擺動柔順式吊鉤結構參數(shù)的多目標優(yōu)化

葛世程，郭著雨，梁 熙，莫宗來，李 軍

(南京理工大學 機械工程學院,南京 210094)

野戰(zhàn)火箭炮的再裝填過程需要將發(fā)射箱在裝填車、發(fā)射車與地面之間進行多次對接、起吊、轉運和落裝，這些操作通常依靠裝填車上的裝填系統(tǒng)完成[1].為保證射擊密集度，火箭炮利用發(fā)射箱底部定位孔與發(fā)射車的定位銷進行約束并鎖定發(fā)射箱，對準時需要保持較高的位置精度.而現(xiàn)有繩索吊裝技術由于繩索的變形特性常常造成發(fā)射箱的轉運以及對準難以控制[2-3].為根本解決繩索吊裝問題，剛性裝填技術利用吸盤、電磁鐵或抓取機構等較復雜的末端執(zhí)行器起吊工件，能夠較好地控制執(zhí)行器與發(fā)射箱的對接以及箱體的轉運[4-6].但在對準時需大幅降低運動速度，同時難以利用導向結構降低對接、起吊和落裝過程中執(zhí)行器所需的工作精度，如S400防空導彈的裝填.因此，為了實現(xiàn)高效裝填，需要末端執(zhí)行機構有柔性變形能力以補償誤差帶來的執(zhí)行器偏移[7].

在航空航天、船舶和自動化系統(tǒng)中，柔性對接機構已經(jīng)獲得了較為廣泛的應用.文獻[8]設計的一種2自由度柔順移動并聯(lián)機構，在有較大的徑向平移偏差和角度偏差情況下仍能完成柔順對接.文獻[9]針對多組銷孔對接問題，提出一種力柔順控制算法降低銷孔間的接觸力.文獻[10]設計了一種柔順對接與撤收機構，提高機器人與火箭定位、對接、加注和撤收的效率.由于野外地形復雜，發(fā)射箱的對準要求執(zhí)行機構有更大的誤差容許范圍，同時還能承載發(fā)射箱的質(zhì)量，然而以上要求對接機構均難以滿足.在中小型航天器對接機構中，錐-桿式對接機構因其結構簡單、誤差容許范圍大獲得了較好的應用.文獻[11]設計了一種衛(wèi)星柔性對接機構，能在20 mm橫向?qū)尤莶罴啊?° 角度容差范圍內(nèi)實現(xiàn)可靠對接.

由于航天器工作環(huán)境的特殊性，對于錐-桿式對接機構的研究以分析碰撞過程為主，鮮有對對接機構在重力作用下的工作特性進行分析[12].此外，航天器允許的對接時間較長、對接次數(shù)較少，因而對于對接機構的運動特性和使用壽命的研究也較少.綜上所述，有必要研究錐-桿式對接機構的應用性能，并合理設計結構尺寸以滿足綜合性能的要求.

本文針對野戰(zhàn)火箭炮發(fā)射箱的裝填要求，設計了一種適用于發(fā)射箱柔性裝填系統(tǒng)的擺動柔順式吊鉤末端執(zhí)行機構，較好地控制發(fā)射箱的轉運和對準，同時降低執(zhí)行器所需的精度.為獲得擺動柔順式吊鉤的最佳結構尺寸，首先基于節(jié)點位移法建立擺動柔順式吊鉤的參數(shù)化理論模型，其次對擺動柔順式吊鉤的結構參數(shù)進行篩選，最后采用主要參數(shù)建立響應面模型并對其進行優(yōu)化.優(yōu)化結果可為進一步的吊鉤結構優(yōu)化和工程實際提供理論依據(jù).

1 擺動柔順式吊鉤工作原理

擺動柔順式吊鉤是發(fā)射箱柔性裝填系統(tǒng)的主要功能部件，如圖1所示.其固定于吊裝平臺，工作時與發(fā)射箱上的橫梁對接，實現(xiàn)對發(fā)射箱的裝填.具體工作過程如下，吊臂及吊裝平臺根據(jù)指令運動至發(fā)射箱上方，使吊鉤與發(fā)射箱上的橫梁對準，進一步做U型運動完成與橫梁的對接并順勢起吊發(fā)射箱.吊臂及吊裝平臺將發(fā)射箱轉運至發(fā)射車上方，使發(fā)射箱底部的定位銷孔與發(fā)射車上的定位銷對準，同時向下運動完成落裝.落裝完成后，吊鉤作U型運動完成脫鉤.

