻抗比的差異,能量被捕獲于盆地內(nèi)沉積物中且難以向盆地外釋放,從而顯著地改變地震動(dòng)的頻率、振幅和持續(xù)時(shí)間并給盆地內(nèi)部建筑物造成嚴(yán)重的破壞。

1985年墨西哥大地震,距震中400 km外位于盆地中的墨西哥城震害十分嚴(yán)重,經(jīng)研究人員事后調(diào)查指出城市震害異常與該城市坐落于沉積盆地有關(guān)[1-2]。1995年日本神戶地震后在大阪盆地邊緣形成了一個(gè)長(zhǎng)約20 km、寬約1 km的條帶狀嚴(yán)重破壞區(qū),事后Hiroshi Kawase[3]通過(guò)數(shù)值模擬的方法研究發(fā)現(xiàn),由于介質(zhì)阻抗比的差異盆地邊緣處誘發(fā)了面波并和直達(dá)體波發(fā)生相干干涉使震動(dòng)增強(qiáng),并首先將這一現(xiàn)象定義為盆地的邊緣效應(yīng)。Bard和Bouchon[4]研究了P波和SV波入射兩個(gè)基巖和土層波速差異不同的二維盆地對(duì)比發(fā)現(xiàn),波速差異較大的寬盆地激發(fā)的瑞利面波的振幅比要比波速差異較小的盆地大。Khanbabazadeh等[5]分析了不同土質(zhì)類型和不同強(qiáng)度的入射波對(duì)二維盆地放大的影響,結(jié)果表明,不同土質(zhì)類型的盆地在不同激勵(lì)水平下的放大行為存在較大差異。另外Khanbabazadeh等[6]從微震調(diào)查和巖土工程調(diào)查獲得的數(shù)據(jù)建立了土耳其杜茲切盆地邊緣模型,發(fā)現(xiàn)傾斜的基巖對(duì)盆地邊緣特性影響很大。Zhu等[7]建立了二維淺層盆地的數(shù)值模型,并將其響應(yīng)與工程上常用的一維響應(yīng)分析做比較,來(lái)分析側(cè)向非均質(zhì)性引起的附加放大效應(yīng)。陳國(guó)興等[8]利用收集到的鉆孔及其他地質(zhì)資料建立了福州盆地的仿真模型并用地震波垂直入射,發(fā)現(xiàn)在盆地邊緣處產(chǎn)生明顯的邊緣效應(yīng),在幾何形狀突變處聚焦效應(yīng)明顯。劉中憲等[9]利用間接邊界元法研究了半空間橢球形沉積盆地對(duì)地震動(dòng)響應(yīng),結(jié)論是盆地形狀對(duì)地震動(dòng)放大效應(yīng)和空間分布特征具有明顯的影響。李雪強(qiáng)[10]采用顯式有限元法研究了盆地基巖傾角和覆蓋層厚度對(duì)盆地內(nèi)面波發(fā)育及盆地邊緣效應(yīng)和聚焦效應(yīng)的影響。王建龍[11]利用顯式有限元法研究了盆地放大效應(yīng)與盆地深度的關(guān)系。于彥彥[12]利用譜元法研究了四川盆地的地震動(dòng)響應(yīng),并認(rèn)為四川盆地基底深度的分布對(duì)盆地內(nèi)強(qiáng)地震動(dòng)分布有較大影響。張建經(jīng)等[13]選用三個(gè)卓越頻率不同的Ricker子波作為輸入,研究了不同卓越頻率的輸入波對(duì)盆地地震反應(yīng)的影響。

通過(guò)以上學(xué)者們的研究,可以得知盆地的幾何形狀、介質(zhì)的材料性質(zhì)以及入射波的頻率成分對(duì)盆地的放大效應(yīng)都有較大的影響。但是以上學(xué)者的研究并沒(méi)有對(duì)盆地效應(yīng)的影響因素做統(tǒng)一的無(wú)量綱處理,得出的研究結(jié)論只適用于特定的研究模型,本文采用Buckingham[14]提出的π定理,將盆地的幾何形狀、材料性質(zhì)和入射波頻率等影響因素做無(wú)量綱處理。并利用顯式有限元方法和透射人工邊界[15]建立了二維梯形盆地的粘彈性數(shù)值分析模型,以SH波垂直入射來(lái)研究盆地幾何形狀、介質(zhì)物理參數(shù)以及入射波頻率對(duì)地震動(dòng)放大的影響。

