數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

胡 軍（江蘇省揚州市江都區(qū)第一中學(xué)，江蘇 揚州 225000）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多理論化的知識，既包括幾何理論知識的學(xué)習(xí)，如直線與圓的方程、平面向量，又包括概率問題的學(xué)習(xí)、函數(shù)的學(xué)習(xí)等.數(shù)學(xué)知識點往往是歷代數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長時間的研究和探索，無數(shù)個日夜的潛心計算，最終得出的簡潔的數(shù)學(xué)結(jié)論，看似只有簡單的幾行數(shù)字符號，但實際上背后蘊含了巨大的數(shù)學(xué)體系，這對學(xué)生的理解能力要求得十分高，如果只進(jìn)行單一的知識灌輸，那么很難起到一個較好的教學(xué)效果，而且如果不能在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，高中生們就很難真正地將公式記憶下來，更不用提將所學(xué)知識靈活地運用在實際的解題中，因此，教師可以采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式展開教學(xué)，幫助學(xué)生理解和記憶數(shù)學(xué)概念.下面，筆者將依據(jù)自己在高中數(shù)學(xué)教學(xué)一線多年的經(jīng)驗，就此展開討論，希望對大家有所幫助.

一、數(shù)形結(jié)合思想的核心理念

我們都知道，課本上的數(shù)學(xué)概念多是以公式、符號的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，乍一看上去讓人毫無頭緒，無從入手.然而，數(shù)形結(jié)合思想的核心理念就是將復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)換成可視化的圖形，將數(shù)字間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形間的關(guān)系，如教師可以轉(zhuǎn)變成圖形間的位置關(guān)系、大小關(guān)系等，借助可視化的方式，將虛無縹緲的公式變成可以看得見、摸得著的視覺圖片，以幫助教學(xué)的開展.

二、數(shù)形結(jié)合對高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到的作用

高中的數(shù)學(xué)和初中的數(shù)學(xué)相比有一個跨越式的難度提升，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一個較高的要求，因此，教師采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式可以帶領(lǐng)學(xué)生快速體驗到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的節(jié)奏，進(jìn)入高中數(shù)學(xué)知識的課堂中.同時，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式與傳統(tǒng)的知識灌輸方法相比，結(jié)合了視覺，能夠幫助學(xué)生從多個角度同時理解問題，從而對課本知識有一個更加透徹的理解.除此之外，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式比較新穎，很容易活躍課堂氣氛，營造一個輕松開放的數(shù)學(xué)環(huán)境，這在枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生有著更高效的學(xué)習(xí)效率.

三、如何將數(shù)形結(jié)合思想融入高中課堂中

（一）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識

數(shù)形結(jié)合首先是一種理念，一種意識，其次是一種學(xué)習(xí)方法.學(xué)生只有先對數(shù)形結(jié)合的理念有一個具體的認(rèn)識，讓這種方法深入內(nèi)心，能夠不自覺地在平時的學(xué)習(xí)生活中運用起來，才能真正結(jié)合數(shù)形來學(xué)習(xí).否則，如果只是照貓畫虎地單純運用數(shù)形結(jié)合的方法，那么很容易浮于表面，學(xué)得其形而學(xué)不到其意，這樣的學(xué)習(xí)實際上是無效的，不能真正起到良好的學(xué)習(xí)效果.

由于學(xué)生在過去九年的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中大都沒有接觸數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，一貫以來運用的都是通過題海戰(zhàn)術(shù)來加深對數(shù)學(xué)概念的理解，對數(shù)形結(jié)合的理解不到位，因此，教師在進(jìn)行課堂教育之前必須用一定的時間來告訴學(xué)生什么是數(shù)形結(jié)合理論、數(shù)形結(jié)合理論對高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有什么幫助，以及怎樣才能真正用好數(shù)形結(jié)合理論，將其融入平時的學(xué)習(xí)中.然后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生用傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法和數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法分別對一個知識點展開學(xué)習(xí)，讓學(xué)生切身體會到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越之處，這樣一來，在嘗到甜頭以后，學(xué)生也會十分愿意地接受這種新型的學(xué)習(xí)理念，逐漸培養(yǎng)起學(xué)習(xí)意識.