擺動柔順式吊鉤幾何模型如圖2所示.擺動柔順式吊鉤為被動柔順式機構，可以自然順從以補償?shù)蹉^與目標位置的偏差.其中，柔性機構是實現(xiàn)裝填系統(tǒng)柔性功能的部件，通過防松螺栓分別與固定支座和轉動支座聯(lián)接，用于限制吊鉤擺動.固定支座、轉動支座和擺臂互相配合形成虎克鉸鏈，使吊鉤可以在空間進行2自由度擺動.

擺動柔順式吊鉤的工作原理如圖3所示.空載狀態(tài)下(見圖3(a))，在柔性機構的限制下，吊鉤快速穩(wěn)定且能保持與固定支座的位置關系，即擺動偏角最小，允許的最大角度偏差為2° .負載狀態(tài)下(見圖3(b))，吊鉤在發(fā)射箱的重力作用下被動柔順至穩(wěn)定狀態(tài)，使落裝前擺臂軸線均與重力方向接近平行，即擺動偏角最大，允許的最大角度偏差為2° ，以利于根據(jù)吊裝平臺位姿確定發(fā)射箱位置姿態(tài).

圖3 擺動柔順式吊鉤工作原理Fig.3 Working principle of swing-compliant hook

2 擺動柔順式吊鉤理論模型

2.1 參數(shù)及坐標系定義

在研究柔性機構限制下吊鉤的擺動特性時，為方便后續(xù)的參數(shù)化建模，僅保留擺動柔順式吊鉤的約束情況，擺動柔順式吊鉤的初步簡化圖如圖4所示.其中：lc、h2和h1分別為柔性機構的長度、高度和安裝高度；b1和b2為柔性機構邊緣寬度和中部寬度；h3為吊鉤末端高度；A1、A2、B1、B2、C1和C2為螺栓聯(lián)接點；D為接觸點；E1為吊鉤等效質(zhì)量點.

圖4 擺動柔順式吊鉤簡化圖Fig.4 Simplification of swing-compliant hook

在結構參數(shù)的研究中，節(jié)點位移法將優(yōu)化對象離散為若干柔性梁，以梁的聯(lián)接位置為研究對象，并在給定條件下計算滿足設計要求的最優(yōu)結構[13].坐標系定義及柔性機構離散如圖5所示.其中：C11、C21、D1和E2依次為點C1、C2、D和E1在吊鉤擺動后的新位置；α和β分別為吊鉤繞固定支座和轉動支座的角度；O′-x1y1z1為吊鉤運動坐標系.由于柔性機構的具體形狀尚未確定，僅將柔性機構簡化成A1D、A2D、B1D、B2D、C1D、C2D、A1C1、A2C2、B1C1和B2C2柔性梁.

圖5 坐標系定義和柔性機構離散Fig.5 Definition of coordinate system and discretization of compliant mechanism

本文關注的是柔性機構在給定變形下產(chǎn)生的抵抗力，而不是柔性機構的變形情況，因此將柔性梁作為一個梁單元處理.設簡化后的梁單元固定點為完全約束，受力點為自由端，截面為圓形，且只考慮拉壓和彎曲兩種變形情況，不計自身重力.

考慮到吊鉤的運動包括擺動中心(如圖2虛線所示的兩回轉軸交點)的直線運動和吊鉤的擺動，為便于分析，建立如下坐標系.

(1)吊鉤運動坐標系采用直角坐標表示吊鉤的運動特性和結構，見圖5中的O′-x1y1z1，坐標原點位于吊鉤擺動中心.以柔性機構未變形時的擺臂軸向為z1軸正向，轉動支座軸線為y1軸，固定支座軸線為x1軸.結合圖4中的6個結構參數(shù)及偏擺角可以獲得各點在O′-x1y1z1中的坐標.

(2)裝填車坐標系(見圖5中的O-XYZ)，用于描述吊鉤相對裝填車的位置.為便于計算，將O′-x1y1z1的初始位置與O-XYZ設在同一位置.為通過修改O-XYZ中的重力方向模擬吊裝平臺的傾斜狀態(tài)，將O-XYZ與大地固定，且Z軸豎直向下.

由于柔性機構的性能隨傾斜角度的減小而提高，根據(jù)發(fā)射車與裝填車間的傾角要求，為保證設計結果的可靠性，O-XYZ中的重力方向均取(0.2，0.2，1)mm.

