Timoshenko 梁的第二頻譜分析

夏桂云

（長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410114）

梁的彎曲振動(dòng)是土木[1]、機(jī)械、石油、化工、航空航天等領(lǐng)域的重要問題，已有多種理論.最早、最經(jīng)典的理論是Euler 梁模型，該模型考慮了梁的彎曲和截面慣性力，適應(yīng)于細(xì)長(zhǎng)桿系結(jié)構(gòu)的分析計(jì)算，但對(duì)高跨比較大的深梁結(jié)構(gòu)，存在靜力問題計(jì)算撓度偏小[2]、動(dòng)力問題高估振動(dòng)頻率和有無限階次頻率[3]等不足.Elishakoff 等[4]評(píng)述Rayleigh 梁考慮了截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，對(duì)Euler 梁進(jìn)行改進(jìn).Shear 梁模型考慮結(jié)構(gòu)彎曲、剪切變形的影響和截面慣性力，但沒有考慮截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響（此模型不同于一般的不考慮結(jié)構(gòu)彎曲的簡(jiǎn)單剪切梁模型和純剪切梁模型[5]）.1921 年Timoshenko[6-7]綜合考慮截面彎曲和剪切變形、慣性力和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，提出經(jīng)典的Timoshenko 梁模型，該模型保留梁的平截面假定，放棄直法線假定，通過引入截面剪切修正系數(shù)來彌補(bǔ)剪切本構(gòu)關(guān)系方面的不足（假定截面剪應(yīng)力不均勻、剪應(yīng)變均勻）[8-9].相比于Euler 梁、Rayleigh 梁和Shear 梁，Timoshenko 梁有顯著進(jìn)步，提高了計(jì)算精度，擴(kuò)大了應(yīng)用范圍，桿系結(jié)構(gòu)的靜力、動(dòng)力和穩(wěn)定問題都可基于Timoshenko 梁理論進(jìn)行分析[1].但該理論頗具爭(zhēng)議，至今仍眾說紛紜的第二頻譜問題[10-12]和截面剪切修正系數(shù)定義問題[8，13-15]，還有振動(dòng)微分方程解耦后存在撓度關(guān)于時(shí)間四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，其物理意義不明確的問題，因此其后出現(xiàn)眾多的修正理論.1927 年Love[16]根據(jù)梁段微元體平衡，提出Timoshenko 梁的修正模型，即忽略撓度關(guān)于時(shí)間四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可稱為L(zhǎng)ove 梁.陳镕等[17]采用雙撓度理論也推導(dǎo)出了與Love 梁相同的微分方程，并認(rèn)為導(dǎo)致Timoshenko 梁模型中出現(xiàn)撓度關(guān)于時(shí)間四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的原因是，沒有考慮剪切轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如果舍棄撓度關(guān)于時(shí)間四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，則可考慮截面剪切轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響.Elishakoff 等[18-19]同樣導(dǎo)出了與Love 梁相同的微分方程，并認(rèn)為此理論比Timoshenko 梁理論更一致、更簡(jiǎn)單，其命名為截?cái)郥imoshenko 梁.Love 梁雖然形式比Timoshenko 梁簡(jiǎn)化，微分方程求解方便，但是其沒有對(duì)應(yīng)的能量泛函，不能通過變分原理導(dǎo)出，也沒有對(duì)應(yīng)的有限元列式.Xia 等[20]研究了考慮截面剪切變形和全轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的Timoshenko 梁振動(dòng)特性，證明此種Timoshenko 梁修正理論無第二頻譜問題和結(jié)構(gòu)固有頻率有界特性.

Timoshenko 梁的第二頻譜現(xiàn)象是指一種振型對(duì)應(yīng)兩個(gè)固有頻率.兩端簡(jiǎn)支、兩端導(dǎo)向和簡(jiǎn)支-導(dǎo)向的單跨Timoshenko 梁，多跨連續(xù)的等截面等跨徑Timoshenko 梁都存在第二頻譜現(xiàn)象.Traill-Nash[21]于1953 年最先發(fā)現(xiàn)和報(bào)道簡(jiǎn)支Timoshenko 梁存在第二頻譜現(xiàn)象，相繼得到Anderson[22]、Dolph[23]等學(xué)者的確認(rèn)，但也有學(xué)者[24-27]認(rèn)為第二頻譜沒有物理意義而應(yīng)舍棄.有些學(xué)者[4，28]則認(rèn)為結(jié)構(gòu)的振型包括了豎向變形和轉(zhuǎn)角，如果將變形和轉(zhuǎn)角同等看待，則振幅不一致的振型不能認(rèn)為是同一振型，因此也就不存在第二頻譜問題.現(xiàn)在越來越多的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果[29-32]證實(shí)了第二頻譜現(xiàn)象不僅存在，而且實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)構(gòu)固有頻率與Timoshenko 梁理論預(yù)測(cè)結(jié)果符合較好，因此沒有理由草率地去否定、甚至舍棄第二頻譜.本文試圖對(duì)Timoshenko 梁第二頻譜產(chǎn)生的原因進(jìn)行理論解釋，以期提高結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別精度，促進(jìn)以模態(tài)疊加法等為基礎(chǔ)的動(dòng)力分析方法的發(fā)展，謀求在Timoshenko 梁第二頻譜問題上取得共識(shí).