1 計(jì)算方法和輸入波

1.1 計(jì)算方法

本文采用的數(shù)值計(jì)算方法是顯式有限元法結(jié)合透射人工邊界,模型的介質(zhì)為黏彈性介質(zhì),計(jì)算區(qū)內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)力方程:

(1)

[C]=α[M]+β[K]

(2)

式中:α、β為比例系數(shù),其取值決定體系阻尼效應(yīng)的大小。在瑞利阻尼模型下阻尼比ξ和入射波頻率滿足以下關(guān)系,其中f為入射波的頻率:

ξ=0.5(α/f+βf)

(3)

在本文當(dāng)中α、β分別取0.025和0.02,入射SH波的主頻f0為1.1 Hz,模型最大阻尼比約為0.022 4。

單元?jiǎng)偠染仃嚍?

(4)

單元等效節(jié)點(diǎn)荷載向量:

(5)

式中:[N]為單元形函數(shù)矩陣,[B]為單元幾何矩陣;t為單元厚度,它為一常數(shù);[D]為材料矩陣,并且有如下關(guān)系:

對(duì)于SH問(wèn)題有

(6)

透射人工邊界的設(shè)置保證波在人工邊界處的傳播特性與在原連續(xù)介質(zhì)中一致,使得波通過(guò)人工邊界時(shí)無(wú)反射效應(yīng)發(fā)生完全透射,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)原連續(xù)介質(zhì)的精確模擬。透射邊界利用內(nèi)點(diǎn)位移表示邊界點(diǎn)位移,隨著引入內(nèi)點(diǎn)數(shù)量的增加,可以建立高精度的高階透射公式。透射邊界將邊界波場(chǎng)分為內(nèi)行波場(chǎng)和外行波場(chǎng),運(yùn)用透射邊界在邊界節(jié)點(diǎn)建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)必須分離出外行波,設(shè)分離出的外行波場(chǎng)位移為u外行,全波場(chǎng)位移為u總,內(nèi)行波場(chǎng)為u內(nèi)行,三者滿足如下關(guān)系:

u外行=u總-u內(nèi)行

(7)

在圖1中,設(shè)x軸的原點(diǎn)O設(shè)置在所考慮的人工邊界點(diǎn)上,垂直于人工邊界并指向外部無(wú)限域,則可將外行單向波位移場(chǎng)表示成一系列外行平面波位移場(chǎng)的疊加,即:

圖1 透射人工邊界示意圖Fig.1 Diagram of transmission artificial boundary

(8)

由于不同的外行波分量視速度不同,為了解決這一問(wèn)題引入了一個(gè)共同的常值人工波速ca來(lái)近似替換不同的視波速cxj式(8)則變?yōu)?

(9)

N階多次透射人工邊界(MTF)格式如下:

(10)

u(pΔt+Δt,0)=2u(pΔt,-caΔt)-

u(pΔt-Δt,-2caΔt)

(11)

1.2 輸入波

本文選擇雷克子波作為場(chǎng)地反應(yīng)的輸入波(圖2),并以SH波垂直入射盆地模型,雷克子波波形簡(jiǎn)單,只有一個(gè)正峰,兩側(cè)各有一個(gè)旁瓣,收斂快延續(xù)時(shí)間短,雷克子波的表達(dá)式為:

圖2 入射波時(shí)程及傅里葉振幅譜Fig.2 Incident wave time history and Fourier amplitude spectrum

R(t)=[1-2(πf0t)2]exp[-(πf0t)2]

(12)

