正交各向異性聲源膜板的自由振動(dòng)特性分析

王久法

(宜昌測(cè)試技術(shù)研究所，湖北 宜昌 443099)

發(fā)聲器可模擬艦船或潛艇的輻射噪聲，應(yīng)用于反潛戰(zhàn)、水雷戰(zhàn)等軍事領(lǐng)域以及工程領(lǐng)域中，也可發(fā)出低頻聲場(chǎng)，應(yīng)用于海底資源勘探等工程領(lǐng)域中。聲源膜板作為發(fā)聲器的重要組成部分，其振動(dòng)特性對(duì)發(fā)聲器的性能有著重要的影響。

正交各向異性材料由于在各個(gè)方向上具有不同力學(xué)性質(zhì)，通過改變不同方向的性能參數(shù)，可以靈活控制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，從而產(chǎn)生不同的輻射噪聲，實(shí)現(xiàn)不同噪聲譜的模擬，因此，正交各向異性材料越來越廣泛的應(yīng)用于發(fā)聲器中。

為了分析正交各向異性材料的振動(dòng)特性，近年來，許多學(xué)者進(jìn)行了大量研究，取得了一系列成果。如Gorman[1]使用疊加法，Hurlebaus等[2]采用Galerkin原理，Xing等[3-4]采用分離變量法，Jafari等[5]采用微分求積法分析了正交各向異性薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。不過，這些研究均基于Kirchhoff理論，其適用范圍有限，當(dāng)結(jié)構(gòu)厚度較大時(shí)，該理論得到的計(jì)算結(jié)果與真實(shí)情況間會(huì)產(chǎn)生較大的偏差，為了提高計(jì)算準(zhǔn)確性，Liew等[6-11]采用Reyleigh-Ritz法、分離變量法、譜有限元法等方法開展中厚板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析。

這些研究在建立邊界約束方程時(shí)，邊界條件均假定為固支、簡(jiǎn)支和自由等經(jīng)典條件，而正交各向異性聲源膜板在實(shí)際使用時(shí)，其邊界條件并非僅僅局限于這幾種經(jīng)典邊界條件，還存在著均勻彈性支撐等復(fù)雜的邊界條件，建立正交各向異性聲源膜板在彈性支撐下的振動(dòng)模型具有重要的意義。近年來，Li等[12-14]提出一種改進(jìn)的Fourier級(jí)數(shù)方法，開展了彈性邊界條件下的板梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性分析。Du等[15-17]將該方法進(jìn)一步拓展應(yīng)用，結(jié)合Hamilton原理，實(shí)現(xiàn)了中厚板、層合板等結(jié)構(gòu)在彈性邊界條件下的振動(dòng)特性分析。

本文采用改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)的方法，將正交各向異性聲源膜板的振動(dòng)位移函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)的二維Fourier余弦級(jí)數(shù)和輔助Fourier級(jí)數(shù)之和的形式，通過輔助級(jí)數(shù)的引入，實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)位移函數(shù)在整個(gè)板的求解域內(nèi)展開時(shí)都有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。基于Mindlin理論，推導(dǎo)出正交各向異性聲源膜板在任意邊界條件下的振動(dòng)矩陣方程，不同邊界條件的振動(dòng)特性可通過求解該矩陣方程而得到。

1 控制微分方程求解

正交各向異性聲源膜板的模型，如圖1所示，聲源膜板結(jié)構(gòu)的四個(gè)邊界處分別均勻地布置橫向位移彈簧、旋轉(zhuǎn)彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧，通過改變剛度值，實(shí)現(xiàn)對(duì)任意彈性邊界條件的模擬。

圖1 彈性邊界條件下聲源膜板結(jié)構(gòu)示意圖

經(jīng)典邊界條件均可通過對(duì)彈簧的剛度值進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)置而得到。當(dāng)所有彈簧剛度值均為零時(shí)，可實(shí)現(xiàn)自由邊界條件的模擬；橫向位移和扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值為無窮大，當(dāng)旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值為零時(shí)，可實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)支邊界條件的模擬；當(dāng)所有的彈簧剛度值均為無窮大時(shí)，可實(shí)現(xiàn)固支邊界條件的模擬，文中無窮大取為107×D0。

根據(jù)Mindlin理論，正交各向異性聲源膜板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的控制方程為

(1)

式中:D1,D2,D3,D12,D6,G4,G5為正交各向異性聲源膜板的材料參數(shù)，可參考Liew的研究進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)其為單層板結(jié)構(gòu)時(shí)，D1=E1h3/[12(1-v1v2)]，D2=E2h3/[12(1-v1v2)]，D3=D12+D6，D12=v1D1=v2D2，D6=G12h3/12，G4=kG23h,G5=kG13h,J=h3/12;w為撓度;ρ為密度;h為厚度;k為剪切系數(shù);E1,E2,v1,v2,G12,G13和G23為單層板的彈性常數(shù);ω為角頻率。