1 Timoshenko 梁振動(dòng)的理論解析

Timoshenko 梁振動(dòng)的微分方程[1，2，20]求解采用分離變量法，設(shè)豎向位移w（x）分解為豎向位移函數(shù)W（x）和時(shí)間函數(shù)T（t），如下：

式中：T（t）=a1sin（ωt）+a2cos（ωt）

則解耦后的振動(dòng)微分方程為：

式中：D ＝EI、C ＝μGA，A、I 和μ 分別為截面的面積、抗彎慣性矩和剪切修正系數(shù)；E、G 和ρ 分別為材料的彈性模量、剪切模量和密度；ω 為結(jié)構(gòu)的圓頻率.

Timoshenko 梁振動(dòng)存在臨界頻譜（或稱為移頻頻率，其定義為，式（2）可根據(jù)結(jié)構(gòu)固有頻率ω 與臨界頻率ωC的大小關(guān)系有3 種解.

1）固有頻率小于臨界頻率時(shí)（ω ＜ωC）

此時(shí)結(jié)構(gòu)的豎向變形、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩用初參數(shù)（即x=0 時(shí)的W0、ψ0、Q0、M0）表示為：

其中，波數(shù)定義為：

式（3）振型函數(shù)ai（x），bi（x），ci（x），di（x），i=1，2，3，4，詳見文獻(xiàn)[2，20]，為節(jié)約篇幅不再列出.

2）固有頻率大于臨界頻率時(shí)（ω ＞ωC）

此時(shí)結(jié)構(gòu)的豎向變形、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩仍可用式（3）表示，但波數(shù)、相關(guān)系數(shù)和振型函數(shù)需另行定義.波數(shù)定義為：

相關(guān)系數(shù)定義為：

振型函數(shù)ai（x），bi（x），ci（x），di（x），i=1，2，3，4 的具體表達(dá)式與文獻(xiàn)[20]一致.

3）固有頻率等于臨界頻率時(shí)（ω=ωC）

微分方程退化為：

對(duì)于常規(guī)桿系結(jié)構(gòu)，如果采用Timoshenko 梁?jiǎn)卧M(jìn)行結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)分析，可得到一固有頻率與臨界頻率非常接近，位移振型較特別的模態(tài)，此模態(tài)說明臨界頻率是結(jié)構(gòu)頻譜的有效組成部分，其詳細(xì)討論在本文第5 節(jié)進(jìn)行.

2 簡(jiǎn)支梁的第二頻譜現(xiàn)象

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的Timoshenko 梁，當(dāng)ω ＜ωC時(shí)，由邊界條件知：當(dāng)x=0 時(shí)，W0=M0=0；當(dāng)x=L 時(shí)，WL=ML=0，得到頻率方程為

結(jié)構(gòu)固有頻率解為sin（βL）=0，即β=kiπ/L，k=1，2，3，…，kC.此時(shí)結(jié)構(gòu)僅有一支固有頻率.此支頻率的最大個(gè)數(shù)為：

當(dāng)ω ＞ωC時(shí)，同理可推導(dǎo)頻率方程為：

結(jié)構(gòu)固有頻率解為sin（α′L）=0 或sin（βL）=0，對(duì)應(yīng)解為α′=nπ/L（n=1，2，3，…）或β=kπ/L（k=kC+1，kC+2，…）結(jié)構(gòu)有2 支固有頻譜.

當(dāng)k=n 時(shí)，結(jié)構(gòu)振型相同（振幅歸一化處理），但頻率不同，即一種振型對(duì)應(yīng)兩種固有頻率，出現(xiàn)第二頻譜現(xiàn)象.頻率方程式（10）出現(xiàn)兩支解是簡(jiǎn)支Timoshenko 梁存在第二頻譜的理論原因.

