立足生本 精心引導(dǎo)
——對(duì)“等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和”（第一課時(shí)）一節(jié)課的剖析與啟示

李平香 陳中峰

（1.三明市第二中學(xué)，福建 三明 365000；2.福建省普通教育教學(xué)研究室，福建 福州 350001）

2020 年12 月1 日-4 日，“第十屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與培訓(xùn)活動(dòng)”在福建省廈門市舉行，通過(guò)8個(gè)分會(huì)場(chǎng)和1 個(gè)主會(huì)場(chǎng)共展示了90 節(jié)優(yōu)質(zhì)課、1 節(jié)現(xiàn)場(chǎng)觀摩課，課型豐富，內(nèi)容涉及高中數(shù)學(xué)主要內(nèi)容.筆者通過(guò)觀摩“等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和”（第一課時(shí)）的錄像課以及執(zhí)教者的現(xiàn)場(chǎng)展說(shuō)，現(xiàn)就本節(jié)課的課例點(diǎn)評(píng)展示如下，請(qǐng)批評(píng)指正.

“等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和”（第一課時(shí)）一節(jié)課較好地體現(xiàn)了“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念.教學(xué)中，教師基于對(duì)學(xué)生已有知識(shí)：等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式與等比數(shù)列定義；已有方法：圖解、通分、倒序相加、裂項(xiàng)相消法求和；待生成的方法：錯(cuò)位相減法之間的關(guān)系深入分析.采用了“學(xué)本課堂”教學(xué)模式，以6 人小組為單位進(jìn)行合作探究，引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)探究了錯(cuò)位相減法的生成過(guò)程，進(jìn)而推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.課堂上，教師能在基于學(xué)情的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生明晰運(yùn)算對(duì)象，理解運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算流程，求得運(yùn)算結(jié)果［1］，在豐富的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，展示了以生為本、以學(xué)為基、導(dǎo)學(xué)自如、和諧共長(zhǎng)的學(xué)本課堂.

一、亮點(diǎn)剖析

1.目標(biāo)清晰，過(guò)程流暢

2.學(xué)生表現(xiàn)，精彩紛呈

上臺(tái)展講的同學(xué)都彬彬有禮、謙和大方、板書(shū)工整、作答規(guī)范、講解到位、語(yǔ)言精練、教態(tài)自然，都是優(yōu)秀的“小老師”，這正是教師長(zhǎng)期堅(jiān)持“學(xué)本課堂”教學(xué)的最好展示.回顧學(xué)生的精彩瞬間有：精彩1.在探究的運(yùn)算結(jié)果時(shí)，學(xué)生甲能迅速根據(jù)“一尺之棰，日取其半”情境中的內(nèi)涵迅速求得結(jié)果，即用1 減去截取6 天之后的剩余部分；精彩2.在教師引導(dǎo)學(xué)生再用已有的數(shù)列求和的方法求解時(shí)，學(xué)生乙能很規(guī)范地用裂項(xiàng)相消法作答并展講清楚；精彩3.在探究的解法時(shí)，更精彩的是學(xué)生丙能類比學(xué)生乙的裂項(xiàng)方法，即把每一項(xiàng)裂成它的前一項(xiàng)與自身的差，再乘以常數(shù)學(xué) 生 丙不僅作答好，更把“如何想到”講得好；精彩4.學(xué)生丁能夠根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合分?jǐn)?shù)的合比定理得到發(fā)現(xiàn)分子、分母也可作為求和的研究對(duì)象進(jìn)行探究.