為了解決振動(dòng)位移函數(shù)在邊界處的不連續(xù)問題，本文采用改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)方法，將正交各異性聲源膜板結(jié)構(gòu)的橫向位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)通過沿x軸和y軸方向的兩個(gè)分量來描述

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

與y相關(guān)的輔助函數(shù)可以將式(7)、式(8)中的a和x分別用b和y進(jìn)行替換得到。從式(4)～式(6)可以看出，振動(dòng)位移和轉(zhuǎn)角函數(shù)展開時(shí)除了標(biāo)準(zhǔn)的二維Fourier級(jí)數(shù)，還增加了四項(xiàng)輔助的單Fourier級(jí)數(shù)。通過輔助項(xiàng)，可有效解決振動(dòng)位移和轉(zhuǎn)角函數(shù)關(guān)于x和y的一階偏導(dǎo)在邊界處的潛在不連續(xù)性問題。因此，改進(jìn)的Fourier級(jí)數(shù)解可以適用于任意的彈性邊界條件，同時(shí)也能改善級(jí)數(shù)的收斂性。

將式(4)～式(6)代入控制式(1)中，并將所有的輔助級(jí)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均展開為Fourier余弦級(jí)數(shù)，并利用方程左右兩端余弦項(xiàng)系數(shù)相等有

(9)

式中:m=0,1,2,…;n=0,1,2,…;輔助級(jí)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的Fourier展開為

(10)

(11)

同理，將式(4)～式(6)代入控制方程式(2)和式(3)中并展開為Fourier余弦級(jí)數(shù)。將當(dāng)所有級(jí)數(shù)展開在數(shù)值計(jì)算過程中均截?cái)嘤趍=M和n=N，式(1)～式(3)可以寫為

(BA+CP)+ρhω2(EA+FP)=0

(12)

2 彈性約束邊界條件

彈性約束邊界條件可寫為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：kx0,Kx0和Kyx0(kxa,Kxa和Kyxa)分別為x=0(x=a)處橫向位移、旋轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度；ky0，Ky0和Kxy0(kyb，Kyb和Kxyb)分別為y=0(y=b)處橫向位移、旋轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度。

將式(4)～式(6)代入式(13)～式(18)中，并將輔助級(jí)數(shù)展開Fourier級(jí)數(shù)，由方程兩端余弦項(xiàng)系數(shù)相等有

(25)

式中，m=0,1,2,…。

(28)

式中，n=0,1,2,…。

同理，將式(4)～式(6)代入式(19)～式(24)中可得另外六個(gè)方程式。當(dāng)級(jí)數(shù)的截?cái)鄶?shù)取為m=M和n=N時(shí)，約束方程可寫成矩陣表達(dá)示為

HP=QA

(31)

將式(31)代入式(12)中，可得到最終的系統(tǒng)方程為

(K-ρhω2M)A=0

(32)

式中：K=(B+CH-1Q)/D1;M=(E+FH-1Q)。

正交各向異性聲源膜板的振動(dòng)頻率以及振型均可通過求解這一標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程的特征值和特征向量得到，其中，特征向量為所對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)形狀分布的Fourier系數(shù)。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

本文考慮的正交各向異性聲源膜板為復(fù)合材料層合板，由多層等厚的單元板復(fù)合而成。單元板的材料性能參數(shù)為Ex/Ey=40,G12=3/5Ey,G23=1/2Ey,G13=3/5Ey,vy=1/4,vx=0.006 25;剪切修正系數(shù)為k=π2/12。文中:C為固支邊界條件；F為自由邊界條件；S為簡(jiǎn)支邊界條件。假設(shè)某邊界條件為FSCC，其表示沿邊界x=0，y=0，x=a和y=b的邊界條件分別為自由、簡(jiǎn)支、固支和固支。

在求解式(32)時(shí)，M和N取值越大，計(jì)算結(jié)果越精確，當(dāng)M和N趨于無窮大時(shí)得到精確解。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，M和N的值越大，其計(jì)算時(shí)間和成本越大，因此，快速收斂成為該方法是否適用的重要參考指標(biāo)。為了檢驗(yàn)收斂性，表1給出了正交各向異性聲源膜板在不同截?cái)鄶?shù)時(shí)的計(jì)算結(jié)果，其中，聲源膜板為三層板結(jié)構(gòu)0°/90°/0°，聲源膜板的長(zhǎng)寬比a/b=1，厚度比b/h=10，邊界條件為SSFF。從表1中可以看出，M和N的值超過10時(shí)，計(jì)算結(jié)果幾乎就不再變化，M=N=3和M=N=16時(shí)得到的前八階無量綱固有頻率的最大偏差為1.38%，即本方法具有較好的收斂性，當(dāng)截?cái)鄶?shù)取較小的值時(shí)就能得到比較精確的結(jié)果。

