四、七年級學(xué)生分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的關(guān)系：分?jǐn)?shù)概念理解的中介作用*

邱 晨 牛美心 周新林 楊 濤

(1 北京師范大學(xué)中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875) (2 國家稅務(wù)總局北京市稅務(wù)局，北京 100176)(3 北京師范大學(xué)認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)與學(xué)習(xí)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100875)

1 引言

分?jǐn)?shù)是人類處理現(xiàn)實(shí)情境中兩個(gè)量關(guān)系的有效工具（Sidney, Thalluri, Buerke, & Thompson,2019），但是兒童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識存在困難，主要在于無法理解分?jǐn)?shù)數(shù)量表征（Kalra, Binzak, Matthews, &Hubbard, 2020），而分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就呈顯著相關(guān)關(guān)系（Gunderson, Hamdan, Hildebrand, &Bartek, 2019; Hamdan & Gunderson, 2017）。以往研究已對上述關(guān)系進(jìn)行了探究，但其深層次的作用機(jī)理有待揭示（Gunderson et al., 2019; Liu, 2018）。

1.1 分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的發(fā)展及其與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的關(guān)系

數(shù)量表征指個(gè)體對數(shù)量的心理解析（Siegler,2016）。分?jǐn)?shù)數(shù)量表征是在數(shù)量表征的基礎(chǔ)上進(jìn)一步聚焦，即個(gè)體能夠?qū)⒎謹(jǐn)?shù)按照從小到大的順序，從左到右依次將其映射到心理數(shù)字線上（Hansen, Jordan, & Rodrigues, 2017）。分?jǐn)?shù)數(shù)量表征水平是對分?jǐn)?shù)數(shù)量的估算水平，涉及到理解數(shù)字大小、分?jǐn)?shù)系統(tǒng)以及修正調(diào)整數(shù)字等能力（Gunderson et al., 2019），這一水平與直覺、猜測等非智力因素緊密相關(guān)（方翹楚, 2015）。學(xué)生數(shù)量表征水平的發(fā)展因年齡和數(shù)量范圍呈現(xiàn)出不同的趨勢。在數(shù)量范圍相同情況下，學(xué)生年齡越大，數(shù)量表征水平往往越高；在學(xué)生年齡相同情況下，數(shù)量范圍越大，學(xué)生的數(shù)量表征水平往往越低（徐華, 陳英和, 2012）。

已有研究發(fā)現(xiàn)，不同年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征水平均對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就具有顯著預(yù)測作用。Gunderson等（2019）指出二、三年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)估計(jì)水平與后期代數(shù)學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)成績具有很強(qiáng)的相關(guān)性。Hansen，Jordan等（2017）認(rèn)為四年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)字線任務(wù)表現(xiàn)顯著預(yù)測數(shù)學(xué)成績。Liu（2018）對兩組四年級學(xué)生進(jìn)行對照追蹤實(shí)驗(yàn)，指出接受分?jǐn)?shù)教學(xué)的學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征成績顯著預(yù)測數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就。另外，Siegler，Thompson和Schneider（2011）發(fā)現(xiàn)美國六、八年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征顯著正向預(yù)測其數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就。Torbeyns，Schneider，Xin 和 Siegler（2015）進(jìn)一步指出比利時(shí)和中國的六、八年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就也具有顯著相關(guān)性。綜上，雖然學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就之間的關(guān)系得到了證實(shí)，但以往研究并未揭示分?jǐn)?shù)數(shù)量表征對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的作用機(jī)制，兩者之間的關(guān)系還有待于深入探究。

1.2 分?jǐn)?shù)概念理解的發(fā)展及其與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的關(guān)系

在數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)之商。相比于整數(shù)，分?jǐn)?shù)更為復(fù)雜，不僅是一個(gè)有數(shù)值大小的“量”，也是代表兩個(gè)量之間關(guān)系的“相對量”（DeWolf, Bassok, & Holyoak, 2015）。許多研究者將分?jǐn)?shù)概念的含義具體化（Behr, Harel, Post, &Lesh, 1992），其中，分?jǐn)?shù)概念五分化理論將分?jǐn)?shù)概念劃分為部分?整體、測量、比、商和算子五部分。分?jǐn)?shù)概念理解實(shí)質(zhì)上是理解兩個(gè)量之間的關(guān)系，是獲得相關(guān)數(shù)學(xué)知識（如分?jǐn)?shù)運(yùn)算等）的必要條件（劉春暉, 辛自強(qiáng), 2010）。然而，學(xué)生對不同分?jǐn)?shù)概念的理解和掌握并不是同時(shí)實(shí)現(xiàn)的，例如，基于整數(shù)概念知識，學(xué)生更容易理解“部分?整體”，但理解“測量”比較困難（劉春暉, 辛自強(qiáng), 2010）。Stafylidou 和 Vosniadou（2004）將分?jǐn)?shù)概念發(fā)展劃分為：（1）兩個(gè)自然數(shù)的表征；（2）部分與整體關(guān)系的理解；（3）兩個(gè)相關(guān)的數(shù)的表征。劉春暉和辛自強(qiáng)證實(shí)了上述研究所提出的分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的三個(gè)層次，并指出分?jǐn)?shù)概念理解的能力隨著年級的升高而提升。