2.2 吊鉤及柔性機構靜力學模型

2.2.1吊鉤位移模塊 該方程用于計算吊裝平臺傾斜一定角度時，吊鉤在柔性機構彈力和重力作用下相對于固定支座的偏角.

(1)梁單元彈力

A1D單元LA1D抵抗力分解圖如圖6所示.在O′-x1y1z1中，將接觸點D設為受力點，D1為變形后的受力點，螺栓聯(lián)接點A1為固定點，將梁單元變形分解為拉伸變形和彎曲變形.拉伸抵抗力F可表示為

圖6 A1D單元抵抗力分解圖Fig.6 Resistance decomposition of A1D element

(1)

式中：Δl為伸長量；l為梁原長；E為材料彈性模量；S為梁單元的原截面面積.變形后梁單元對受力點的拉伸抵抗力方向為D1A1.

梁單元的彎曲視為由梁單元轉動平面內(nèi)、垂直于LA1D且作用在受力點上的力推動.因此，梁單元產(chǎn)生的對應彎曲抵抗力F′為

(2)

式中：wD為彎曲撓度；I為軸變形后梁截面對其中性軸的慣性矩；l′為梁變形后的總長度；θ為LA1D1與LA1D的夾角.泊松比取為0.45.變形后梁單元對受力點的彎曲抵抗力方向為LA1D×(LA1D×LA1D1).

其中，C1D和C2D兩個梁單元僅在吊鉤擺角β不等于0 rad的情況下產(chǎn)生彎曲抵抗力.由于C1D和C2D的聯(lián)接點受力均會影響吊鉤擺動，采用固定點與受力點輪換的方式求作用在C1、C2、D上的梁單元彈力.

(2)吊鉤合力矩

(3)

(h1+h2)

(4)

負載工況下，滿載發(fā)射箱質(zhì)量為7 t，取發(fā)射箱作用在吊鉤的等效重力GM=17.5 kN.在式(3)和 (4)中增加GM可以分析負載狀態(tài)下的吊鉤擺角.

(3)吊鉤平衡位置

在同一算例中，柔順式吊鉤的參數(shù)和重力方向一定，因此吊鉤擁有唯一空間位姿使其關于x1軸和轉動支座軸的合力矩為0.使用黃金分割法查找預估范圍內(nèi)α和β的解，設空載工況下的解為α1和β1，負載工況下的解為α2和β2，求解模型如下：

(5)

2.2.2柔性機構應力模塊 柔性機構應力模塊用于計算吊鉤與固定支座成一定擺角時，柔性機構簡化后各個梁單元的應力及梁單元的總應力.

(1)單個梁單元拉應力

在吊鉤位移模塊基礎上，獲得梁單元拉應力為

(6)

式中：j=1，2，…，N為梁單元序號.

(2)單個梁單元最大彎曲應力

以A1D梁為例，最大彎曲應力為

(7)

式中：d′為變形后的截面直徑.

(8)

全部梁單元應力中的最大值為

(9)

2.2.3靜態(tài)檢驗 為驗證吊鉤位移模塊和柔性機構應力模塊的正確性，在Abaqus軟件中使用B33梁單元建立柔性機構并創(chuàng)建對應約束和載荷模擬柔性機構.柔性機構應力模塊中通過設定吊鉤擺角與重力方向平行實現(xiàn)負載工況.通過靜力分析，得到的柔性機構空載位移s和負載應力σ如圖7所示.

圖7 Abaqus靜態(tài)檢驗Fig.7 Static verification by Abaqus

由圖7可知，動點D1的空載位移較大，柔性機構負載應力較小.相同條件下，理論模型分析結果顯示，動點D1的空載位移為2.8 mm，柔性機構最大負載應力為5.37 MPa.分析結果差距較小，認為吊鉤位移模塊和柔性機構應力模塊可以描述擺動柔順式吊鉤性能.

2.3 吊鉤動力學模型

該模型綜合考慮了柔性機構作用在吊鉤上的彈力、阻尼力和吊鉤自身重力，并結合吊裝平臺的運動和第二類拉格朗日方程，通過數(shù)值迭代的方式獲得吊裝平臺運動狀態(tài)或重力改變后吊鉤的擺動曲線.

2.3.1梁單元阻尼力 柔性機構阻尼為結構阻尼，與結構、材料和載荷相關，因此采用等效黏性阻尼系數(shù)近似計算，為更好地體現(xiàn)阻尼特性，材料的阻尼系數(shù)δ取為0.2 kg/s.

