變截面波形鋼腹板彈性整體屈曲計算及幾何參數(shù)分析

冀偉，馬建紅

（蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

波形鋼腹板-混凝土組合箱梁采用波形鋼腹板代替了混凝土箱梁的混凝土腹板，不僅減輕了橋梁上部結(jié)構(gòu)的重量，而且改善了混凝土腹板易開裂的通病，提高了橋梁的跨越能力[1-2].對于大跨度的變截面波形鋼腹板-混凝土組合箱梁，波形鋼腹板的抗剪性能成為制約橋梁跨越能力的主要因素.因此，研究變截面波形鋼腹板的剪切屈曲性能對波形鋼腹板的抗剪設(shè)計有重要意義.

國內(nèi)外學(xué)者已對波形鋼腹板的剪切屈曲性能進行了大量研究，Yi 等[3]基于小變形理論將單位長度的矩形波形鋼腹板簡化為正交異性板，提出了單位長度的矩形波形鋼腹板的剪切屈曲荷載計算方法.Dou等[4]以具有加勁肋的平鋼腹板剪切屈曲的理論為基礎(chǔ)，得到了波形鋼腹板剪切屈曲強度的計算公式.Easley 和Mcfarland[5]基于能量變分法和小撓度理論，引入屈曲位移形函數(shù)，提出了波形鋼腹板的彈性整體屈曲荷載計算公式.隨后，Easley 在已有波形鋼腹板整體剪切屈曲強度理論的基礎(chǔ)上，提出了Ealsey公式.Abbas 等[6]對波形鋼腹板工字梁的抗剪性能進行了研究，提出了波形鋼腹板屈曲強度和抗剪強度的計算公式.近年來，Hassanein 等[7]、Leblouba 等[8]、Lee 等[9]、Zevallos 等[10]和Padmanaban 等[11]利用數(shù)值模擬和試驗研究的方法對波形鋼腹板剪切屈曲模式及抗剪性能展開研究，分析了不同幾何參數(shù)對波形鋼腹板抗剪性能的影響.宋建永等[12]對不同因素影響下的波形鋼腹板的剪切屈曲極限荷載和屈曲模態(tài)進行了研究分析.周緒紅等[13]利用有限元法分析了不同幾何參數(shù)對波形鋼腹板剪切屈曲的影響，提出了計算波形鋼腹板屈曲強度的理論公式.聶建國等[14]推導(dǎo)了彈性扭轉(zhuǎn)約束邊界下波形鋼腹板的剪切屈曲強度的計算公式，給出了4 種簡化邊界條件下的波形鋼腹板的剪切屈曲強度計算公式；并通過試驗和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究了室內(nèi)試驗梁的抗剪性能，對波形鋼腹板屈曲強度和抗剪強度進行了研究[15-16].李立峰等[17]研究了室內(nèi)波形鋼腹板H 型梁的基本破壞形態(tài)，通過試驗值與有限元值對比，分析了波形鋼腹板彈性屈曲強度和非彈性屈曲強度的計算公式.

目前，已有研究成果大多基于小跨度等截面波形鋼腹板組合箱梁或H 型室內(nèi)試驗梁，對變截面波形鋼腹板的研究相對較少，并且在研究波形鋼腹板幾何參數(shù)對其剪切屈曲敏感性影響時，大多采用隨機波長.此外，現(xiàn)有對波形鋼腹板彈性整體剪切屈曲強度的計算公式，如Bergmann-Reissner 公式、Ealsey公式、Hlavacek 公式及Abbas 公式等，在計算波形鋼腹板的屈曲強度時，認為剪切屈曲系數(shù)僅與波形鋼腹板的邊界條件有關(guān)，忽略了波形鋼腹板長度的影響，這對長度較大的波形鋼腹板的剪切屈曲強度計算不夠準確.本文在計算波形鋼腹板整體屈曲長度時，將相鄰橫隔板之間的波形鋼腹板簡化為順橋向（x 方向）和豎橋向（y 方向）具有不同抗彎剛度的正交異性板，邊界條件按四邊簡支條件考慮，運用伽遼金法和變分原理，推導(dǎo)了變截面波形鋼腹板彈性整體屈曲強度的計算公式，并運用有限元軟件對變截面波形鋼腹板彈性剪切屈曲強度敏感性進行了分析研究.