已有研究表明，兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解可以整體預(yù)測乘法應(yīng)用題表征水平，且“部分?整體”概念和“測量”概念的理解水平可以預(yù)測分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征（張睆, 辛自強(qiáng), 陳英和, 胡衛(wèi)平,2017）。分?jǐn)?shù)概念理解能夠提升分?jǐn)?shù)運(yùn)算成績，分?jǐn)?shù)運(yùn)算成績的提升為數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的提升提供了可能（王歡, 2013）。Rodrigues，Jordan和Hansen（2019）進(jìn)一步指出，學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念理解得越好，數(shù)學(xué)成績往往越高。另外，分?jǐn)?shù)概念知識有助于學(xué)生理解程序，估計(jì)解決方案，并注意到自己作業(yè)中的程序錯(cuò)誤（Hecht, 1998）。綜上，雖然分?jǐn)?shù)概念理解與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的研究已經(jīng)得到了研究者的關(guān)注，但是目前還缺少兩者之間的關(guān)系在不同年級上的差異研究，即是否隨著學(xué)生年齡的增長，分?jǐn)?shù)概念理解與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就之間的關(guān)系更為緊密。

1.3 分?jǐn)?shù)數(shù)量表征、分?jǐn)?shù)概念理解與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的關(guān)系

既然分?jǐn)?shù)數(shù)量表征、分?jǐn)?shù)概念理解都分別對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就有直接影響，那它們是如何共同起作用的，有著怎樣的作用機(jī)制？

根據(jù)Siegler等（2011）提出的數(shù)量表征理論，個(gè)體通過數(shù)量表征來理解數(shù)概念代表的數(shù)量意義。數(shù)量表征的相關(guān)知識是學(xué)習(xí)數(shù)概念的基礎(chǔ)，有助于學(xué)生對于數(shù)概念的掌握。已有研究表明，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能夠?yàn)槔斫夥謹(jǐn)?shù)概念提供一種潛在結(jié)構(gòu)和程序（Siegler et al., 2011），是提升分?jǐn)?shù)概念理解的一項(xiàng)重要能力（Resnick et al., 2016;Torbeyns et al., 2015）。相比注意行為、語言等對學(xué)生分?jǐn)?shù)概念理解的影響，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能力對學(xué)生分?jǐn)?shù)概念理解的影響最大（Jordan et al.,2013）?；谏鲜鲅芯?，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念奠定基礎(chǔ)，而分?jǐn)?shù)數(shù)量表征、分?jǐn)?shù)概念理解分別對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就具有重要作用。因而，本研究假設(shè)分?jǐn)?shù)概念理解可能在分?jǐn)?shù)數(shù)量表征和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就中起到中介作用。

另外，在兒童數(shù)量表征、數(shù)概念發(fā)展過程中，年齡或年級是重要影響因素之一（陳英和,2015）。已有研究表明，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征準(zhǔn)確性隨年齡的增長而提高（辛自強(qiáng), 李丹, 2013; Siegler et al.,2011; Torbeyns et al., 2015）。Siegler等的研究表明，八年級學(xué)生分?jǐn)?shù)估計(jì)準(zhǔn)確性高于六年級學(xué)生。分?jǐn)?shù)概念理解也表現(xiàn)出相似的發(fā)展趨勢（辛自強(qiáng), 李丹, 2013; Boyer, Levine, & Huttenlocher,2008）。

綜上，本研究提出假設(shè)1：分?jǐn)?shù)數(shù)量表征直接影響數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就；假設(shè)2：分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能夠通過分?jǐn)?shù)概念理解影響數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就；假設(shè)3：在不同年級，以上作用關(guān)系存在，但是作用大小可能有差異。研究假設(shè)模型如圖1所示。

圖1 研究假設(shè)模型

2 研究方法

2.1 被試

在征得學(xué)校負(fù)責(zé)人、學(xué)生及其家長的知情同意后，本研究采用整群抽樣的方法，選取北京市的小學(xué)和初中各兩所，小學(xué)和初中各抽取一個(gè)年級為代表，并以班級為單位取樣。小學(xué)抽取四年級，初中抽取七年級，最終有效回收數(shù)據(jù)379份，問卷的有效回收率為92.55%。其中，四年級157人，男生73人，女生84人；七年級222人，男生109人，女生113人。

2.2 研究工具

2.2.1 分?jǐn)?shù)數(shù)字線任務(wù)