(10)

同理，梁單元作用在動點D1的彎曲阻尼力為

(11)

對于C1D和C2D兩個梁單元，采用固定點和運動點輪換的方式求其對于C11、D1和C21的阻尼力，且只考慮β變化產(chǎn)生的阻尼力.

2.3.2吊鉤動力學方程 設轉動支座繞x1軸的轉動慣量為J，吊鉤質(zhì)心與回轉中心距離H=h1+h2+h3.在O-XYZ中，設運動坐標系原點(回轉中心)坐標為(x,y,z)，吊鉤等效質(zhì)心坐標為(x2,y2,z2).為保證轉動支座強度，取J=0.5 kg·m2，為保證柔性機構安裝，取擺臂長la=h1+h2+10 mm，則有：

x2=x+Hsinβ
y2=y-Hcosβsinα
z2=z+Hcosβcosα

(12)

采用第二類拉格朗日方程構建吊鉤動力學方程，則有：

(13)

k=1,2,…,N

式中：qk為該質(zhì)點系的獨立廣義坐標；Qk為主動力對應于qk的廣義力；T為系統(tǒng)動能.本文只對吊鉤相對吊裝平臺的轉動進行分析，涉及的動能只包括擺臂、吊鉤動能及轉動支座轉動動能.

由式(13)可得吊鉤擺動加速度為

(14)

(15)

2.3.3吊鉤運動的數(shù)值迭代 在描述吊鉤的非線性運動時，結合直線插補的思想，將吊鉤的非線性連續(xù)運動拆分為吊裝平臺的平動和吊鉤的擺動，如圖8所示[14-15].

圖8 吊鉤運動分解圖Fig.8 Decomposition of motion of lifting hook

為完成分析，吊裝平臺的運動和吊鉤的初始狀態(tài)需提前給出.而吊鉤的受力與吊裝平臺的運動、柔性機構和吊鉤的結構尺寸有關，且隨時間變化，難以通過顯函數(shù)表示.為獲得吊鉤的擺動曲線，需要進行數(shù)值迭代[16-17].具體迭代步驟如下.

2.3.4動力學檢驗 空載狀態(tài)下，吊鉤動力學模型中的吊裝平臺位移被設為0，初始狀態(tài)的吊鉤擺角和角速度被設為0，既吊裝平臺傾斜后吊鉤在重力作用下的擺動.為驗證吊鉤動力學模型的正確性，對E=0、δ=0情況下的擺角進行分析并與Adams動力學軟件分析結果對比,對比結果如圖9所示，其中：tsi為仿真時間.由圖9可知，二者擬合程度高，由于模型間仍有細微差別，誤差會隨時間積累，但在一定程度上仍可以證明吊鉤動力學模型的正確性.

圖9 吊鉤動力學模型檢驗Fig.9 Verification of dynamics model of lifting hook

3 擺動柔順式吊鉤參數(shù)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化參數(shù)及目標

柔性機構性能主要涉及4個優(yōu)化目標，如表1所示.除了前文提到的偏角要求，柔性機構在最大應力滿足材料強度要求的同時，平均應力應盡量小以延長使用壽命[18].吊鉤擺動時間也應盡可能短，以縮短對接前的準備時間.

表1 擺動柔順式吊鉤優(yōu)化目標Tab.1 Optimization objectives of swing-compliant hook

考慮到擺動柔順式吊鉤的安裝尺寸和受載情況，各參數(shù)的預設值及其優(yōu)化范圍如表2所示.

表2 擺動柔順式吊鉤參數(shù)設置Tab.2 Parameter settings of swing-compliant hook

3.2 靈敏度分析

為分析各參數(shù)對優(yōu)化目標的影響，進而篩選出對擺動柔順式吊鉤性能影響較大的參數(shù)，基于柔性機構理論模型分別使用單因素分析法和二水平析因設計進行靈敏度分析.

3.2.1單因素分析 因梁單元直徑d與柔性機構最終結構形式和尺寸相關，彈性模量E與材料的特性有關，本文不再對二者做討論，取d=15 mm，E=24 MPa.以表2數(shù)據(jù)進行單因素分析，選取對性能影響較大的參數(shù)，如表3所示.從表3中可以看出，以預設值設計的擺動柔順式吊鉤的吊鉤空載偏角和負載偏角接近極限值，需要對結構參數(shù)進行優(yōu)化.

