基于蒙特卡洛法的反艦導(dǎo)彈搜捕概率仿真研究

張海峰，齊鴻坤，侯學(xué)隆，王宗杰

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264001)

1 引言

現(xiàn)在點(diǎn)射擊是目前反艦導(dǎo)彈常用的作戰(zhàn)方式[1]，如圖1所示，反艦導(dǎo)彈在發(fā)射后對(duì)目標(biāo)的搜捕概率主要受導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布誤差、機(jī)動(dòng)目標(biāo)位置誤差及末制導(dǎo)雷達(dá)特性等因素影響[2]。因此，在實(shí)驗(yàn)仿真中準(zhǔn)確描述計(jì)算上述3個(gè)影響因素對(duì)于求解反艦導(dǎo)彈搜捕概率起著決定性作用。

文獻(xiàn)[3-4]運(yùn)用解析法求解了反艦導(dǎo)彈的搜捕概率，但其假定機(jī)動(dòng)目標(biāo)在最大可能散布圓內(nèi)服從均勻分布，不符合艦艇實(shí)際的機(jī)動(dòng)情況。文獻(xiàn)[5]使用解析法在假設(shè)艦艇目標(biāo)靜止情況下對(duì)反艦導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布進(jìn)行了準(zhǔn)確計(jì)算與仿真。文獻(xiàn)[6]運(yùn)用蒙特卡洛仿真水面艦艇目標(biāo)散布圓特征，但未進(jìn)一步求解反艦導(dǎo)彈的搜捕概率。對(duì)于反艦導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布誤差用解析法表示更為準(zhǔn)確且工作量小，文獻(xiàn)[7]采用蒙特卡洛法進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。由于艦艇機(jī)動(dòng)目標(biāo)位置散布由目標(biāo)初始位置散布和機(jī)動(dòng)散布引起，不能用公式簡(jiǎn)單準(zhǔn)確表述，因此對(duì)于艦艇的目標(biāo)位置散布，用蒙特卡洛法仿真可實(shí)現(xiàn)精確描述。對(duì)于導(dǎo)彈的自控終點(diǎn)散布誤差及搜捕扇面，使用解析法更加準(zhǔn)確且工作量較小。

2 自控終點(diǎn)散布誤差

自控終點(diǎn)散布是指飛行彈道實(shí)際自控終點(diǎn)與理論自控終點(diǎn)的偏差[8]。該偏差直接影響末制導(dǎo)雷達(dá)開機(jī)后對(duì)目標(biāo)的搜捕概率[9]。反艦導(dǎo)彈自控終點(diǎn)是彈道空間上某一點(diǎn)，可以用三維隨機(jī)變量(X、Y、Z)來表示，其散布按空間正態(tài)分布律來描述。由于反艦導(dǎo)彈的飛行高度較低，且在自控段彈道均處于平穩(wěn)飛行,因此在建立模型時(shí)自控終點(diǎn)散布取平行于海平面的側(cè)向散布和縱向散布[10]。影響反艦導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布的因素主要包括導(dǎo)彈初始對(duì)準(zhǔn)誤差和自控飛行誤差。由于新型反艦導(dǎo)彈采用慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，其誤差隨時(shí)間積累[11]，對(duì)于已定型的導(dǎo)彈，通過實(shí)彈射擊試驗(yàn)和仿真手段可以確定慣性導(dǎo)航模式下導(dǎo)彈飛行時(shí)間與導(dǎo)航誤差關(guān)系表(見表1)。

表1 導(dǎo)彈飛行時(shí)間與導(dǎo)航誤差關(guān)系

不同慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)準(zhǔn)模式下導(dǎo)彈綜合導(dǎo)航誤差的差異較大，可通過數(shù)據(jù)擬合確定給定的自控飛行時(shí)間所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)航誤差均方差。用最小二乘法進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，即：

σ=f(td)

(1)

td=(D-d)/vd

(2)

式(1)～(2)中：σ為慣導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)航均方差(m)；td為導(dǎo)彈自控飛行時(shí)間(min)；D為導(dǎo)彈飛行航程(km)；d為末制導(dǎo)雷達(dá)開機(jī)距離(km)；vd為導(dǎo)彈飛行速度(Ma)。

反艦導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布概率密度可描述為：

(3)