3.文化滲透，適宜合理

課堂上，從莊子曰“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的情境導(dǎo)入，后面通過(guò)錯(cuò)位相減法運(yùn)算的結(jié)果后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從極限的角度看運(yùn)算的結(jié)果，即當(dāng)n→+∞時(shí)，Sn→1，但Sn<1，體會(huì)“萬(wàn)世不竭”中蘊(yùn)含的極限思想；在例題1 中求S64=1+2+4+…+264=264-1的結(jié)果之后，用“國(guó)王賞麥?！钡墓适抡f(shuō)明數(shù)學(xué)式子背后的故事，寓意深刻.這兩個(gè)數(shù)學(xué)文化故事的內(nèi)涵解釋合理，文化滲透適宜，讓學(xué)生體會(huì)“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”，學(xué)習(xí)要有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題，即用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，特別要注意形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，切不可向“國(guó)王賞麥粒故事中的國(guó)王”那樣，沒(méi)有經(jīng)過(guò)運(yùn)算就輕易“許諾”，事實(shí)上，通過(guò)運(yùn)算結(jié)果與生產(chǎn)實(shí)際情況一合計(jì)，國(guó)王根本不可能實(shí)現(xiàn)他的承諾.所以，要養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說(shuō)話的習(xí)慣.

4.課件制作，精美直觀

教師的課件制作精美、直觀、形象、生動(dòng).課堂上能充分運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)輔助教學(xué)，特別是在“一尺之棰，日取其半”情境引入，以及在裂項(xiàng)相消法求和的基礎(chǔ)上，生成錯(cuò)位相減法過(guò)程中，用動(dòng)畫(huà)顯示相同的項(xiàng)，并且移動(dòng)相同的項(xiàng)的位置，動(dòng)靜結(jié)合，形象直觀，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一、和諧、直觀美.

二、問(wèn)題商榷

1.學(xué)生的精彩生成沒(méi)有及時(shí)加以合理回應(yīng)

課堂因生成而精彩.課堂是師生共同創(chuàng)造的一段愉快的旅行，是教師的“導(dǎo)”與學(xué)生的“學(xué)”同頻共振、聯(lián)動(dòng)共生而彈奏出的一曲交響樂(lè).教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的精彩生成，教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)加以合理回應(yīng)，順勢(shì)而為，乘勢(shì)而上.如課堂上在探究的解法時(shí)，有幾乎一半以上的同學(xué)都能用裂項(xiàng)相消求和的方法求得結(jié)果，上臺(tái)展講的學(xué)生丙能類比學(xué)生乙的裂項(xiàng)方法，即把每一項(xiàng)列成它的前一項(xiàng)與自身的差，再乘以常數(shù)，進(jìn)而，用裂項(xiàng)相消法成功求和.教師此時(shí)，應(yīng)抓住這一精彩生成，引導(dǎo)學(xué)生探究“美麗成果”，即是不是等比數(shù)列中的項(xiàng)都能按此規(guī)律裂項(xiàng)呢？事實(shí)上，等比數(shù)列從第二項(xiàng)起都可以按此規(guī)律裂項(xiàng)，假設(shè)an=k(an-1-an)(n≥2)（k是常數(shù)），整理，得所以，解得k=從而，所以，由，利用裂項(xiàng)相消法，順勢(shì)推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，而且，從裂項(xiàng)公式an=可以看出，當(dāng)時(shí)，an=an-1-an(n≥2）是“最理想”的裂項(xiàng)求和模型.因此，教師課堂上選擇了公比為的數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)，并在裂項(xiàng)相消求和的基礎(chǔ)上生成了錯(cuò)位相減法.再如，學(xué)生丁根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合分?jǐn)?shù)的合比定理得到，發(fā)現(xiàn)分子、分母也可作為研究對(duì)象時(shí)，教師仍然沒(méi)有順著學(xué)生的思維進(jìn)行引導(dǎo)探究.實(shí)際上，此時(shí)，教師一方面，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)比分?jǐn)?shù)的分子、分母與目標(biāo)的差異，學(xué)生可以立即發(fā)現(xiàn)分子、分母比都只少一項(xiàng)，由方程的思想得，解得S6，再推廣到一般的等比數(shù)列，即由等比數(shù)列的定義，由合比定理得，，得到，進(jìn)而，解得，同樣可以推導(dǎo)出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.另一方面，還可以再增加一項(xiàng)比值，如，即，解得S6，再推廣到一般的等比數(shù)列，可以推導(dǎo)出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式；也可以把分子、分母中轉(zhuǎn)為教師課件中預(yù)設(shè)的兩個(gè)和①式、②式，再引導(dǎo)學(xué)生觀察①式、②式中每個(gè)數(shù)的關(guān)系及其①式、②式之間的關(guān)系.