其中f0為輸入的雷克子波主頻。

2 計(jì)算模型及參數(shù)無(wú)量綱處理

2.1 計(jì)算模型

如圖3所示,研究的梯形盆地的深度為h,盆地的開(kāi)口寬度為2d+L,土層介質(zhì)的剪切波速、密度和泊松比為vS1、ρ1和υ1?；鶐r介質(zhì)的剪切波速、密度和泊松比為vS2、ρ2和υ2。

圖3 二維梯形盆地模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of two-dimensional trapezoidal basin model

影響盆地放大效應(yīng)的物理參數(shù)包括:盆地的幾何形狀、材料性質(zhì)、入射波的頻率。所研究的梯形盆地模型為一種理想化盆地模型。它的各項(xiàng)幾何指標(biāo)很容易被參數(shù)化。通過(guò)將所研究盆地的各項(xiàng)物理參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱處理后所得到的結(jié)果更具有普適意義。在所研究的梯形盆地模型當(dāng)中,土層和基巖的分界面可由下面的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示:

(13)

在本文當(dāng)中梯形盆地的所有計(jì)算模型都是基于寬度L=2d來(lái)計(jì)算的,放大系數(shù)β定義為盆地地表加速度峰值與入射波加速度峰值的比值[16]。

(14)

2.2 影響參數(shù)無(wú)量綱化處理

對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可以用三個(gè)參數(shù)來(lái)表示材料的屬性,分別是剪切波速vS、介質(zhì)密度ρ以及泊松比υ[17]。vS1、ρ1和υ1分別表示土層介質(zhì)的剪切波速、密度和泊松比。vS2、ρ2和υ2分別表示基巖介質(zhì)的剪切波速、密度和泊松比。根據(jù)量綱分析原理中的π理論[18],任何一個(gè)由n個(gè)有量綱的物理量參與的物理過(guò)程中的函數(shù)關(guān)系都可以轉(zhuǎn)換成由n-k個(gè)這些物理量組成的無(wú)量綱量πi之間的函數(shù)關(guān)系,其中k是具有獨(dú)立量綱的物理量的數(shù)。由于這些無(wú)量綱量是以不同的πi來(lái)表示的,故稱為π定理。根據(jù)這條定理,通過(guò)物理關(guān)系式將研究參數(shù)轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱形式,減少研究函數(shù)中自變量的個(gè)數(shù),從而有利于實(shí)驗(yàn)處理和分析。結(jié)合模型的幾何參數(shù)以及材料性質(zhì)參數(shù)本文定義以下幾個(gè)無(wú)量綱參數(shù):

(15)

式中:π1為模型深寬比;π2為模型的橫波波速比;π3為無(wú)量綱頻率;π4為無(wú)量綱盆地寬度;π5為土層介質(zhì)泊松比;π6為基巖介質(zhì)泊松比;π7為介質(zhì)密度比;λ1為輸入地震動(dòng)在土層介質(zhì)中的主頻波長(zhǎng);λ2為輸入地震動(dòng)在基巖介質(zhì)中的主頻波長(zhǎng);f0為入射波的主頻。

由于π5、π6和π7對(duì)盆地效應(yīng)的影響不大,且以SH波作為輸入波泊松比基本上無(wú)影響,為了減少計(jì)算量在所有的計(jì)算模型中這三個(gè)影響因素都設(shè)為定值π5=0.3,π6=0.3,π7=0.98。接下來(lái)本文將研究盆地深寬比π1、模型波速比π2、盆地深度和入射波長(zhǎng)比π3以及盆地開(kāi)口寬度和入射波長(zhǎng)之比π4這四個(gè)影響因素對(duì)盆地放大效應(yīng)的影響。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 深寬比π1對(duì)放大系數(shù)的影響

深寬比π1為梯形盆地尺度的縱橫比,并且盆地的深寬比是支配盆地地震反應(yīng)的一個(gè)重要因素[19]。在本小節(jié),結(jié)果都是在盆地深度和入射主頻波長(zhǎng)之比為1(即π3=1),圖4給出了盆地深寬比π1分別取值為0.5、0.25、0.17、0.13時(shí),地震動(dòng)放大系數(shù)β在地表的分布。

