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    在有效教學(xué)活動(dòng)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

    2022-04-16 16:54:07江蘇省蘇州市彩香實(shí)驗(yàn)中學(xué)楊愛(ài)霞
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年24期
    關(guān)鍵詞:折痕直角三角形數(shù)學(xué)模型

    ?江蘇省蘇州市彩香實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊愛(ài)霞

    數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),也是促進(jìn)學(xué)生長(zhǎng)期發(fā)展的必要品質(zhì),在學(xué)生的自主發(fā)展中有著不可替代的重要意義.數(shù)學(xué)建模的過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力,通過(guò)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型還能提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力,因此在教學(xué)中可以依托培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).筆者將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談一談在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的建模能力,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美,提升學(xué)生的綜合品質(zhì)和核心素養(yǎng).

    1 在數(shù)學(xué)活動(dòng)探究中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

    數(shù)學(xué)模型是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的建構(gòu),在教學(xué)中通過(guò)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題,從而學(xué)會(huì)總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí),并掌握數(shù)學(xué)推理的思想方法,建構(gòu)起知識(shí)體系[1].教師要注重設(shè)計(jì)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的問(wèn)題,挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,在建構(gòu)縱橫知識(shí)聯(lián)系的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)建構(gòu)具體問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)形式.

    案例1七年級(jí)數(shù)學(xué)“握手問(wèn)題”數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)

    筆者根據(jù)“握手問(wèn)題”的本質(zhì),設(shè)計(jì)了一系列貼合學(xué)生實(shí)際生活的具體事例,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.

    問(wèn)題1同學(xué)們,老師打算坐高鐵去北京,在購(gòu)買(mǎi)車(chē)票的時(shí)候想到一個(gè)問(wèn)題:從南京到上海方向,中途要??砍V?、無(wú)錫、蘇州、南翔北,假設(shè)從沿途各站上車(chē),請(qǐng)問(wèn)要準(zhǔn)備多少種不同的單程火車(chē)票?

    問(wèn)題2我們班一共有46名同學(xué),大家玩一個(gè)彼此相互握手的游戲,請(qǐng)問(wèn)一共需要握手多少次?

    問(wèn)題3上個(gè)星期,我們七年級(jí)的10個(gè)班一起進(jìn)行籃球比賽,第一輪采用單循環(huán)淘汰制,請(qǐng)問(wèn)一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?

    問(wèn)題4春節(jié)來(lái)臨,同學(xué)們互相贈(zèng)送祝??ㄆ覀儼嘁还灿?6名同學(xué),請(qǐng)問(wèn)一共需要多少卡片才能保證同學(xué)們之間能夠做到互相贈(zèng)送呢?

    分析說(shuō)明:以上這些問(wèn)題都可以稱為“握手問(wèn)題”,貼合學(xué)生的實(shí)際情況也容易理解.在處理這類問(wèn)題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生在n個(gè)變量中通過(guò)確定兩個(gè)定量進(jìn)行組合的方式確定組合的總數(shù)量,并注意不要遺漏和重復(fù),由此逐漸引導(dǎo)學(xué)生確定解決這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)相似的圖形類問(wèn)題,進(jìn)行進(jìn)一步的探究.

    問(wèn)題5在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)這些點(diǎn),最多可以畫(huà)多少條直線?

    問(wèn)題6我們知道兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)n條直線兩兩相交,最多可有多少個(gè)交點(diǎn)?

    問(wèn)題7在一個(gè)角的內(nèi)部從頂點(diǎn)出發(fā),引出(n-2)條射線,請(qǐng)問(wèn)一共可以組成多少個(gè)角?

    如圖1,直線l和n條射線之間有n個(gè)交點(diǎn),一條線段對(duì)應(yīng)著一個(gè)角,那么換言之直線l上有多少線段就有多少個(gè)角.

    圖1

    問(wèn)題8請(qǐng)問(wèn)圖1中一共有幾個(gè)三角形?

    分析說(shuō)明:以上圖形類問(wèn)題的設(shè)計(jì)與“握手問(wèn)題”的本質(zhì)是一致的.在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生學(xué)會(huì)將解決生活中“握手問(wèn)題”的知識(shí)遷移到圖形類問(wèn)題的解決中,能夠熟知解決此類問(wèn)題的策略,即確定基本的定量之后再進(jìn)行相應(yīng)的不同數(shù)量的組合,注重邏輯性和順序性,建構(gòu)起基本的數(shù)學(xué)模型.

    案例1中的“握手問(wèn)題”是七年級(jí)學(xué)生理解的難點(diǎn),對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象,在解題過(guò)程中由于邏輯混亂常常會(huì)出現(xiàn)遺漏,導(dǎo)致各種錯(cuò)誤.因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),筆者聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際進(jìn)行了舉例和模擬操作,這些具體的實(shí)例與學(xué)生的實(shí)際生活緊密聯(lián)系,更容易讓學(xué)生入手和理解.通過(guò)“購(gòu)買(mǎi)單程車(chē)票”進(jìn)行導(dǎo)入,幫助學(xué)生初步認(rèn)識(shí)這類問(wèn)題的解題策略,進(jìn)而通過(guò)“圖形的初步認(rèn)識(shí)”進(jìn)行深入研討,實(shí)現(xiàn)由淺入深、由表及里的思考和探究,引導(dǎo)學(xué)生逐漸抓住“握手問(wèn)題”的本質(zhì).“握手問(wèn)題”的本質(zhì)是從n個(gè)參數(shù)中選擇兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行組合,求組合的數(shù)量.抓住問(wèn)題的本質(zhì)才能掌握解題的規(guī)律,深化知識(shí)理解,從而激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性和主動(dòng)性,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心.