綜上，學(xué)生的這些“思考”“討論”都非常合理，教師完全可以及時(shí)加以回應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生不斷挖掘運(yùn)算對(duì)象的特征規(guī)律，重新規(guī)劃運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算流程，求得運(yùn)算結(jié)果，把“運(yùn)算素養(yǎng)”的培養(yǎng)扎根于數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中.

2.一些探究的問(wèn)題設(shè)置不夠合理

探究讓課堂煥發(fā)活力.課堂上，教師應(yīng)該基于學(xué)情，立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，設(shè)置數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的問(wèn)題，讓學(xué)生在探究“真問(wèn)題”“好問(wèn)題”中得到“真發(fā)展”，取得“真進(jìn)步”.所以，教學(xué)中如何設(shè)置“好問(wèn)題”讓學(xué)生探究，引領(lǐng)學(xué)習(xí)至關(guān)重要.本節(jié)課教師選擇了一些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，從而，設(shè)計(jì)了用數(shù)列求和的方法探究的運(yùn)算結(jié)果，因?yàn)檫@兩個(gè)求和項(xiàng)數(shù)太少，導(dǎo)致無(wú)法快速進(jìn)入探究本課的核心內(nèi)容.教師如果在“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的情境導(dǎo)入后，直接問(wèn)S2021=的結(jié)果，這樣，一方面，能把“思考”引向“一尺之棰，日取其半”的情境內(nèi)涵中，進(jìn)而快速地得到運(yùn)算結(jié)果；另一方面，也可以把“思考”引向觀察“運(yùn)算對(duì)象”的規(guī)律特征，以及“是否有可遷移的經(jīng)驗(yàn)”等核心問(wèn)題上發(fā)力，并進(jìn)而提出如何求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

3.個(gè)別內(nèi)容的理解處理欠妥當(dāng)

教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生從裂項(xiàng)相消求和方法中，提煉出了錯(cuò)位相減法，這是基于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了裂項(xiàng)相消求和方法的學(xué)情上.但是，教材中錯(cuò)位相減法并非建立在裂項(xiàng)相消法的基礎(chǔ)上，教材通過(guò)“國(guó)王賞麥?！钡墓适虑榫骋耄橄蟾爬ǔ觯呵笠粋€(gè)首項(xiàng)為1，公比為2 的等比數(shù)列的前64 項(xiàng)和.進(jìn)而，提出如何求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？教材的意圖是引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，即從高斯算法得到啟發(fā)，根據(jù)等差數(shù)列的特征，采用倒序相加法，把求“n個(gè)不同數(shù)之和”，轉(zhuǎn)化為求“n個(gè)相同數(shù)之和”.所以，求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1時(shí)，要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“整體性”認(rèn)識(shí)，同時(shí)，注意邏輯的“連貫性”、方法的“普適性”、思維的“系統(tǒng)性”、以及保持思想的“一致性”，善于借助推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式累積的研究經(jīng)驗(yàn)，即把“求不同數(shù)之和”轉(zhuǎn)化為“相同數(shù)之和”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.所以，首先，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生回顧“倒序相加”求和中蘊(yùn)藏著“基本思想”是什么？其“基本思想”是根據(jù)等差數(shù)列的特征，用“倒序相加法”把“n個(gè)不同數(shù)之和”轉(zhuǎn)化為“n個(gè)相同數(shù)之和”，然后用乘法快速地運(yùn)算“n個(gè)相同數(shù)之和”，從而，得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.然后，引導(dǎo)學(xué)生如何把等差數(shù)列中已累積的“求和經(jīng)驗(yàn)”遷移到“等比數(shù)列”，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何根據(jù)等比數(shù)列的特征，運(yùn)用代數(shù)式的變形方法出現(xiàn)“相同數(shù)”.此時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸到最原始的定義中，根據(jù)等比數(shù)列的定義，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，前一項(xiàng)乘以公比就變?yōu)楹笠豁?xiàng)，因此，把Sn=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1，記為①式，用公比q乘①的兩邊，qSn=a1q+a1q2+a1q3+…a1qn，記為②式，①式、②式的右邊有就有(n-1)個(gè)相同的項(xiàng)，用①式減去②式，就可以消去這些相同的項(xiàng)，進(jìn)而推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)過(guò)程中已有的研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)遷移到新的相似問(wèn)題情境中，為學(xué)生的思維發(fā)展搭建平臺(tái)，讓學(xué)習(xí)發(fā)生在“最近發(fā)展區(qū)”.正如章建躍博士所說(shuō)的：“為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考”［2］，讓學(xué)生經(jīng)歷“研究對(duì)象在變，但思想方法不變，研究套路不變”的學(xué)習(xí)過(guò)程.