圖4 深寬比π1對(duì)放大系數(shù)的影響Fig.4 Effect of depth-width ratio π1 on amplification factor

從圖4(a)、(b)兩圖中可以看出,無(wú)論在波速比π2為1.5或3時(shí),盆地深寬比π1對(duì)放大系數(shù)β的影響都十分顯著,且變化趨勢(shì)基本一致,隨著深寬比值逐漸減小,盆地表面各處的放大系數(shù)β都有逐漸減小的趨勢(shì),π1值越大盆地邊緣越陡峭盆地較深,盆地的聚焦效應(yīng)越明顯[20],如π1=0.5時(shí),此時(shí)盆地邊緣最陡峭,圖4(a)、(b)兩圖的放大系數(shù)最大值都出現(xiàn)在盆地中心位置,波速比π2=1.5時(shí)最大值為1.85,當(dāng)π2=3時(shí)最大值為2.9。在π1=0.5時(shí),圖4(a)、(b)兩圖放大系數(shù)分布都為單峰,在π1分別取0.25、0.17、0.13時(shí),即對(duì)于較淺的盆地,放大系數(shù)β的最大值出現(xiàn)在盆地邊緣附近,這是因?yàn)榕璧剡吘壧幷T發(fā)的面波與入射體波發(fā)生相長(zhǎng)干涉,誘發(fā)的邊緣效應(yīng)[21],放大系數(shù)整體上呈雙峰分布?？v向比較圖4(a)、(b)兩圖可以發(fā)現(xiàn),盆地基巖和土層的波速比π2對(duì)放大系數(shù)的影響也十分巨大,在深寬比相同的情況下,π2=3時(shí)的放大系數(shù)要整體上大于π2=1.5時(shí)的放大系數(shù)。

總之π1越大盆地越深,誘發(fā)的盆地聚焦效應(yīng)越明顯,π1值越小盆地越淺,誘發(fā)的盆地邊緣效應(yīng)就越顯著。并且隨著π1值逐漸減小,在波速比不變的情況下,放大系數(shù)β有逐漸減小的趨勢(shì)。且在盆地深寬比相同時(shí),基巖介質(zhì)與土層介質(zhì)波速比越大,放大系數(shù)越大。

3.2 波速比π2對(duì)放大系數(shù)的影響

選取盆地內(nèi)部中心位置處的觀測(cè)點(diǎn)為研究對(duì)象,如圖5所示。給出了放大系數(shù)β與波速比π2之間的關(guān)系,在盆地深度和入射波長(zhǎng)之比π3和盆地深寬比π1相同的情況下,改變波速比π2的值,將π2值分別取為(1.5、2.0、3.5、5.0),介質(zhì)的波速比不斷增大,從圖5的(a)、(b)、(c)、(d)都可以看出隨著波速比π2增大,放大系數(shù)也逐漸增加。這主要是由于隨著波速比增大,土層和基巖介質(zhì)的阻抗比就越大[22],土層沉積物所捕獲的入射地震動(dòng)的能量百分比就越高,能量透射到基巖的比例就越小,導(dǎo)致放大系數(shù)越大[23]。

圖5 波速比π2對(duì)放大系數(shù)的影響Fig.5 Effect of wave velocity ratio π2 on amplification factor

3.3 無(wú)量綱頻率π3對(duì)放大系數(shù)的影響

在本小節(jié)中,定義了有關(guān)輸入地震動(dòng)主頻的一個(gè)參數(shù)π3。π3通過(guò)量化盆地深度與入射主波長(zhǎng)的相對(duì)大小來(lái)測(cè)量盆地對(duì)入射波頻率的響應(yīng)。

(16)