將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，概率密度變?yōu)椋?/p>

(4)

式(4)中：mx、my表示反艦導(dǎo)彈理論開機(jī)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；σx、σy表示反艦導(dǎo)彈在X和Y兩個(gè)方向的導(dǎo)航均方差。

當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)末制導(dǎo)開機(jī)點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)彈所在的可能位置是一個(gè)以理論航路開機(jī)點(diǎn)為中心，最大的飛行軌道偏移為半徑所圍成的一個(gè)誤差散布圓[12]。根據(jù)正態(tài)分布的3σ法則得出自控終點(diǎn)散布圓半徑R=3σ。

3 機(jī)動(dòng)目標(biāo)位置誤差

海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)位置散布由目標(biāo)初始位置散布和機(jī)動(dòng)散布引起，如圖2所示。初始散布由偵察預(yù)警兵力的定位精度決定，機(jī)動(dòng)誤差由導(dǎo)彈飛行時(shí)間及目標(biāo)航向航速?zèng)Q定。

圖2 自控終點(diǎn)散布誤差及艦船目標(biāo)位置誤差示意圖

3.1 目標(biāo)初始位置散布的概率密度

目標(biāo)初始位置散布是一個(gè)二維隨機(jī)變量，根據(jù)偵察預(yù)警兵力對(duì)海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)的定位情況，可用二維正態(tài)分布描述，其數(shù)字特征可用均方差和數(shù)學(xué)期望來表征。均方差表征的是觀測(cè)系統(tǒng)的隨機(jī)誤差，數(shù)學(xué)期望表征的是系統(tǒng)誤差。偵察預(yù)警兵力的觀測(cè)系統(tǒng)應(yīng)采取各種技術(shù)來消除系統(tǒng)誤差，隨機(jī)誤差在X軸和Y軸沒有相互影響，因此假設(shè)二維正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為零且在2個(gè)坐標(biāo)軸方向的誤差相互獨(dú)立，其分布概率密度也可用公式(3)表示。

3.2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)散布

海上機(jī)動(dòng)目標(biāo)的航向、航速與目標(biāo)艦艇性能、編隊(duì)情況、水文氣象及任務(wù)狀態(tài)有關(guān)[13]。當(dāng)前反艦導(dǎo)彈多采用現(xiàn)在點(diǎn)攻擊，目標(biāo)航向、航速由偵察預(yù)警兵力實(shí)時(shí)更新并傳輸至岸導(dǎo)部隊(duì)，射擊諸元中的目標(biāo)航向、航速以最后時(shí)刻為準(zhǔn)。

根據(jù)對(duì)目標(biāo)航速的預(yù)測(cè)分析情況，選取概略航速均勻分布模型[14]，即目標(biāo)航速在某個(gè)范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率是均等的，航速概率密度為：

(5)

考慮艦艇在短時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)向困難，選取概率航向正態(tài)分布模型[15]，以最后時(shí)刻目標(biāo)航向Cc為中心航向角，分布范圍為ΔC。目標(biāo)集中在某個(gè)航向概率密度為：

(6)

4 反艦導(dǎo)彈搜捕模型設(shè)計(jì)

基于蒙特卡洛方法計(jì)算反艦導(dǎo)彈搜捕概率的思路為：將反艦導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布區(qū)域按極坐標(biāo)的方式分成n個(gè)扇形單元，通過蒙特卡洛法模擬產(chǎn)生目標(biāo)散布，統(tǒng)計(jì)落入單個(gè)搜索扇面的數(shù)量，計(jì)算單個(gè)扇形單元格的搜捕概率，最后將單個(gè)搜捕概率相加求出反艦導(dǎo)彈搜捕概率。其仿真計(jì)算邏輯如圖3所示。

圖3 反艦導(dǎo)彈搜捕模型仿真計(jì)算邏輯框圖

建立以導(dǎo)彈理論自控終點(diǎn)為原點(diǎn)O(0,0)，導(dǎo)彈飛行方向?yàn)閄軸正方向，Y軸滿足右手定則的XOY坐標(biāo)系[16]。艦艇理論初始位置為M(x,0)，其中x為導(dǎo)彈末制導(dǎo)雷達(dá)開機(jī)距離(導(dǎo)彈理論自控終點(diǎn)距艦艇理論初始位置的距離)。