4.本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)完成不理想

本節(jié)課是公式推導(dǎo)與應(yīng)用課，其教學(xué)內(nèi)容有推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，解析公式中符號(hào)的內(nèi)涵，以及等比數(shù)列的相關(guān)量a1,an,q,n,Sn等五個(gè)量中“知三求二”的運(yùn)算.課堂上教師用了近35 分鐘的時(shí)間進(jìn)行公式的推導(dǎo)，僅僅用了約5 分鐘的時(shí)間進(jìn)行公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.數(shù)列的研究對(duì)象是“數(shù)”，“運(yùn)算”貫穿于數(shù)列的始終.所以，課堂中教師在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)公式環(huán)節(jié)互動(dòng)要更加高效，才能為后面的“運(yùn)算”訓(xùn)練留足時(shí)間，確保運(yùn)算技能的訓(xùn)練充足、充分，將運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)扎根于“四基”沃土.

一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆雷特，一千個(gè)教者就有一千種好的課堂設(shè)計(jì).課堂是遺憾的藝術(shù)，也許它的魅力正是因?yàn)槟撤N不夠完美.本節(jié)課雖然教師在一些問(wèn)題的處理上欠妥當(dāng)，但教師能夠立足生本，精心引導(dǎo)，采用啟發(fā)式、探究式的教學(xué)方法；引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流；并在“情境中獲取對(duì)象”“沖突中設(shè)置對(duì)象”“探究中生成對(duì)象”“特殊到一般中衍生對(duì)象”中生成“問(wèn)題串”；在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生明晰運(yùn)算對(duì)象，理解運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算流程，求得運(yùn)算結(jié)果［1］；在豐富的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，訓(xùn)練運(yùn)算技能，發(fā)展運(yùn)算能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；能夠以生為本、以學(xué)為基、導(dǎo)學(xué)自如、和諧共長(zhǎng)，展示了令人耳目一新的公式推導(dǎo)課.