那么如何在學(xué)習(xí)意識和習(xí)慣上培養(yǎng)起一個良好的數(shù)形結(jié)合理念呢？首先不從教學(xué)手段方面來探討，這一點在下一節(jié)會進(jìn)行具體研究.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)大致可以分為三個部分：第一，課前預(yù)習(xí)；第二，課上學(xué)習(xí)；第三，課后作業(yè)和復(fù)習(xí).教師可以先從第一點和第三點入手，幫助學(xué)生養(yǎng)成一個良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

在課前預(yù)習(xí)階段，一方面，教師可以對學(xué)生做出預(yù)習(xí)要求，先將本節(jié)課的知識點告訴學(xué)生，讓學(xué)生通過自己的理解將數(shù)學(xué)知識用圖像的方式表達(dá)出來，先對知識點有一個先決的理解，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成用圖形來幫助自己理解的習(xí)慣.另一方面，教師可以根據(jù)本節(jié)課的知識點給出一個圖形化的導(dǎo)入，采用“先圖形，后理論”的方法，讓學(xué)生觀察圖形，看一看能從這個幾何圖形中總結(jié)出什么規(guī)律，嘗試將其化簡為數(shù)學(xué)公式或定理.第一種方法的側(cè)重點在于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)知識把握能力及將符號轉(zhuǎn)換成圖形的能力，能幫助學(xué)生熟悉從數(shù)學(xué)定理到數(shù)學(xué)圖形的過程，使學(xué)生在腦海中形成數(shù)形結(jié)合的觀念.第二種方法則側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生對圖形的敏感程度，與第一種方法正好相反，能幫助學(xué)生熟悉從數(shù)學(xué)圖形到數(shù)學(xué)定理的過程.兩者都是數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)模式中十分重要的部分，兩者相輔相成，能讓學(xué)生充分地把握數(shù)學(xué)圖形和數(shù)學(xué)定理間的關(guān)系，加深理解，推進(jìn)教學(xué)的展開.

以具體的教學(xué)案例來說，在“概率”這個章節(jié)的學(xué)習(xí)過程中，教師可以在課前讓學(xué)生對班級內(nèi)其他學(xué)生的生日月份進(jìn)行統(tǒng)計，在得到數(shù)據(jù)后將其繪制成一張餅圖或柱狀圖，讓其他學(xué)生從中看出如果從班級里任選一名學(xué)生，在某個月的概率有多大.這從數(shù)據(jù)上可能體現(xiàn)得不是很明顯，不能直觀地看出來，而當(dāng)將這些數(shù)據(jù)匯總成一張圖時，事情就變得簡單起來，樣本數(shù)量大的占得餅圖比例也大，或者柱狀圖的矩形高度越高，使得學(xué)生幾乎不費吹灰之力就能看出哪個月份的概率是最大的，這就是由數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)到數(shù)學(xué)圖形的過程.反之，教師可以將已經(jīng)繪制的餅圖或柱狀圖給學(xué)生，讓學(xué)生從中推算出班級里每個月份出生的學(xué)生有多少.這樣一來，學(xué)生會對每個月份人數(shù)的大小有一個直觀上的認(rèn)知，如可以了解到1 月份的人多、8 月份的人少等.然后，在進(jìn)行具體計算的時候，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)結(jié)果確實如此，圖形和數(shù)據(jù)完美地對應(yīng)上，這就是由數(shù)學(xué)圖形到數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的過程.在這一過程中，學(xué)生既能對課堂內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)有一個清晰的認(rèn)識，便于數(shù)學(xué)課堂的開展，最重要的是能在預(yù)習(xí)中養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在今后的學(xué)習(xí)中有意識地利用圖形結(jié)合數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題.

（二）深入挖掘教材內(nèi)容，將教學(xué)方案與數(shù)形結(jié)合配合在一起

教材是高中數(shù)學(xué)的出發(fā)點，學(xué)習(xí)的方向和重點都是由教材來決定的，因此，要想取得一個比較好的數(shù)形結(jié)合教學(xué)效果，教師首先要從教材出發(fā)，深挖教材內(nèi)容，將其與數(shù)形結(jié)合的理念合并到一起，用圖形的形式來展現(xiàn)書本中的知識點，在備課的時候在教案中加入數(shù)形結(jié)合的部分，準(zhǔn)備一些教學(xué)資料.在做好充分的準(zhǔn)備之后，教師才能在課堂教學(xué)的時候達(dá)到游刃有余的程度，學(xué)生也可以依靠這些教學(xué)信息達(dá)到一個更好的學(xué)習(xí)效果.