表1 聲源膜板振動(dòng)方程的收斂性

通過求解式(32)可得到結(jié)構(gòu)在任意邊界條件下的模態(tài)信息，表2給出了不同厚度比和經(jīng)典邊界條件下正交各向異性聲源膜板的前六階無量綱振動(dòng)頻率參數(shù)Ω=(ωa2/π2)(ρh/D0)1/2，其中，聲源膜板為三層板結(jié)構(gòu)0°/90°/0°，D0=Eyh3/[12(1-vxvy)]，兩個(gè)方向的振動(dòng)位移函數(shù)展開時(shí)均采用相同的截?cái)鄶?shù)，取值為M=N=12。為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，表2中也給出了Liew采用Ritz法以及Liu等研究中采用分離變量法得到的計(jì)算結(jié)果，通過比較可知，本文方法得到的結(jié)果與其他方法得到的結(jié)果吻合良好，最大偏差不超過0.5%，即本文方法適用于各種經(jīng)典邊界條件的振動(dòng)問題的求解。

表2 經(jīng)典邊界條件的聲源膜板的頻率參數(shù)

表3分別給出反對(duì)稱角鋪設(shè)以及正規(guī)對(duì)稱正交鋪設(shè)四邊簡(jiǎn)支正交各向異性膜板在不同的厚度比條件下的基頻，同時(shí)，表中也給出了文獻(xiàn)[18-19]采用高階剪切理論得到的結(jié)果。45°/-45°/45°/-45°表示正交各向異性膜板由4層單層板構(gòu)成，第1層和第3層的主方向的夾角為45°，第2層和第3層為-45°，從計(jì)算結(jié)果可知，本文方法得到的結(jié)果與高階剪切理論得到的結(jié)果偏差不超過1%，特別是當(dāng)厚度比不超過0.1時(shí)，兩種方法的偏差不超過0.5%。

表3 四邊簡(jiǎn)支正交各向異性膜板的基頻

本方法采用約束彈簧來模擬邊界條件，通過將其作為振動(dòng)方程中的一個(gè)參數(shù)，使邊界條件的問題轉(zhuǎn)化為彈簧剛度參數(shù)設(shè)置的問題，從而便于研究邊界條件對(duì)振動(dòng)特性的影響。圖2給出了長(zhǎng)寬比a/b=1，厚度比b/h=5的聲源膜板在不同彈性支撐剛度下的前十階無量綱振動(dòng)頻率曲線。其中，板結(jié)構(gòu)四邊上的橫向位移約束彈簧剛度值和扭轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值都為無窮大，旋轉(zhuǎn)移約束彈簧剛度值為10k×D1。圖中曲線k(k=1,2，…，7)表示為旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值都為10k×D1下的計(jì)算結(jié)果。從圖2中可以看出，當(dāng)k≤4時(shí)，彈簧剛度值對(duì)聲源膜板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率產(chǎn)生極為明顯的影響，隨著彈簧剛度值的增加，矩形板的頻率也隨之增大。因此，在發(fā)聲器工作過程中，可通過改變聲源膜板的邊界條件，實(shí)現(xiàn)不同噪聲譜的模擬。同時(shí)，從圖2中也可看出，當(dāng)k≥5時(shí)，曲線幾乎不在變化，頻率值變?yōu)檫吔鐥l件為CCCC下的結(jié)果。從這里也能看出，本文看中剛度值為107×D1近似為無窮大是合適的。

圖2 彈性邊界條件下板的振動(dòng)頻率

4 結(jié) 論

本文采用改進(jìn)Fourier級(jí)數(shù)方法，將橫向振動(dòng)位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)的二維Fourier余弦級(jí)數(shù)和輔助級(jí)數(shù)的線性疊加，建立了正交各向異性聲源膜板的在任意邊界條件下通用振動(dòng)模型，聲源膜板的固有頻率和振型等均可通過求解該矩陣方程得到。聲源膜板的邊界條件采用橫向位移約束彈簧、旋轉(zhuǎn)約束彈簧和扭轉(zhuǎn)約束彈簧來模擬，不同邊界條件通過設(shè)置相應(yīng)的邊界彈簧剛度值來實(shí)現(xiàn)。最后進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，并與其他文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了本方法的快速收斂性和準(zhǔn)確性。