表3 單因素分析結果Tab.3 Results of single -factor analysis

3.2.2二水平析因分析 采用實驗設計方法對柔性機構進行二水平析因設計[19].設計因子的選擇及取值見表2.分別取吊鉤空載的偏角和θ1=|α1|+β1、吊鉤負載的偏角和θ2=|α2|+β2、柔性機構負載應力響應σr=σsum+σmax以及吊鉤空載穩(wěn)定時間響應tr=tα+tβ作為響應量.利用Design-Expert軟件進行實驗設計，求得各參數(shù)貢獻度如表4所示.

由表4可以看出，參數(shù)lc和h1對不同目標均有較大影響，參數(shù)b2和h2貢獻度相對較小.參數(shù)b1只對θ1的影響較大，對其他目標影響范圍較小，而參數(shù)h3整體影響較好.因此，結合表3內(nèi)容，選取lc、h1和h3進行優(yōu)化.

表4 參數(shù)對響應量的貢獻度Tab.4 Contribution of parameters to responses

3.3 響應面模型分析

采用含交叉項的二次型響應面函數(shù)建立響應面模型[20-21]：

(16)

為建立表征吊鉤空載時偏角、穩(wěn)定時間和負載時偏角、柔性機構應力的響應面模型，定義輸出響應為Ri(i=1,2,…,8)，分別為|α1|、β1、|α2|、β2、σsum、σmax、tα和tβ.采用Box-Behnken方法布置實驗點位置及擬合二階響應面三水平設計，利用已有理論模型進行實驗設計，并采用最小二乘法對參數(shù)進行擬合，可得響應面近似模型為

R=uχ+u0

(17)

u=

式中：R為響應列陣；χ為實驗因子列陣；u0為常數(shù)項列陣；u為總系數(shù)矩陣.

表5 響應面模型誤差分析Tab.5 Error analysis of response surface model

3.4 優(yōu)化分析

以表1的性能為目標進行參數(shù)優(yōu)化.通過Design-Expert軟件中的響應面模型求解實驗因子的優(yōu)化值，部分實驗因子組合如表6所示.h3的值是優(yōu)化范圍的最小值，因此不是最優(yōu)值，考慮到吊鉤尺寸h3=110 mm.對接性能中θ1對于性能的影響較大且工程中θ2更容易滿足，參數(shù)lc對響應θ1為正影響，參數(shù)h1對響應θ1為負影響.為了使θ1趨于最小值，選取lc=90 mm、h1=23 mm.參數(shù)b1和b2對響應θ1為負影響，考慮到結構尺寸和加工制作，二者均取為70 mm.參數(shù)h2對響應θ1和tr為負影響，取其最大值為100 mm.

表6 實驗因子的部分優(yōu)化解集Tab.6 Partial optimal solutions of the experimental factors

經(jīng)由理論模型分析，優(yōu)化后的擺動柔順式吊鉤性能如表7所示.優(yōu)化后的擺動柔順式吊鉤滿足吊鉤空載和負載的偏角要求，同時空載時吊鉤穩(wěn)定時間和負載時柔性機構應力較小.與初始性能對比可以看出，吊鉤空載和負載偏角得到了一定程度的優(yōu)化，同時柔性機構應力和吊鉤穩(wěn)定時間均得到了改善.

表7 優(yōu)化結果比較Tab.7 Comparison of optimization results

4 結論

經(jīng)過上述研究，本文主要結論如下.

(1)對現(xiàn)有的發(fā)射箱裝填方式進行分析，提出一種用于發(fā)射箱裝填的新型柔性裝填方案，并在此基礎上設計了擺動柔順式吊鉤.

(2)為描述擺動柔順式吊鉤的性能，在節(jié)點位移法基礎上建立了以結構參數(shù)為變量的參數(shù)化理論模型，如吊鉤位移模塊、柔性機構應力模塊和吊鉤動力學模型.

(3)為了綜合優(yōu)化擺動柔順式吊鉤性能，根據(jù)篩選出對性能影響較大的關鍵參數(shù)構建表征擺動柔順式吊鉤性能的響應面模型.優(yōu)化結果表明，當柔性機構長度為90 mm，安裝高度為23 mm，吊鉤末端高度為110 mm時，該擺動柔順式吊鉤的綜合性能最優(yōu).

(4)本文提出的節(jié)點位移法建模、篩選關鍵結構參數(shù)、響應面模型優(yōu)化研究方法適用于機械系統(tǒng)關鍵部分的結構參數(shù)優(yōu)化，可為進一步的優(yōu)化(如拓撲優(yōu)化)提供理論依據(jù).