從教案的角度出發(fā)，教師要在課堂環(huán)節(jié)中設(shè)置結(jié)合圖形講解知識的環(huán)節(jié)，并且最好在整個課堂中都能穿插著數(shù)形結(jié)合的理念.例如，在教學(xué)“集合”這一內(nèi)容的時候，教材中設(shè)置了子集、全集、補集的定義學(xué)習(xí)，以及交集、并集的集合之間運算關(guān)系的學(xué)習(xí)，乍一看上去十分相似的名詞容易一下子讓學(xué)生亂了手腳，不知道從何開始，形成思維混亂的情況，這時，教師可以將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)環(huán)節(jié)安排在課堂最開始的環(huán)節(jié)，在學(xué)生剛剛接觸集合的相關(guān)名詞時就借助圖形來梳理集合之間的關(guān)系，幫助學(xué)生厘清思路，很好地區(qū)分不同術(shù)語的區(qū)別.例如，教師可以在黑板上畫一個大的圓形，作為一個集合A，再在圓形內(nèi)畫一個小的圓形，作為集合B，這時候B是包含在A里面的，是A的“兒子”，因此，這就是子集的含義.然而，圓圈A（也就是集合A）中還有很多不屬于集合B的空白區(qū)域，這些空白區(qū)域幫助集合B補全了集合A，因此，這些區(qū)域就是B對于A的補集.這樣通過圖形來講解，學(xué)生就能對子集、全集、補集有一個很明確的區(qū)分.在講解交集和并集的時候，方法也是大同小異的，教師依舊在黑板上用兩種不同顏色的粉筆畫兩個圓形，代表集合A和集合B，當(dāng)兩個圓形（集合）重疊在一起的時候，它們的一部分交匯在一起，形成了一個新的區(qū)域，因此，這個“交匯”的部分就是兩個集合的交集.同理，兩個集合并排站在一起，它們組成了一個團(tuán)體，也就是組成了一個大的集合，那么這個由“并排在一起”的集合就稱為并集.在這個例子中，原本糾纏在一起十分容易混淆的集合概念，經(jīng)過幾個圓形變得豁然開朗了起來，書本上的數(shù)學(xué)公式可能無法形成具象化的集合形象，而借助數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生能夠很直觀地看到各個集合之間的關(guān)系，從而對集合的知識有一個比較深刻的理解.這正是數(shù)形結(jié)合理念的優(yōu)勢所在.

教學(xué)資料的輔助同樣可以幫助學(xué)生利用圖形的方法來看待數(shù)學(xué)問題，教師可以為學(xué)生展示圖片形式的概念知識，這樣在講解理論的時候，學(xué)生可以對照著相關(guān)的圖形來學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生更快地理解其中的關(guān)系，取得一個事半功倍的學(xué)習(xí)效果.正所謂雙拳難敵四手，雙管齊下的學(xué)習(xí)方式肯定能取得更好的成效.

（三）借助現(xiàn)代化的教學(xué)工具，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識

隨著科技的不斷發(fā)展，高科技的教學(xué)設(shè)備層出不窮，這些設(shè)備大都通過多媒體器材來將教學(xué)內(nèi)容可視化，提升教學(xué)質(zhì)量，而這正和數(shù)形結(jié)合的教育理念不謀而合，兩者結(jié)合在一起肯定能碰撞出美妙的火花，產(chǎn)生奇妙的化學(xué)效應(yīng).因此，教師要積極地運用這些現(xiàn)代化的教學(xué)工具開展數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)課堂活動，具體來說有以下兩點好處：第一，這些教學(xué)工具有著良好的圖形展示性能，往往可以將圖形的展示效果提升一個檔次，直接提升數(shù)形結(jié)合講解的課堂教學(xué)效果.第二，這些比較新穎的高科技產(chǎn)品總是備受年輕人的喜愛，學(xué)生會對這樣的教學(xué)形式產(chǎn)生濃厚的興趣，從而積極地投入數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中.俗話說，興趣是最好的老師，在興趣的驅(qū)使下，學(xué)生能夠提升對所學(xué)內(nèi)容的好奇心，自覺地想要探究其中的奧妙，教師也正是利用了這一點，在課堂上營造一個飽滿的學(xué)習(xí)氛圍，對教學(xué)質(zhì)量的提升有很大幫助.

