微分工具與積分工具之比較

邢秀俠

（北京工業(yè)大學理學部，北京100124）

0 引言

眾所周知，高等數(shù)學的核心內(nèi)容是一元函數(shù)的微分（求導）和積分，透徹理解這兩個概念，尤其是熟練掌握它們的計算是非常重要的。求微分（求導）和求不定積分有著各自的工具，因為這兩個運算是互為逆運算的關系，所以它們的計算工具之間也存在著密切的聯(lián)系。

接下來，本文將詳細梳理求微分（求導）和求不定積分的主要工具的建立過程，并分析這些工具各自的特點以及它們之間的密切聯(lián)系和區(qū)別。因為求導和求微分的主要工具本質(zhì)上是一樣的，所以下面我們僅以求導為例來說明求微分（求導）的工具。

1 求導的主要工具

在高等數(shù)學教材中，建立常用的求導工具需要以下五步。

1.1 引出導數(shù)的定義

教材中通常先由兩個典型例子（切線和瞬時速度）引出導數(shù)的定義。這個抽象的定義是通過極限給出的，直接用來求導通常是比較困難的。

1.2 導出部分基本初等函數(shù)的求導公式

直接利用導數(shù)的定義，可求出常函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)中的正（余）弦函數(shù)的導數(shù)，其余基本初等函數(shù)的求導則依賴于后面的求導法則。

1.3 建立求導法則

從導數(shù)定義出發(fā)，利用極限的抽象理論，建立若干求導法則，可使求導問題系統(tǒng)化。它們分別是四則運算、復合運算和反函數(shù)的求導法則。其中復合運算的求導法則是后續(xù)建立其它求導法的基礎，因此相對更重要一些。

1.4 導出其它基本初等函數(shù)的求導公式

由上面的導數(shù)公式和求導法則，剩余幾類基本初等函數(shù)的求導公式都可以推導出來，具體過程如圖1所示。

圖1 公式推導過程

1.5 建立其它特殊的求導法

利用復合運算的求導法則，還可以針對隱函數(shù)、冪指型函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)發(fā)展特殊的求導法。

在上面這些求導工具中，最重要的工具是基本初等函數(shù)的求導公式、四則運算的求導法則和復合函數(shù)的求導法則，它們被稱為求導的三大法寶。

2 求不定積分的主要工具

建立求初等函數(shù)不定積分的工具通常需要下面四步。

2.1 導出一些較簡單函數(shù)的不定積分公式

由不定積分的定義，在每個基本初等函數(shù)求導公式的右端添加上積分號，左端去掉求導符號并加上任意常數(shù)、就直接寫出了一些函數(shù)的不定積分的公式，包括常、冪、指數(shù)函數(shù)，部分三角函數(shù)[正（余）弦、正（余）割的平方、正（余）割與正（余）切函數(shù)的乘積]、還有分式和無理式。于是基本積分公式表1就產(chǎn)生了。

2.2 建立不定積分的線性性質(zhì)

與求導運算類似，不定積分也有線性性質(zhì)。如果求兩個函數(shù)和（差）的不定積分，可以分別求這兩個函數(shù)的積分，然后再相加（減）。另外，積分符號里的常數(shù)因子可以與積分符號交換次序。

利用前兩步得到的工具，仍然只能求解有限的較簡單函數(shù)的不定積分，因此還要利用求導的法則繼續(xù)發(fā)展一些高等的積分法。

2.3 導出第一、二類換元積分法

與復合函數(shù)的求導法則相對應，不定積分有第一、二類換元積分法，利用它們可以推導出一些三角函數(shù)[包括正（余）切、正（余）割函數(shù)]、分式無理式（其中a為常數(shù)）的積分公式，它們組成了不定積分的基本公式表2。

兩類積分法之間也有特殊的聯(lián)系。從換元積分法公式的形式上看，把第一類換元積分法的公式從右往左倒過來用，就得到了第二類換元積分法，反之亦然。

第一類換元法適合處理兩個函數(shù)的復合與內(nèi)層函數(shù)的導數(shù)乘積的不定積分，最關鍵的是把內(nèi)層函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積湊成內(nèi)層函數(shù)的微分，因此第一類換元法也被稱為湊微分法。

第二類換元法中最典型的變換分別是三角、根式和倒代換，它們可以處理被積函數(shù)含有根號、分式（無理式）的分母上次冪較高的情形。第二類換元法的代換有很多種，在求不定積分時，具體的變換依賴于被積函數(shù)的形式。

2.4 導出分部積分法

由乘積的求導法則，可以推出分部積分法，用它可以求兩個不同函數(shù)乘積的不定積分，特別適用于求反三角、對數(shù)、冪、三角和指數(shù)函數(shù)中的其中兩類函數(shù)相乘時的不定積分。

至此，得到了所有的求不定積分的工具，其中不定積分基本公式、兩類換元法和分部積分法被稱為積分的三大法寶。

3 求導的工具與積分的工具之間的聯(lián)系

求導的工具與求不定積分的工具之間存在著密切的聯(lián)系，可以說正是由求導的三大法寶分別推導出了積分的三大法寶，具體對應關系如圖2所示。

圖2 求導公式對應的積分法

4 求導工具與積分工具的對比

求導有三大法寶，積分也有相應的三大法寶。雖然兩者的工具個數(shù)相同，但從適用范圍上來看，求導的工具比積分的工具強大很多。求導對于函數(shù)的復合和四則運算都有相應的法則。但不定積分僅對函數(shù)的加和減的運算有對應的積分法，對于函數(shù)的乘積，僅有第一換元法和分部積分法，且只能處理一些特殊的函數(shù)乘積的情形；對于兩個函數(shù)的商和復合的運算，都沒有專門的積分法。

5 結(jié)語

求不定積分比求導困難很多。利用求導的三大法寶可以求出任意初等函數(shù)的導數(shù)，但是求解不定積分的方法靈活，技巧性強，常常是一題一解，具有創(chuàng)造性。