將導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布范圍按極坐標(biāo)的方式分成個(gè)扇形單元，每個(gè)扇形單元的半徑為Δρ，角度為Δθ。以第i個(gè)扇形單元為積分區(qū)域求出導(dǎo)彈落在此范圍內(nèi)的概率為Pz(i)，系統(tǒng)誤差為零時(shí)二維正態(tài)分布概率密度關(guān)于X軸、Y軸對(duì)稱，計(jì)算導(dǎo)彈在單個(gè)扇形單元的搜捕概率，只需計(jì)算第一、二象限的概率即可，對(duì)于第三、四象限可根據(jù)對(duì)稱性獲得。導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布誤差極坐標(biāo)下的分布函數(shù)為：

(7)

設(shè)每個(gè)扇形單元的中心位置B(i)(x(i),y(i))為雷達(dá)的開機(jī)點(diǎn)形成搜索扇面Dσs，搜索角度α∈(α1,α2)，搜索距離d∈(d1,d2)。設(shè)第j次蒙特卡洛仿真中，目標(biāo)艦艇的初始位置為M0(j)(x0(j),y0(j))，其航速為vj，航向?yàn)閏j，經(jīng)過tm時(shí)間機(jī)動(dòng)，目標(biāo)艦艇的位置為M1(j)(x1(j),y1(j))，具體計(jì)算步驟如下：

步驟1:根據(jù)目標(biāo)初始位置散布生成隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生第次仿真目標(biāo)初始位置M0(j)(x0(j),y0(j))；

步驟2:根據(jù)目標(biāo)航速均勻分布生成隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生第j次仿真目標(biāo)航速vj;根據(jù)目標(biāo)航向一維正態(tài)分布生成隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生第j次仿真目標(biāo)航向cj;

步驟3:計(jì)算水面艦艇目標(biāo)以當(dāng)前航向、航速經(jīng)過tm時(shí)間機(jī)動(dòng)后的所在位置M1(j)(x1(j),y1(j))，計(jì)算公式如下:

(8)

水面艦艇目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)間tm指目標(biāo)信息最后一次獲取時(shí)間到反艦導(dǎo)彈末制導(dǎo)雷達(dá)開機(jī)搜索時(shí)刻，可由反艦導(dǎo)彈射前準(zhǔn)備時(shí)間tq及導(dǎo)彈發(fā)射后空中飛行時(shí)間td相加得到[17]。

步驟4：判斷第j次仿真目標(biāo)是否落入導(dǎo)彈的搜索扇面內(nèi)M1(j)(x1(j),y1(j))∈Dσs，判斷方法如下：計(jì)算得到仿真艦艇目標(biāo)與扇形單元中心點(diǎn)的距離Δd及與X軸夾角φ，若d1≤Δd≤d2且α1≤φ≤α2，認(rèn)為艦艇目標(biāo)落入導(dǎo)彈搜索扇面。

步驟5：計(jì)算落入導(dǎo)彈搜索扇面內(nèi)的次數(shù)與總的仿真次數(shù)之比N，近似為在此扇面內(nèi)導(dǎo)彈成功搜捕的概率Pm(i)，Pz(i)與Pm(i)相乘，即為反艦導(dǎo)彈在第個(gè)扇形單元的搜捕概率Ps(i)。所有扇形單元搜捕概率Ps(i)相加為反艦導(dǎo)彈的搜捕概率Ps。

5 仿真分析

仿真計(jì)算初始數(shù)據(jù)如表2所示，分布模型數(shù)據(jù)如表3所示。

表2 仿真計(jì)算初始數(shù)據(jù)

表3 分布模型數(shù)據(jù)