舉例來說，教師可以利用動畫的方式展現(xiàn)圖形教學(xué)資料.在傳統(tǒng)的數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式中，教學(xué)資料一般都是靜止的圖片，這些圖片在展示一些數(shù)字關(guān)系、圖形關(guān)系，如概率論，流程圖等方面的時候，會有一個比較好的效果，而在展示一些需要有一個變化過程的知識概念的時候，往往就顯得力不從心，不能取得一個好的教學(xué)效果.

在進(jìn)行高三圓錐曲線的學(xué)習(xí)時，我們都知道圓錐曲線是高考的重點，也是幾何中難度相對較大的一個部分，以橢圓為例，橢圓中長軸、短軸以及焦點對所有的橢圓題目解題都有著很重要的作用.然而，學(xué)生在一開始很難理解橢圓中的長軸、短軸、焦點是什么，雖然圓形是橢圓的特殊情況，但圓形相對來說一目了然，圓心表示中心點，半徑表示點到圓的距離，很容易就可以根據(jù)半徑和圓心做出一個圓形來，但橢圓這個看上去“奇奇怪怪”的圖形不同，使得學(xué)生很難通過理解來看懂這些關(guān)鍵部分都是怎么來的、代表什么意思，以及它們是怎么繪制出一個橢圓的.這時，教師可以借助動畫的形式來繪制橢圓.橢圓實際上是到兩個點距離之和相等的點的集合，實際操作可能比較難，但是用動畫的形式就可以輕松地描述橢圓的繪制過程，這時，學(xué)生在看過以后就會恍然大悟.如果通過理論的講解，那么學(xué)生可能很久都無法聽懂，但是通過數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生一下子就可以看懂，教師教學(xué)的壓力也變得小很多.在這個基礎(chǔ)上，將橢圓的兩個焦點合并到一起，重疊成一個點，這時，橢圓就變成了圓，“2a”就變成了直徑，學(xué)生對圓和橢圓之間的關(guān)系也能得到清晰的認(rèn)識.

（四）從生活實例的應(yīng)用中，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)

高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該明白，在教學(xué)時既要傳授學(xué)生數(shù)學(xué)概念，更要讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，感受數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)，讓他們明白用數(shù)學(xué)可以解決日常生活中面臨的不同問題，了解數(shù)學(xué)的來源，了解數(shù)學(xué)的日常應(yīng)用，充分向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)文化，讓越來越多的學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)字，更是一種獨特的數(shù)字文化和數(shù)字魅力.為了提高教學(xué)質(zhì)量，高中數(shù)學(xué)教師有必要結(jié)合課程，讓學(xué)生意識到每天學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)和公式永遠(yuǎn)不會枯燥，而是具體的，可以在日常生活中得以應(yīng)用.任何一種理論知識從來都不是空穴來風(fēng)的.它有一定的發(fā)展源泉，也是在現(xiàn)實生活中總結(jié)出來的，再衍生出科學(xué)的智慧.如果教師把這種智慧變成填鴨式的教學(xué)，那么會使學(xué)生既不理解這種成就的智慧，又不理解其背后的意義.教師將專業(yè)的例子和日常生活中的例子引入課堂，能讓更多的學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力.從教學(xué)結(jié)果分析，教師可以將數(shù)形結(jié)合的思想充分引入課堂，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)中的所有理論知識，而數(shù)學(xué)理論本身來源于現(xiàn)實.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是將數(shù)學(xué)理論回歸現(xiàn)實生活，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決日常生活中可能遇到的問題.數(shù)學(xué)建模思想可以幫助學(xué)生逐步將大部分?jǐn)?shù)學(xué)理論知識轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生利用這個模型理解理論知識所包含的實際問題，并將這些知識應(yīng)用到日常生活中.在生活中，家長可以讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和目的，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生的創(chuàng)新意識不斷得到提升.

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)作為一門理論性比較強的學(xué)科，往往會存在許多很難理解的知識點，數(shù)形結(jié)合思想能很好地將數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化為具體的圖形，這樣一來，學(xué)生通過理解圖形之間的關(guān)系能更加容易地理解數(shù)學(xué)知識，教師利用數(shù)形結(jié)合的理念也能有效地提升高中數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.