怎樣運(yùn)用倒數(shù)法解題

繆吳偉

倒數(shù)法是解答初中數(shù)學(xué)代數(shù)問題的一種重要方法.在遇到代數(shù)式求值或方程求解的問題，直接求解比較困難時(shí)，可仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)題設(shè)中的已知條件，把相關(guān)的式子取其倒數(shù)或倒式，再來分析求解，將會(huì)很快找到解題的思路.本文結(jié)合實(shí)例，就倒數(shù)法在解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析說明.

一、運(yùn)用倒數(shù)法比較大小

利用倒數(shù)法比較大小，是指先將題設(shè)或結(jié)論的式子“倒過來”，取其倒數(shù)比較它們的大小，再由倒數(shù)大小判斷原數(shù)的大小關(guān)系.一般地，如果a =b≠0，則;如果a>b>0或，則：

例1

分析：仔細(xì)觀察M，N，P三個(gè)分?jǐn)?shù)式，不難看出每個(gè)分?jǐn)?shù)式的數(shù)值較大，且分母均比分子大1，若利用倒數(shù)法，將M、N、P三個(gè)分?jǐn)?shù)式分別取倒數(shù)，則可以快速解題.

解：

例2

解：

評(píng)注：用倒數(shù)法比較大小是將分?jǐn)?shù)取倒數(shù)、分式取倒式，然后比較出它們倒數(shù)的大小，根據(jù)倒數(shù)越大，原分?jǐn)?shù)越小;倒數(shù)越小，原分?jǐn)?shù)越大來判斷原分?jǐn)?shù)的大小.

二、運(yùn)用倒數(shù)法巧妙求值

倒數(shù)法就是通過對(duì)數(shù)或式取倒數(shù)或倒式來解題的方法.它主要應(yīng)用于分式型的求值問題中.當(dāng)問題中分式的分子是單項(xiàng)式，而分母是多項(xiàng)式時(shí)，可以借助倒數(shù)法將已知式或目標(biāo)式取倒數(shù)，然后逆用分式加減法的運(yùn)算法則，快速找到解題的突破口.

例3已知

分析：直接利用三個(gè)已知條件求解計(jì)算繁瑣，且難度較大，若能以退為進(jìn)，分別取以及所求目標(biāo)式的倒數(shù)，則可以避繁就簡.

解

例4

解

評(píng)注：上述兩道題若直接求出未知數(shù)的值，顯然比較困難，且計(jì)算量較大.通過觀察， 把已知式和所求式子都“倒過來”，找到已知條件與所求問題間的關(guān)聯(lián)，這樣問題自然而然就得到了解答.

三、運(yùn)用倒數(shù)法解方程組

對(duì)于有些方程組，尤其是方式分程組，若正面直接求解，難以入手，我們可以先逐項(xiàng)取倒數(shù)，然后拆成某兩項(xiàng)和的形式，將分式方程組轉(zhuǎn)化為熟悉的整式方程組（二元一次方程組或三元一次方程組），順利求解.

例5

分析：觀察每個(gè)方程的左邊，發(fā)現(xiàn)三個(gè)未知數(shù)x、y、z在對(duì)應(yīng)的位置上依次輪換，因此，對(duì)每個(gè)方程分別取倒數(shù)，便可以簡捷地求出方程組的解。

解

例6

解：

點(diǎn)評(píng)：在解答某些分式問題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一.通常把式子變成其倒數(shù)形式，運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到求解的目的.

總之，運(yùn)用倒數(shù)法解題十分巧妙簡便，是破解代數(shù)題的有效方法之一.同學(xué)們要熟練掌握倒數(shù)法，并注意加強(qiáng)解題訓(xùn)練，做到能夠?qū)W以致用、觸類旁通，從而拓寬數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)解題能力.