在開機(jī)距離35 km、搜索距離20～50 km,搜索扇面的典型參數(shù)條件下，反艦導(dǎo)彈的搜捕概率為0.941 9，如圖4所示。

圖4 反艦導(dǎo)彈典型參數(shù)搜捕模型及概率示意圖

5.1 末制導(dǎo)雷達(dá)開機(jī)距離對(duì)搜捕概率的影響

其他參數(shù)值不變，計(jì)算反艦導(dǎo)彈末制導(dǎo)雷達(dá)開機(jī)距離在10～38 km區(qū)間變化時(shí)對(duì)導(dǎo)彈搜捕概率的影響，如圖5所示。雷達(dá)開機(jī)距離不僅影響艦艇的機(jī)動(dòng)時(shí)間，還會(huì)影響導(dǎo)彈的導(dǎo)航誤差，二者綜合對(duì)搜捕概率產(chǎn)生影響。當(dāng)導(dǎo)彈近距離開機(jī)時(shí)，艦艇恰好處于導(dǎo)彈搜索盲區(qū)，搜捕概率很低甚至為零；在開機(jī)距離為31 km時(shí)，導(dǎo)彈搜捕概率達(dá)到最大。在這個(gè)范圍內(nèi)，雷達(dá)開機(jī)距離越遠(yuǎn)，末制導(dǎo)雷達(dá)開機(jī)前飛行距離越短，飛行時(shí)間越少，導(dǎo)彈自控終點(diǎn)誤差越小，艦艇機(jī)動(dòng)時(shí)間短、距離小，導(dǎo)彈的搜捕概率越大。開機(jī)距離大于31 km后，導(dǎo)彈搜索扇面難以覆蓋艦艇的機(jī)動(dòng)范圍，導(dǎo)致搜捕概率下降。

圖5 開機(jī)距離對(duì)搜捕概率的影響曲線

5.2 搜捕扇面近界遠(yuǎn)界對(duì)搜捕概率的影響

其他參數(shù)值不變，計(jì)算反艦導(dǎo)彈搜索扇面近界在5～50 km、遠(yuǎn)界在15～60 km內(nèi)變化且搜索范圍不小于10 km對(duì)導(dǎo)彈搜捕概率的影響，如圖6所示。本次仿真中設(shè)定開機(jī)距離為35 km，導(dǎo)彈搜索扇面遠(yuǎn)界對(duì)搜捕概率的影響要大于近界。舉例說明，搜索近界、遠(yuǎn)界設(shè)定為[5,50]km時(shí)搜捕概率為0.943 2，近界、遠(yuǎn)界為[5,45]km時(shí)搜捕概率僅為0.690 6。這是由于導(dǎo)彈遠(yuǎn)界和近界的設(shè)定與岸艦導(dǎo)彈開機(jī)距離密切相關(guān)，因此在實(shí)際作戰(zhàn)中，射擊諸元的輸入要統(tǒng)籌考慮開機(jī)距離與搜捕近界、遠(yuǎn)界。

圖6 搜捕扇面遠(yuǎn)近界對(duì)搜捕概率的影響曲面

5.3 搜捕扇面角度對(duì)搜捕概率的影響

其他參數(shù)值不變，計(jì)算反艦導(dǎo)彈搜索扇面左角在-40°～10°、右角在-10°～40°范圍內(nèi)且搜索角度不小于30°對(duì)導(dǎo)彈搜捕概率的影響，如圖7所示。反艦導(dǎo)彈搜捕扇面角度的設(shè)定與艦艇的機(jī)動(dòng)方向密切相關(guān)，本次仿真中設(shè)定艦艇的航向服從期望為0°，方差為30°的正態(tài)分布，總體是分布于艦艇理論初始位置橫向兩側(cè)。所以在求解搜捕扇面角度對(duì)搜捕概率的影響時(shí)，相同搜索角度下，搜索左角和右角關(guān)于X軸對(duì)稱時(shí)可以獲得較高的搜捕概率。

圖7 搜捕扇面角度對(duì)搜捕概率的影響曲面

6 結(jié)論

在構(gòu)建反艦導(dǎo)彈自控終點(diǎn)散布誤差、導(dǎo)彈搜索扇面模型及艦艇初始位置散布模型、航向航速模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于蒙特卡洛法的反艦導(dǎo)彈搜捕概率計(jì)算模型，通過仿真驗(yàn)證，該方法通用性強(qiáng)、效率高，具有較高的實(shí)用性。通過分析反艦導(dǎo)彈開機(jī)距離、搜索扇面寬度和角度對(duì)搜捕概率的影響，可以發(fā)現(xiàn)各因素對(duì)搜捕概率的影響相互關(guān)聯(lián)。對(duì)于某一型導(dǎo)彈的使用，提高其搜捕概率要緊密結(jié)合其戰(zhàn)術(shù)使命、性能參數(shù)及戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境綜合考慮，計(jì)算出最精準(zhǔn)的射擊諸元。