由于簡(jiǎn)支Timshenko 梁的豎彎振型都呈正弦波形式，含有k 個(gè)半波正弦的振型所對(duì)應(yīng)的第一、第二頻率見式（11）.

利用式（11）即可快速確定振型和第一、二頻譜.

3 存在第二頻譜現(xiàn)象的其他結(jié)構(gòu)

當(dāng)固有頻率從小于臨界頻率變化到大于臨界頻率時(shí)，如果頻率方程有形如簡(jiǎn)支Timoshenko 梁的變化規(guī)律，則在理論上存在第二頻譜現(xiàn)象.有此特征的結(jié)構(gòu)有兩端導(dǎo)向（豎向位移活動(dòng)、轉(zhuǎn)角固定）單跨Timoshenko 梁、簡(jiǎn)支-導(dǎo)向單跨Timoshenko 梁、等截面等跨徑的多跨連續(xù)Timoshenko 梁等.

3.1 單跨Timoshenko 梁的頻率方程

兩端導(dǎo)向單跨Timoshenko 梁、簡(jiǎn)支-導(dǎo)向單跨Timoshenko 梁的頻率方程如表1 所示.

表1 兩端導(dǎo)向和簡(jiǎn)支－導(dǎo)向的單跨Timoshenko 梁頻率方程Tab.1 Frequency equations of one-span Timoshenko beam with guided-guided and hinged-guided ends

從表1 可以看出，兩端導(dǎo)向和簡(jiǎn)支-導(dǎo)向的單跨Timoshenko 梁，其頻率方程隨固有頻率的變化都有如兩端簡(jiǎn)支的單跨Timoshenko 梁的特征，因此也存在第二頻譜現(xiàn)象.

3.2 等截面等跨徑的多跨連續(xù)Timoshenko 梁

利用式（3）建立傳遞矩陣法，可推導(dǎo)等跨徑等截面的多跨連續(xù)Timoshenko 梁的頻率方程.

1）等截面等跨徑的二跨連續(xù)Timoshenko 梁

當(dāng)ω ＜ωC時(shí)：

當(dāng)ω ＞ωC時(shí)：

2）等截面等跨徑的三跨連續(xù)Timoshenko 梁

當(dāng)ω ＜ωC時(shí)：

當(dāng)ω ＞ωC時(shí)：

由式（12）～式（15）可知，等截面等跨徑的二跨、三跨連續(xù)Timoshenko 梁中，其頻率方程中的第一個(gè)因式形如式（8）、式（10），因此理論上也存在第二頻譜現(xiàn)象，其振動(dòng)模態(tài)為單跨簡(jiǎn)支Timoshenko 梁的振動(dòng)模態(tài)在多跨連續(xù)結(jié)構(gòu)中反對(duì)稱擴(kuò)展.對(duì)于等截面等跨徑的多于三跨的連續(xù)Timoshenko 梁，頻率方程中同樣存在形如式（8）、式（10）的因式和變化規(guī)律，因此理論上也存在第二頻譜問題，但頻率方程過于復(fù)雜，此處不再列出其具體表達(dá)式.對(duì)于等截面但跨徑不等的多跨連續(xù)Timoshenko 梁，當(dāng)跨徑比滿足每跨內(nèi)有整數(shù)半波的振動(dòng)條件時(shí)，也同樣存在第二頻譜現(xiàn)象.由于跨數(shù)、跨徑比、波長(zhǎng)等參數(shù)變化過多，頻率方程推導(dǎo)復(fù)雜，一般只能進(jìn)行數(shù)值分析和驗(yàn)證.

4 算例驗(yàn)證

兩端簡(jiǎn)支單跨Timoshenko 梁計(jì)算跨徑10 m，橫截面為1.0 m（寬）×1.8 m（高）的矩形截面，其剪切修正系數(shù)為5/6，材料彈性模量為200 GPa、剪切模量為80 GPa，材料密度為7 850 kg/m3.結(jié)構(gòu)前50 階頻率的理論值（根據(jù)式（8）、式（10）求解）和Ansys 數(shù)值結(jié)果如圖1 所示，無量綱波數(shù)α（即αL/π）、無量綱波數(shù)β（即βL/π）值如圖2 所示.