    教師通過(guò)設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng),促使學(xué)生能夠從不同的角度和不同的層次進(jìn)行思考分析,從而找到解答問(wèn)題的思路,鍛煉了思維能力.在數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化中學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)學(xué)的“化歸”思想,突出了問(wèn)題的本質(zhì),建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型,提升了解決問(wèn)題的能力,真正落實(shí)了核心素養(yǎng)[2].

    2 在拾階而上的數(shù)學(xué)探究中掌握數(shù)學(xué)模型建構(gòu)

    數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)建立在學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、解題技能和思維能力的基礎(chǔ)上,在教學(xué)中數(shù)學(xué)教師要基于初中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和特點(diǎn),從初中生的思維習(xí)慣出發(fā),關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展,尊重學(xué)生的差異性,設(shè)計(jì)分層問(wèn)題,做到由淺入深,拾階而上.通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)激活學(xué)生思維,用問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考,在課堂教學(xué)中要給學(xué)生充分思考的時(shí)間和空間,使學(xué)生能夠進(jìn)行充分的深度思考,提升思維能力,從而進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,落實(shí)核心素養(yǎng).

    案例2九年級(jí)“直角三角形中的折疊問(wèn)題”專題復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)

    問(wèn)題1如圖2,直角三角形ABC中,∠C為直角,BC和AC的長(zhǎng)度分別為8和6,將直角三角形ABC沿著AD進(jìn)行翻折,使點(diǎn)C與AB邊上的點(diǎn)E重合,請(qǐng)問(wèn)怎樣才能求出折痕AD的長(zhǎng)度?

    圖2

    問(wèn)題2如圖3,將直角三角形ABC沿著B(niǎo)D進(jìn)行翻折,使點(diǎn)C與BA邊上的點(diǎn)E重合,請(qǐng)問(wèn)怎樣才能求出折痕BD的長(zhǎng)度?

    圖3

    師生共同討論解決問(wèn)題,總結(jié)數(shù)學(xué)模型.解決這類問(wèn)題可以先將已知條件集中到一個(gè)直角三角形中,使直角三角形的一邊成為已知量,另外的兩條邊之間具有特定的數(shù)量關(guān)系,然后利用勾股定理進(jìn)行求解.

    問(wèn)題3如圖4,將直角三角形ABC沿著CD進(jìn)行翻折,使點(diǎn)A和BC邊上的點(diǎn)E重合,請(qǐng)問(wèn)怎樣才能求出折痕CD的長(zhǎng)度?

    圖4

    師生共同總結(jié)數(shù)學(xué)模型,將直角平分后產(chǎn)生了兩個(gè)45°的角,過(guò)點(diǎn)D向兩條直角邊分別作垂線段,由此構(gòu)成了正方形,進(jìn)而利用相似三角形解決正方形的邊長(zhǎng).

    問(wèn)題4假設(shè)三角形在翻折時(shí)的折線不經(jīng)過(guò)任一頂點(diǎn),應(yīng)該如何求折痕的長(zhǎng)度呢?如圖5,將直角三角形ABC沿著某一條直線進(jìn)行翻折,使頂點(diǎn)A和B重合,請(qǐng)問(wèn)怎樣才能求出折痕DE的長(zhǎng)度?

    圖5

    問(wèn)題5假設(shè)再換兩個(gè)頂點(diǎn)重合又會(huì)是什么情況?

    問(wèn)題6假設(shè)讓三角形的某一個(gè)頂點(diǎn)與指定的某個(gè)點(diǎn)重合會(huì)怎么樣呢?將直角三角形ABC沿著某一條直線進(jìn)行翻折,使頂點(diǎn)A和BC邊上的中點(diǎn)F重合,請(qǐng)問(wèn)怎樣才能求出折痕DE的長(zhǎng)度?

    師生共同總結(jié)數(shù)學(xué)模型,在直角三角形EFC中可以利用勾股定理列方程求得CE和EF的長(zhǎng)度,再過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線段FH.在直角三角形DFH中可以通過(guò)同樣的方法求得DF或者AD的長(zhǎng)度,DE的長(zhǎng)度自然可以求得.

    問(wèn)題7將直角三角形ABC沿著某一條直線進(jìn)行翻折,使頂點(diǎn)B和AC邊上的中點(diǎn)F重合,請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該怎樣才能求出折痕DE的長(zhǎng)度?

    設(shè)計(jì)意圖:本例中的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn),符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.首先,從三角形經(jīng)過(guò)某一頂點(diǎn)的折線翻折后的情況進(jìn)行討論,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用勾股定理加以定量分析之后解決問(wèn)題.其次,討論三角形不經(jīng)過(guò)某一頂點(diǎn)的折線進(jìn)行翻折后出現(xiàn)的情況,求折痕的長(zhǎng)度.

    問(wèn)題設(shè)計(jì)由易到難,滿足了不同學(xué)生的需求,在層層遞進(jìn)的探究中提升了學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的認(rèn)識(shí),激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力,在潛移默化中掌握解決這類問(wèn)題的策略是先構(gòu)造直角三角形,根據(jù)已知條件利用勾股定理最終獲得解題的思路[3].

    綜上所述,建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵與核心,也是提升思維能力的重要途徑.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)中能夠理解知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程,使知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用形成更加完美的結(jié)合,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.教師要樹(shù)立課程目標(biāo)意識(shí),以學(xué)生的認(rèn)知水平為基礎(chǔ),以核心素養(yǎng)為目標(biāo),有效設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng),引領(lǐng)拾階而上的數(shù)學(xué)探究,促進(jìn)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng),開(kāi)展深度學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

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