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    怎樣運(yùn)用倒數(shù)法解題

    2021-11-30 08:10:37繆吳偉
    關(guān)鍵詞:所求分式倒數(shù)

    繆吳偉

    倒數(shù)法是解答初中數(shù)學(xué)代數(shù)問題的一種重要方法.在遇到代數(shù)式求值或方程求解的問題,直接求解比較困難時(shí),可仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)題設(shè)中的已知條件,把相關(guān)的式子取其倒數(shù)或倒式,再來分析求解,將會(huì)很快找到解題的思路.本文結(jié)合實(shí)例,就倒數(shù)法在解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析說明.

    一、運(yùn)用倒數(shù)法比較大小

    利用倒數(shù)法比較大小,是指先將題設(shè)或結(jié)論的式子“倒過來”,取其倒數(shù)比較它們的大小,再由倒數(shù)大小判斷原數(shù)的大小關(guān)系.一般地,如果a =b≠0,則;如果a>b>0或,則:

    例1

    分析:仔細(xì)觀察M,N,P三個(gè)分?jǐn)?shù)式,不難看出每個(gè)分?jǐn)?shù)式的數(shù)值較大,且分母均比分子大1,若利用倒數(shù)法,將M、N、P三個(gè)分?jǐn)?shù)式分別取倒數(shù),則可以快速解題.

    解:

    例2

    解:

    評(píng)注:用倒數(shù)法比較大小是將分?jǐn)?shù)取倒數(shù)、分式取倒式,然后比較出它們倒數(shù)的大小,根據(jù)倒數(shù)越大,原分?jǐn)?shù)越小;倒數(shù)越小,原分?jǐn)?shù)越大來判斷原分?jǐn)?shù)的大小.

    二、運(yùn)用倒數(shù)法巧妙求值

    倒數(shù)法就是通過對(duì)數(shù)或式取倒數(shù)或倒式來解題的方法.它主要應(yīng)用于分式型的求值問題中.當(dāng)問題中分式的分子是單項(xiàng)式,而分母是多項(xiàng)式時(shí),可以借助倒數(shù)法將已知式或目標(biāo)式取倒數(shù),然后逆用分式加減法的運(yùn)算法則,快速找到解題的突破口.

    例3已知

    分析:直接利用三個(gè)已知條件求解計(jì)算繁瑣,且難度較大,若能以退為進(jìn),分別取以及所求目標(biāo)式的倒數(shù),則可以避繁就簡.

    例4

    評(píng)注:上述兩道題若直接求出未知數(shù)的值,顯然比較困難,且計(jì)算量較大.通過觀察, 把已知式和所求式子都“倒過來”,找到已知條件與所求問題間的關(guān)聯(lián),這樣問題自然而然就得到了解答.

    三、運(yùn)用倒數(shù)法解方程組

    對(duì)于有些方程組,尤其是方式分程組,若正面直接求解,難以入手,我們可以先逐項(xiàng)取倒數(shù),然后拆成某兩項(xiàng)和的形式,將分式方程組轉(zhuǎn)化為熟悉的整式方程組(二元一次方程組或三元一次方程組),順利求解.

    例5

    分析:觀察每個(gè)方程的左邊,發(fā)現(xiàn)三個(gè)未知數(shù)x、y、z在對(duì)應(yīng)的位置上依次輪換,因此,對(duì)每個(gè)方程分別取倒數(shù),便可以簡捷地求出方程組的解。

    例6

    解:

    點(diǎn)評(píng):在解答某些分式問題時(shí),倒數(shù)法是常用的變形技巧之一.通常把式子變成其倒數(shù)形式,運(yùn)用約分化簡,以達(dá)到求解的目的.

    總之,運(yùn)用倒數(shù)法解題十分巧妙簡便,是破解代數(shù)題的有效方法之一.同學(xué)們要熟練掌握倒數(shù)法,并注意加強(qiáng)解題訓(xùn)練,做到能夠?qū)W以致用、觸類旁通,從而拓寬數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)解題能力.

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