1 板的平衡微分方程

1.1 小撓度理論的基本假定

基于小撓度理論建立薄板的平衡微分方程時，引入以下基本假定：

1）板發(fā)生屈曲時z 方向正應(yīng)力和剪應(yīng)力為0，且板厚度方向任意位置的撓度近似等于板中面的撓度.

2）薄板的豎向位移遠小于其厚度尺寸，忽略薄板中面因彎曲變形而產(chǎn)生的薄膜力.

3）薄板在彈性范圍內(nèi)發(fā)生彎曲變形.

建立變截面波形鋼腹板的平衡微分方程時，將波形鋼腹板簡化為正交異性板，其微元體中面變形和內(nèi)力圖如圖1 所示.

圖1 中，F(xiàn)x、Fy和Fxy為板的中面力，ω 為板微元體的撓度，Qsx、Qsy為板由屈曲產(chǎn)生的剪力，Mx和Mxy等為板由屈曲產(chǎn)生的彎矩和扭矩.

板的彈性屈曲臨界荷載可認為是板平衡微分方程的多值性問題.在彈性范圍內(nèi)正交異形板的平衡微分方程可根據(jù)小撓度理論、板的物理方程、幾何方程和力的平衡進行求解.

1.2 平衡微分方程

根據(jù)小撓度理論基本假定和力的平衡關(guān)系，各中面力在x 和y 方向的分力為零，僅存在z 方向的分力，由圖1 可知各中面力在z 方向的分力如式（1）～式（3）所示.

Fx在z 方向的分力為：

Fy在z 方向的分力為：

Fxy在z 方向的分力為：

薄板發(fā)生屈曲時，產(chǎn)生的剪力在z 方向上的合力如式（4）所示.

根據(jù)z 方向上各力的合力為0，得到式（5）.

根據(jù)圖1（b），分別對x 軸和y 軸取矩并略去高階微分項，可得剪力與彎矩和扭矩的關(guān)系，如式（6）和式（7）所示.

將式（6）同時對y 偏導(dǎo)一次，式（7）對x 偏導(dǎo)一次，分別代入式（5）可得到板關(guān)于中面力、彎矩和扭矩的平衡微分方程，如式（8）所示.

式（8）中含有Mx、My、Mxy及ω 四個未知數(shù)，而根據(jù)正交異性板的物理方程和幾何方程可得到力矩與豎向位移之間的關(guān)系，即可將式（8）簡化為僅含有豎向位移ω 的微分方程.

波形鋼腹板屈曲產(chǎn)生的彎矩和扭矩可表示為關(guān)于ω 的表達式[18]，如式（9）所示.

將式（9）代入式（8）可得到僅含有ω 的板的平衡微分方程，如式（10）所示.

式（9）和式（10）中，Dx和Dy為板在兩個彈性主軸方向的抗彎剛度，Dk為板在彈性主軸的抗扭剛度，且有Dxy=2Dk+μkDy=2Dk+μyDx，對于波形鋼腹板，Dx、Dy和Dxy的表達式如式（11）所示[14].

式中：E 為波形鋼腹板的彈性模量；Iy為單個周期波對y 軸的慣性矩，Iy=2a1t；q 為單個周期波的投影長度，q=2（c+a1）；s 為單個周期波的展開長度，s=2（a1+a2）；μ 為波形鋼腹板的泊松比，其余符號的相關(guān)含義如圖2 所示.

圖2 波形鋼腹板的截面尺寸Fig.2 Structure of corrugated steel web

2 波形鋼腹板彈性整體剪切屈曲強度

2.1 整體剪切屈曲強度理論分析

純受剪狀態(tài)下的整體剪切屈曲的波形鋼腹板計算簡圖如圖3 所示，圖3 中l(wèi) 為波形鋼腹板的計算長度，h 為波形鋼腹板的高度.