由于前面的結(jié)果發(fā)現(xiàn)π1=0.5時(shí)放大系數(shù)β最大,因此本小節(jié)中所有結(jié)果都是基于深寬比π1=0.5時(shí)得到的。圖6給出在不同波速比π2的情況下,π3不斷變化時(shí)對(duì)放大系數(shù)β的影響。改變?nèi)肷洳ㄖ黝lf0來(lái)改變?nèi)肷洳ǖ牟ㄩL(zhǎng)λ1,進(jìn)而改變?chǔ)?值。π3分別取值0.5、1、4。因?yàn)樵讦?小于0.5或是大于4的情況下,盆地深度相對(duì)于入射波長(zhǎng)來(lái)講都太小或者太大。π3取0.5時(shí)入射波主頻波長(zhǎng)相當(dāng)于盆地深度的2倍,π3取1和4時(shí),入射波主頻波長(zhǎng)相當(dāng)于盆地深度的1倍和0.25倍。從圖6(a)、(b)可以看到,π3=4時(shí),盆地深度相對(duì)于入射波主頻波長(zhǎng)較大時(shí),放大系數(shù)分布出現(xiàn)兩個(gè)峰值,峰值出現(xiàn)在X/d=±1左右。π3分別等于0.5或1時(shí),盆地深度相對(duì)入射主頻波長(zhǎng)較小時(shí),放大系數(shù)分布呈單峰分布,放大系數(shù)峰值出現(xiàn)在盆地中心位置。在圖6(c)中,當(dāng)波速比較大時(shí),即π2=3.5時(shí),放大系數(shù)全都為單峰分布,峰值出現(xiàn)在盆地中心,并且π3=4盆地中心處放大系數(shù)最大,π3=1時(shí)次之,π3=0.5時(shí)盆地中心放大系數(shù)最小。縱向比較圖6(a)、(b)、(c)三個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn),對(duì)放大系數(shù)影響最大還是波速比π2,隨著基巖和土層介質(zhì)的波速比增大,放大系數(shù)β明顯增大,最大放大系數(shù)出現(xiàn)在圖6(c)π2=3.5時(shí)的盆地中心位置,大約為3.2倍左右。

圖6 無(wú)量綱頻率π3對(duì)放大系數(shù)的影響Fig.6 Influence of dimensionless frequency π3 on amplification coefficient

3.4 無(wú)量綱化盆地寬度π4對(duì)放大系數(shù)的影響

最后研究盆地?zé)o量綱寬度π4對(duì)地震動(dòng)放大系數(shù)β空間分布的影響。

(17)

圖7 無(wú)量綱寬度π4對(duì)放大系數(shù)的影響Fig.7 Influence of dimensionless width π4 on amplification factor

4 總結(jié)

本文將二維梯形盆地對(duì)地震動(dòng)影響的主要物理參數(shù)分為三類:盆地的幾何參數(shù)(包括盆地的深寬比、盆地的開(kāi)口寬度)、盆地的材料物理參數(shù)(包括基巖和土層的剪切波速、泊松比和介質(zhì)密度)以及入射波物理參數(shù)(入射波的主頻頻率以及主頻波長(zhǎng))。根據(jù)Buckingham的π定理定義了影響盆地放大的7個(gè)無(wú)量綱參數(shù)。并分別研究了盆地深寬比π1、介質(zhì)波速比π2、盆地深度與入射波主頻波長(zhǎng)之比π3、以及盆地開(kāi)口寬度與入射波主頻波長(zhǎng)之比π4、對(duì)地震動(dòng)加速度峰值放大系數(shù)β的影響,通過(guò)研究發(fā)現(xiàn):

(1)在入射波波長(zhǎng)和介質(zhì)波速比確定的情況下,π1越大盆地越深,誘發(fā)的盆地聚焦效應(yīng)越明顯,π1值越小盆地越淺,誘發(fā)的盆地邊緣效應(yīng)就越顯著。

(2)在盆地的深寬比一定時(shí),隨著π4值的不斷增大盆地的峰值放大系數(shù)逐漸從盆地中心移向盆地邊緣,表現(xiàn)出越來(lái)越明顯的邊緣放大效應(yīng)。

(3)對(duì)峰值放大系數(shù)影響最明顯的是介質(zhì)的波速比π2,波速差異越大,放大系數(shù)β從整體上要比介質(zhì)波速差異情況較小時(shí)大,并且π2越大,使得入射波在基巖土層分界面處折射角變大,盆地更傾向于在盆地中心處出現(xiàn)最值放大系數(shù)。