圖1 前50 階頻率值比較Fig.1 The comparison of the first 50 frequencies

從圖1 可以看出，結(jié)構(gòu)前50 階頻率的理論結(jié)果與利用Ansys 軟件計(jì)算[33]的數(shù)值結(jié)果（結(jié)構(gòu)劃分為200 個(gè)單元、Beam3 單元）符合較好，最大誤差不超過0.97%.圖2 中，無量綱波數(shù)αL/π、βL/π 如果取整數(shù)k（圖2 圖標(biāo)有填充時(shí)為整數(shù)，空心時(shí)為小數(shù)），其對(duì)應(yīng)于含有k 個(gè)正弦半波的振型，此振型有2 個(gè)固有頻率.根據(jù)式（11），結(jié)構(gòu)第一頻譜的第1、2 階振動(dòng)頻率、無量綱波數(shù)和所對(duì)應(yīng)的第二頻譜的第1、2 階（按固有頻率排序，其對(duì)應(yīng)振型為第8、9 階振型）振動(dòng)頻率、無量綱波數(shù)如表2 所示，即結(jié)構(gòu)的第1 階和第8階、第2 階和第9 階振動(dòng)模態(tài)為頻譜對(duì).

圖2 前50 階無量綱波數(shù)值Fig.2 The first 50 dimensionless wave numbers

表2 結(jié)構(gòu)前二階振動(dòng)頻率和無量綱波數(shù)值Tab.2 The first and second frequencies and dimensionless wave numbers

將振型歸一化后，第一頻譜的第1、2 階振型和所對(duì)應(yīng)的第二頻譜振型第1、2 階振型（對(duì)應(yīng)振型為第8、9 階振型）的位移振型、轉(zhuǎn)角振型如圖3、圖4 所示.

從圖3、圖4 可以看出，將振型歸一化后，第一頻譜的第1、2 模態(tài)與第二頻譜的第1、2 階模態(tài)完全相同，驗(yàn)證了兩端簡(jiǎn)支的單跨Timoshenko 梁存在第二頻譜現(xiàn)象.

圖3 簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支梁的第1、2 階位移模態(tài)圖Fig.3 The first and second displacement modes of hinged-hinged Timoshenko beam

圖4 簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支梁的第1、2 階轉(zhuǎn)角振型圖Fig.4 The first and second rotation modes of hinged-hinged Timoshenko beam

簡(jiǎn)支-導(dǎo)向單跨Timoshenko 梁第一頻譜的第1、2 階模態(tài)與第二頻譜的第1、2 階模態(tài)（對(duì)應(yīng)于第7、8階模態(tài)）的位移、轉(zhuǎn)角模態(tài)如圖5、圖6 所示.

從圖5、圖6 可以看出，將模態(tài)歸一化后，簡(jiǎn)支-導(dǎo)向的單跨Timoshenko 梁第一頻譜的第1、2 模態(tài)與第二頻譜的第1、2 階模態(tài)完全相同，同樣存在第二頻譜現(xiàn)象.

圖5 簡(jiǎn)支-導(dǎo)向Timoshenko 梁第1、2 階位移模態(tài)Fig.5 The first and second displacement modes of hinged-guided Timoshenko beam

5 臨界頻率的振型分析

臨界頻率將Timoshenko 梁的振動(dòng)分析為兩區(qū)段的3 種特例，其分界點(diǎn)即為臨界頻率.臨界頻率是結(jié)構(gòu)頻譜的有效組成部分，但其對(duì)應(yīng)的模態(tài)非常特別，是Euler 梁、Love 梁、Shear 梁所沒有的，需要特別分析.本文以簡(jiǎn)支Timoshenko 梁為例進(jìn)行模態(tài)的理論分析.

5.1 臨界頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)特點(diǎn)

當(dāng)結(jié)構(gòu)固有頻率等于臨界頻率時(shí)，微分方程式（7）的解[24-25]為：

根據(jù)Timoshenko 梁的平衡方程要求，有：

式（16）解中，待定系數(shù)間存在如下關(guān)系：

將待定參數(shù)代入微分方程（7）的解中，有

引入簡(jiǎn)支邊界條件，即W（0）=M（0）=0，得A1=C1=0；W（L）=M（L）=0，得：

一般條件下sin（βL）≠0，故B1=0，有

此時(shí)結(jié)構(gòu)振動(dòng)為一種特殊模態(tài)，只有截面轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)且振幅恒定，而豎向位移振動(dòng)無振幅.