圖3 波形鋼腹板彈性屈曲強度計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of elastic buckling strength of corrugated steel web

運用伽遼金法求解純受剪波形鋼腹板彈性整體剪切屈曲強度時，無需求解板的總勢能，可直接利用板在屈曲時的平衡微分方程，并假定滿足板幾何邊界條件和位移邊界條件的位移形函數(shù)從而建立伽遼金方程組進行求解[19].

假定波形鋼腹板屈曲時的位移形函數(shù)ω（x）如式（12）所示：

對于純剪狀態(tài)下的波形鋼腹板，F(xiàn)x=Fy=0，則平衡微分方程根據(jù)式（10）可表示為：

則伽遼金方程組可表示為：

將式（12）代入式（13）進行偏導(dǎo)運算，聯(lián)立式（13）的計算結(jié)果和式（14），注意到

則式（14）可簡化為：

式（16）在i±r、j±s 為奇數(shù)時成立.當對i、j、r 和s分別取值，可得到關(guān)于Cij的伽遼金方程組，其中Cij為非零參數(shù)，要想得到方程組的非零解，則只能有Cij構(gòu)成的系數(shù)矩陣的行列式=0.通過計算Cij的系數(shù)矩陣行列式可得到一系列Fxy的計算值，其中絕對值最小的非零解為波形鋼腹板的彈性整體剪切屈曲荷載，由式（17）可得到波形鋼腹板的彈性整體剪切屈曲強度

由上述方法計算求得的波形鋼腹板的彈性整體屈曲臨界荷載為近似值，其精度與Cij系數(shù)矩陣行列式的階數(shù)有關(guān).當對i、j、r 和s 分別取值計算發(fā)現(xiàn)，Cij系數(shù)矩陣行列式可分為兩組，當i+j 為奇數(shù)時為一組，當i+j 為偶數(shù)時為另一組，并由計算可知，當i+j 為偶數(shù)時，求得波形鋼腹板彈性整體屈曲臨界荷載值最小.限于篇幅，本文僅對i+j 為偶數(shù)時Cij的系數(shù)矩陣行列式進行計算分析.本文在計算波形鋼腹板的彈性整體屈曲強度時，式（12）中取m=n=5，并根據(jù)式（16）的成立條件，對（i，j）和（r，s）取如表1 所示的組合形式.

表1 （i，j）與（r，s）取值表Tab.1 （i，j）and（r，s）values

根據(jù)表1 中（i，j）和（r，s）的組合形式，計算式（16）并令，求得系數(shù)矩陣C 的行列式如式（18）所示：

2.2 理論計算與數(shù)值計算對比分析

為了驗證理論公式的正確性，選取文獻[16]中算例進行數(shù)值模擬，其波形鋼腹板的波形尺寸，如表2所示.

表2 波形尺寸Tab.2 Dimension of trapezoidal corrugated

圖4 ANSYS 模型邊界約束及加載圖Fig.4 Boundary constraint and loading diagram of ANSYS model

規(guī)范中波形鋼腹板彈性整體剪切屈曲強度的計算公式如式（19）所示.

式中：β 為波形鋼腹板約束程度相關(guān)的系數(shù)，當邊界條件為四邊簡支時取1.0，當四邊固定時取1.9；Ix=t3（δ2+1）/6η，δ=d/t，η=q/s，Iy=t3/（12（1 -μ2））.

將式（18）中系數(shù)矩陣C 的行列式分別取6×6、8×8、10×10 和12×12 計算得到的波形鋼腹板整體屈曲強度，將本文結(jié)果與有限元結(jié)果和規(guī)范計算結(jié)果進行了對比，如圖5 所示.