三、教學(xué)啟示

1.整體教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》從以下三個(gè)方面強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的整體性：一是同一主題內(nèi)容的數(shù)學(xué)整體性是指一個(gè)內(nèi)容的不同認(rèn)識(shí)層次，不同角度的認(rèn)識(shí)之間內(nèi)在的一致性、關(guān)聯(lián)性，以及認(rèn)識(shí)不同方面內(nèi)容所采用的類似過(guò)程與思想方法；二是不同主題內(nèi)容的數(shù)學(xué)整體性是指整合不同內(nèi)容之間所具有的內(nèi)在聯(lián)系；三是統(tǒng)攝性最強(qiáng)、適用性最廣的最高層面上的不同數(shù)學(xué)思想與方法之間相互融合，形成具有統(tǒng)一性、內(nèi)在一致性的數(shù)學(xué)一般觀念的整體性［3］.“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”與“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”都是研究數(shù)列的前n項(xiàng)和，在求數(shù)列連續(xù)有限項(xiàng)和時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生“三看”，一看“首末項(xiàng)”：即明確從哪一項(xiàng)加到哪一項(xiàng)；二看“項(xiàng)數(shù)”：即明確有連續(xù)的幾項(xiàng)相加；三看“項(xiàng)的規(guī)律”：即分析通項(xiàng)的規(guī)律，若通項(xiàng)規(guī)律表現(xiàn)不明顯，可對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)變形，讓規(guī)律展現(xiàn)得更加明顯，然后根據(jù)通項(xiàng)規(guī)律特征選擇適合的方法求和.所以，對(duì)“求數(shù)列連續(xù)有限項(xiàng)和”這一內(nèi)容的教學(xué)要始終注意構(gòu)建邏輯連貫的過(guò)程，保持思想方法的一致性.所以，在推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，要注意采用類似的過(guò)程，即通過(guò)分析通項(xiàng)特征、遞推關(guān)系把“求不同數(shù)之和”轉(zhuǎn)化為“相同數(shù)之和”，保持公式推導(dǎo)過(guò)程的思想方法一致，經(jīng)歷“研究對(duì)象在變，但思想方法不變，研究套路不變”的學(xué)習(xí)過(guò)程.本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生從裂項(xiàng)相消求和方法中，提煉出了錯(cuò)位相減法，初看感覺(jué)“耳目一新”，但細(xì)品就感覺(jué)“新的怪異”。因?yàn)闆](méi)有把前面“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”建立的邏輯、選用的方法、培養(yǎng)的思維、提煉的思想繼續(xù)運(yùn)用，損壞了邏輯的連貫性、思維的系統(tǒng)性、方法的普適性、思想的一致性，破壞了數(shù)學(xué)的整體性.

2.守正出新

教材是師生手中的寶藏，課堂教學(xué)應(yīng)以“教材為本”.教學(xué)過(guò)程中，教師要在正確理解教材的基礎(chǔ)上，融入自己獨(dú)到的思考、設(shè)問(wèn)、學(xué)識(shí)、見(jiàn)識(shí)、智慧、語(yǔ)言、聯(lián)想、聯(lián)串、領(lǐng)悟和歸總，吃透教材，抓住根本，靈活使用，個(gè)性創(chuàng)造，讓教材真正成為“手中寶”，讓教學(xué)“源于教材，高于教材”［4］.本節(jié)課教學(xué)使用的教材是人教A 版數(shù)學(xué)必修5，通過(guò)執(zhí)教者在會(huì)場(chǎng)上的答辯，觀摩教師明白了執(zhí)教者這樣設(shè)計(jì)錯(cuò)位相減法教學(xué)的緣由，教學(xué)設(shè)計(jì)緣于課本第47 頁(yè)的B 組第4 題，題目：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，研究一下，能否找到求Sn的一個(gè)公式.你能對(duì)這個(gè)問(wèn)題作一些推廣嗎？本題安排在“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”這節(jié)課的課后練習(xí)中，真的是要從“裂項(xiàng)相消法”中提煉“錯(cuò)位相減法”嗎？筆者認(rèn)為：編者的意圖是要鞏固“推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和”公式過(guò)程中累積的求和經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生又一次經(jīng)歷“研究對(duì)象在變，但思想方法不變，研究套路不變”的數(shù)列求和過(guò)程.所以，教師對(duì)教材的處理，首先要“守正”，抓住本質(zhì)，恪守正道，守住“正”，才能確?！俺鲂隆狈匣疽?guī)律，真正令人“傾新”“傾心”.