如果結(jié)構(gòu)的跨徑滿足sin（βL）=0，即L=kπ/β（k=1，2，3，…，∞），則B1≠0，結(jié)構(gòu)則為有幅振動(dòng)，此時(shí)結(jié)構(gòu)的模態(tài)為：

5.2 臨界模態(tài)特征的有限元預(yù)測(cè)

利用有限元軟件進(jìn)行桿系結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型分析時(shí)，如果采用Timoshenko 梁?jiǎn)卧?，則可捕捉到臨界頻率和臨界模態(tài).但是有限元將自由振動(dòng)分析轉(zhuǎn)為特征值問題，由于計(jì)算機(jī)存在截?cái)嗾`差，會(huì)預(yù)報(bào)與臨界頻率理論值極為接近的頻率值，所對(duì)應(yīng)的豎向位移模態(tài)未能如理論預(yù)測(cè)那樣為無振幅振動(dòng)，而是有幅振動(dòng)且不規(guī)則，但轉(zhuǎn)角位移模態(tài)振幅恒定.如本文上述算例，采用Ansys 軟件計(jì)算的臨界頻率（結(jié)構(gòu)劃分為200 個(gè)單元、Beam3 單元）為892.675 Hz、理論計(jì)算值為892.602 Hz.豎向位移和轉(zhuǎn)角位移模態(tài)如圖7、圖8 所示.

圖7 臨界頻率對(duì)應(yīng)的位移模態(tài)的Ansys 結(jié)果Fig.7 Displacement mode of the critical frequency predicted by Ansys

圖8 臨界頻率對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角模態(tài)的Ansys 結(jié)果Fig.8 Rotation mode of the critical frequency predicted by Ansys

從圖7 可以看出，豎向位移模態(tài)（自由振動(dòng)分析所對(duì)應(yīng)的特征向量）最大振幅為1.467 4×10-9，與其他模態(tài)振幅相比小6 個(gè)數(shù)量級(jí)，因此可以認(rèn)為此模態(tài)的振幅理論上應(yīng)為0，但由于計(jì)算機(jī)截?cái)嗾`差的原因，出現(xiàn)一些不為0 的偽數(shù)據(jù)，構(gòu)成振幅無規(guī)律的模態(tài)，理應(yīng)舍棄.從圖8 可以看出，轉(zhuǎn)角位移模態(tài)則與理論預(yù)測(cè)一致，為振幅恒定的模態(tài).

6 結(jié)論

通過建立Timoshenko 梁振動(dòng)的初參數(shù)解，利用此解對(duì)Timoshenko 梁第二頻譜現(xiàn)象進(jìn)行了理論研究.由于臨界頻率將結(jié)構(gòu)的固有頻率分為三部分，使得微分方程所對(duì)應(yīng)的特征方程根與臨界頻率有關(guān)，其性質(zhì)隨固有頻率發(fā)生變化，從而使得其頻率方程有形如式（8）、式（10）的變化規(guī)律，當(dāng)固有頻率大于臨界頻率時(shí)，頻率方程式（10）有兩支解，即第二頻譜產(chǎn)生的根本原因.

1）所有頻率方程（或者頻率方程中的因式）有形如式（8）、式（10）變化特征的結(jié)構(gòu)，都存在第二頻譜現(xiàn)象，如兩端簡(jiǎn)支、兩端導(dǎo)向、簡(jiǎn)支-導(dǎo)向的單跨Timoshenko 梁，等截面等跨徑多跨連續(xù)Timoshenko梁、滿足每跨內(nèi)有整數(shù)半波振型的等截面不等跨徑多跨連續(xù)Timoshenko 梁等.

2）理論和數(shù)值分析表明，臨界頻率是Timoshenko梁結(jié)構(gòu)固有頻率的有效組成部分.臨界頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)有無振幅豎向位移振型、有恒定振幅的轉(zhuǎn)角位移振型；在特殊條件下，如跨徑滿足L=kπ/β（k 為整數(shù)）條件，臨界模態(tài)也可轉(zhuǎn)化為豎向位移有振幅的模態(tài).

3）利用Timoshenko 梁?jiǎn)卧M(jìn)行桿系結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有限元分析時(shí)，能預(yù)測(cè)與臨界頻率極為接近的固有頻率、振幅非常小且無規(guī)則的豎向位移模態(tài).此時(shí)應(yīng)將固有頻率視為臨界頻率、豎向位移模態(tài)視為無振幅模態(tài)，出現(xiàn)誤差的原因是計(jì)算機(jī)的截?cái)嗾`差所引起.

4）Timoshenko 梁的第二頻譜現(xiàn)象目前有不同的觀點(diǎn)，但是此現(xiàn)象已被眾多實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，也能從理論上進(jìn)行解釋和分析，不應(yīng)輕言其不合理而舍棄，而應(yīng)通過更多研究或者提出更合理的深梁結(jié)構(gòu)理論來驗(yàn)證.