圖5 計算結(jié)果對比圖Fig.5 Comparison of calculation results

從圖5 可以看出，波形鋼腹板彈性整體剪切屈曲強度本文方法值與ANSYS 有限元值的變化趨勢一致，當波形鋼腹板的高度一定時，隨著波形鋼腹板長度l 的增加，波形鋼腹板的屈曲強度逐漸降低，由于規(guī)范中未考慮波形鋼腹板的長度，故規(guī)范計算結(jié)果僅與波形鋼腹板的波形、邊界條件及高度有關(guān)，與波形鋼腹板的長度無關(guān).對本文計算方法，計算結(jié)果精度與式（19）中ζ1、ζ2、ζ3及Fxy的系數(shù)有關(guān)，ζ1、ζ2、ζ3及Fxy的系數(shù)與波形鋼腹板撓曲位移函數(shù)中m、n 的取值有關(guān)，且m、n 的取值又決定式（18）的計算階數(shù)，因此，m、n 取值較小或較大均影響式（18）的計算結(jié)果精度.當式（18）取6×6 階的行列式時，本文方法計算值與ANSYS 有限元計算值的最大誤差為33.05%，最小誤差為30.90%；當式（18）取8×8 階的行列式時，二者的最大誤差為4.89%，最小誤差為0.07%；當式（18）取10×10 階和12×12 階的行列式時，本文方法值與有限元值的最大誤差為63.55%，最小誤差為54.76%.由于m、n 的取值大小對ζ1、ζ2、ζ3及Fxy系數(shù)的影響并非倍數(shù)或指數(shù)的增減，因此，整體剪切屈曲強度的計算結(jié)果精度與式（18）的階數(shù)增減不存在規(guī)律性.綜上所述，當Cij的矩陣行列式階數(shù)為8×8 時，本文計算方法計算的波形鋼腹板整體屈曲強度更精確；而對于規(guī)范，由于忽略了Dxy對波形鋼腹板彈性整體剪切屈曲強度的貢獻，故規(guī)范的計算結(jié)果偏保守，規(guī)范計算結(jié)果與有限元結(jié)果的最大誤差為45.48%，最小誤差為39.87%.因此，利用本文理論計算波形鋼腹板的整體剪切屈曲強度時應(yīng)將Cij的矩陣行列式階數(shù)為8×8.

2.3 理論計算與試驗計算對比分析

通過上述分析可知，式（18）取8×8 階行列式計算波形鋼腹板的剪切屈曲時，計算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好.為進一步驗證本文方法的準確性，以文獻[21]中兩組發(fā)生彈性整體剪切屈曲的波形鋼腹板試驗梁的試驗結(jié)果為工程背景，將式（18）的8×8 階行列式計算值與試驗值進行對比.兩組試驗梁的波形鋼腹板波紋型號幾何參數(shù)如表3 所示，兩組試驗梁波形鋼腹板高均為609.6 mm，長均為304.8 mm.將本文結(jié)果與文獻[21]的試驗結(jié)果進行對比，如表4所示.

表3 文獻[21]試驗梁幾何參數(shù)Tab.3 Geometric parameters of test girders in literature

表4 計算值和試驗結(jié)果對比Tab.4 Comparison between calculation and test

從表4 可以看出，本文結(jié)果與試驗結(jié)果吻合良好，其誤差在5%以內(nèi)，進一步驗證了本文所提方法的正確性.

3 波形鋼腹板剪切屈曲敏感性分析

本節(jié)分析了波形鋼腹板型號、波形鋼腹板的厚度和梁高對波形鋼腹板剪切屈曲性能的影響。

3.1 已建橋梁所用波形鋼腹板及梁高

國內(nèi)外通用的波形鋼腹板波紋型號、波形鋼腹板厚度和梁高變化分別如表5 和表6 所示.

于是，我們不妨在建群之初，召開線上或線下家長會，和家長們明確各階段建立家長群的目的和意義，統(tǒng)一思想；聯(lián)合家長委員會，共同商議和制訂《班級群管理與使用意見》等規(guī)則。例如，老師在發(fā)布標注有“不需回復(fù)”的信息后，家長不必回復(fù)“收到”或點贊、感謝；老師在發(fā)布標注有“收到需回復(fù)”的信息后，家長自動以“接龍”形式回復(fù)；重要的公共信息在群里發(fā)布，個別情況與問題私信溝通、解決等。還可明確不得在班級群內(nèi)發(fā)布涉及隱私的信息，不得發(fā)布與本群無關(guān)的內(nèi)容，不得進行人身攻擊等要求，用科學(xué)管理保證高效溝通，還班級群一方凈土。

表5 波形鋼腹板波紋型號和厚度Tab.5 Corrugated type and thickness of corrugated steel web

表6 梁高變化形式Tab.6 Variation form of girder height

從表5 可以看出，國內(nèi)外通用的波形鋼腹板波紋型號共10 種，分別為700 型、900 型、1000 型、1120 型、1200 型、1260 型、1500 型、1600 型、2000型和2400 型.其中2400 型是文獻[22]提出的一種新型波紋型號，還未將其運用于實際工程中.

從表6 可以看出，實際橋梁建設(shè)中一共有6 種梁高變化形式.而在實際的波形鋼腹板-混凝土組合梁中，中跨一般設(shè)置4 道或4 道以上的橫隔板，因此，表6 中l(wèi) 取主墩頂變截面拋物線起點處至跨間相鄰橫隔板間波形鋼腹板長度，h1為墩頂處梁截面高度，h2為第一道橫隔板處梁截面高度，以β 近似表示梁底與水平方向的夾角.

3.2 波紋型號對變截面波形鋼腹板剪切屈曲的影響

以表5 中10 種波紋型號為例，選取表6 中梁高以2 次拋物線變化的波形鋼腹板，腹板高度及長度如表6 中所示，腹板厚度選取24 mm，運用ANSYS建立有限元模型進行特征值屈曲分析，得到各波紋型號的屈曲模式和屈曲特征值如表7 所示.

表7 不同波紋型號的屈曲模式及特征值Tab.7 Buckling modes and characteristic values of different corrugated models

從表7 可以看出，對于上述10 種波紋型號的變截面波形鋼腹板，由于2000 型和2400 型波紋型號相對其他8 種波紋型號波紋較疏，容易發(fā)生合成屈曲，其余8 種波紋型號均發(fā)生整體屈曲，屈曲特征值總體呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢.各波紋型號的變截面波形鋼腹板剪切屈曲強度的變化趨勢如圖6 所示，整體屈曲與合成屈曲的屈曲模式示意圖如圖7所示.

圖6 不同波紋型號屈曲強度變化趨勢Fig.6 Trend of buckling strength of different models

圖7 不同波紋型號屈曲模式示意圖Fig.7 Schematic diagram of buckling modes of different corrugated models

從圖6 可以看出，對于不同波紋型號的變截面波形鋼腹板，剪切屈曲強度與屈曲特征值的變化趨勢一致，總體呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，1600 型的波形鋼腹板剪切屈曲強度達到較大值，其中1120 型、1500 型波形鋼腹板分別較1000 型和1260 型的波形鋼腹板剪切屈曲強度有所減小，分別減小了15.53%和3.58%.

通過對上述不同波紋型號的變截面波形鋼腹板的計算分析，對于大跨度的變截面波形鋼腹板-混凝土組合連續(xù)梁橋或連續(xù)剛構(gòu)橋，1600 型的波形鋼腹板為最優(yōu)選擇.

3.3 腹板厚度對變截面波形鋼腹板剪切屈曲影響

在上述1600 型變截面波形鋼腹板的基礎(chǔ)上，選取不同的腹板厚度對變截面波形鋼腹板剪切屈曲強度進行研究分析.考慮到大跨度變截面波形鋼腹板連續(xù)梁橋的腹板厚度均較大，所以在本節(jié)研究中，波形鋼腹板的厚度選16～30 mm，并按2 mm 公差遞增，計算得到不同厚度的1600 型變截面波形鋼腹板的一階屈曲模式和屈曲特征值如表8 所示.

表8 不同腹板厚度的屈曲模式及特征值Tab.8 Buckling modes and characteristic values of different web thicknesses

從表8 可以看出，對于不同厚度的1600 型變截面波形鋼腹板，隨著腹板厚度增加，一階屈曲模式由合成屈曲向整體屈曲變化，屈曲特征值逐漸增大.各種厚度的1600 型變截面的剪切屈曲強度變化趨勢如圖8 所示.

圖8 不同腹板厚度屈曲強度變化趨勢Fig.8 Trend of buckling strength of different web thicknesses

從圖8 可以看出，隨著波形鋼腹板厚度的增加，波形鋼腹板的剪切屈曲強度逐漸增大，彈性剪切屈曲臨界力逐漸提高；但當波形鋼腹板的厚度大于24 mm 時，即發(fā)生整體剪切屈曲時，彈性剪切屈曲強度的變化速率較發(fā)生合成屈曲時的剪切屈曲強度增長率逐漸減小，變化趨于平緩.

故對于大跨度變截面波形鋼腹板，腹板厚度在16～24 mm 時，波形鋼腹板的抗屈曲性能較高，在實際橋梁設(shè)計中可優(yōu)先選擇此范圍內(nèi)的板厚.

3.4 梁高變化對變截面波形鋼腹板剪切屈曲影響

在研究梁高變化形式對變截面波形鋼腹板彈性屈曲穩(wěn)定性的影響時，以等截面波形鋼腹板作為梁高變化形式的特例，采用1600 型波形鋼腹板為例建立ANSYS 有限元模型，建立有限元模型時各波形鋼腹板h1均取6 000 mm，l 均取11.2 m，板厚取24 mm，梁高變化形式如表6 所示.不同截面形式的波形鋼腹板屈曲形式和屈曲特征值如表9 所示.

表9 不同截面高度的屈曲模式及特征值Tab.9 Buckling modes and characteristic values of different section heights

從表9 可以看出，1600 型不同梁高變化形式的波形鋼腹板，變截面波形鋼腹板的屈曲特征值高于等截面波形鋼腹板的屈曲特征值，β 為7.125°的波形鋼腹板較β 為0 的波形鋼腹板屈曲特征值增加了10.36%；而對于變截面波形鋼腹板，隨著β 的增大，變截面波形鋼腹板的屈曲特征值增加，β 為7.125°的變截面波形鋼腹板屈曲特征值較β 為3.282°的變截面波形鋼腹板屈曲特征值增加了4.75%.不同梁高變化形式的波形鋼腹板彈性剪切屈曲強度變化趨勢如圖9 所示.

圖9 不同截面高度的屈曲強度變化趨勢Fig.9 Trend of buckling strength of different section heights

由圖9 可以看出，隨著β 值的增大，波形鋼腹板的彈性剪切屈曲強度逐漸增加，但其上限值與下限值的比值逐漸減小，波形鋼腹板的屈曲區(qū)域有向較大截面移動的趨勢，如圖10 所示，β 值分別為3.282°和7.125°的變截面波形鋼腹板一階屈曲模式圖，因此對于高度較大的變截面波形鋼腹板，應(yīng)對主墩高腹板區(qū)腹板加強以防止發(fā)生屈曲破壞.

圖10 不同β 值的一階屈曲模式圖Fig.10 First order buckling mode of different β value

4 結(jié)論

通過對變截面波形鋼腹板的彈性整體剪切屈曲強度進行分析，可得到如下結(jié)論：

1）文中所推導(dǎo)的波形鋼腹板彈性剪切屈曲強度的計算公式的計算結(jié)果與有限元的計算結(jié)果吻合良好，其中Cij的系數(shù)矩陣行列式取8×8 階時，計算的變截面波形鋼腹板彈性整體剪切屈曲強度的精度最高.

2）對于不同波紋型號的變截面波形鋼腹板，在相同荷載和邊界條件下，1600 型的波形鋼腹板剪切屈曲強度達到最大值，因此對于大跨度的變截面波形鋼腹板-混凝土組合梁橋連續(xù)梁橋或連續(xù)剛構(gòu)橋，建議選用1600 型的波形鋼腹板.

3）對于腹板厚度在16～24 mm 之間的1600 型變截面波形鋼腹板，其抗屈曲性能較高，因此在實際橋梁設(shè)計中可優(yōu)先選用此范圍內(nèi)的板厚.

4）對于主墩頂處腹板高度相同，并且計算長度相同的不同截面變化形式的波形鋼腹板，變截面波形鋼腹板的彈性剪切屈曲強度高于等截面波形鋼腹板的彈性剪切屈曲強度，并且隨著β 值的增大，波形鋼腹板的彈性剪切屈曲強度逐漸增加，但彈性剪切屈曲強度的上限值與下限值的比值逐漸減小，波形鋼腹板的屈曲區(qū)域有向較大截面移動的趨勢.因此，對于高度較大的變截面波形鋼腹板，應(yīng)對主墩高腹板區(qū)腹板加強以防止發(fā)生屈曲破壞.