采用單維分?jǐn)?shù)數(shù)字線估計(jì)任務(wù)，要求學(xué)生判斷某一分?jǐn)?shù)（如1/3）在0～3數(shù)字線段中的對應(yīng)位置，并標(biāo)注分?jǐn)?shù)位置。該測試包含20道題目，分為判斷分?jǐn)?shù)單位和非分?jǐn)?shù)單位兩部分。該測驗(yàn)的Cronbach’s α系數(shù)為0.76。該任務(wù)采用絕對誤差百分比（PAE）（PAE=|估計(jì)值?實(shí)際值|÷被估計(jì)的數(shù)值范圍×100%）進(jìn)行計(jì)分（Siegler & Booth, 2004）。PAE值越大，學(xué)生所估計(jì)的誤差越大。

2.2.2 學(xué)生分?jǐn)?shù)概念理解測查量表

采用Charalambous（2007）編制的學(xué)生分?jǐn)?shù)概念理解測查量表（SMSUF量表）。該量表包含部分?整體、測量、比、商和算子5個(gè)子維度，并基于我國的教學(xué)情況對其修訂，最終量表共計(jì)36道題目（例如，“判斷正誤：2/3表示的意義是把一個(gè)由多個(gè)物體組成的集合等分為三份，取其中的兩份”）。該量表采用0，1計(jì)分，答對得1分，答錯(cuò)得0分，學(xué)生得分越高，表示對分?jǐn)?shù)概念理解得越好（為方便分析，學(xué)生得分轉(zhuǎn)化為均值18，標(biāo)準(zhǔn)差3的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)）。該量表的Cronbach’s α系數(shù)為0.93。

2.2.3 數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就測驗(yàn)

采用“中國學(xué)生青少年心理發(fā)育特征調(diào)查”項(xiàng)目中標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就測驗(yàn)（董奇, 林崇德,2011），包括數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率三方面，共計(jì)32道題目。其中，四年級采用第二學(xué)段測驗(yàn)，七年級采用第三學(xué)段測驗(yàn)。第二學(xué)段和第三學(xué)段測驗(yàn)的Cronbach’s α系數(shù)分別為0.80，0.85。

2.2.4 空間工作記憶任務(wù)

依據(jù)Corsi block任務(wù)改編（Corsi, 1972）。由電腦屏幕呈現(xiàn)九宮格，并依次呈現(xiàn)一些圓點(diǎn)，每個(gè)圓點(diǎn)呈現(xiàn)時(shí)間為1000 ms，要求被試盡量記住圓點(diǎn)的順序和位置。測驗(yàn)包含10個(gè)模塊，每個(gè)模塊包含若干題目，被試正確作答的題目得3分，作答錯(cuò)誤或漏答不得分。

2.2.5 簡單數(shù)字計(jì)算任務(wù)

該任務(wù)來源于Wei等人（2012）的研究。由電腦屏幕上方呈現(xiàn)一個(gè)減法算式（所有數(shù)字均在20以內(nèi)），屏幕下方左右兩邊同時(shí)呈現(xiàn)兩個(gè)答案作為備選，要求被試選出正確答案。該測驗(yàn)共包含30個(gè)模塊，每個(gè)模塊包含若干題目，答對一題得3分，答錯(cuò)不得分。

2.2.6 瑞文推理測驗(yàn)

該測驗(yàn)采用非言語圖形關(guān)系推理任務(wù)，要求被試尋求規(guī)律并找出圖像的缺失部分。測驗(yàn)包含36個(gè)模塊，每個(gè)模塊包含若干題目，被試正確作答一題得3分，作答錯(cuò)誤或漏答不得分。

2.3 研究程序與數(shù)據(jù)分析

本研究的測驗(yàn)分為計(jì)算機(jī)測驗(yàn)和紙筆測驗(yàn)兩部分。兩種測驗(yàn)均采用集體施測，由經(jīng)過培訓(xùn)的教育學(xué)和心理學(xué)研究生擔(dān)任主試，在課堂中統(tǒng)一施測，并當(dāng)場回收數(shù)據(jù)。最終，采用SPSS26.0和Mplus8.3進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

3 結(jié)果

3.1 共同方法偏差檢驗(yàn)

根據(jù)Harman單因素檢驗(yàn)法進(jìn)行主成分分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，特征根大于1的因子共有18個(gè)，第一個(gè)因子的變異解釋率為20.22%，小于40%的臨界值標(biāo)準(zhǔn)，說明本研究存在共同方法偏差的可能性較小。

3.2 描述統(tǒng)計(jì)和相關(guān)分析

各變量的描述統(tǒng)計(jì)及相關(guān)分析見表1和表2。在四年級和七年級樣本中，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征分別與分?jǐn)?shù)概念理解和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就呈顯著負(fù)相關(guān)，分?jǐn)?shù)概念理解與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就呈顯著正相關(guān)。對分?jǐn)?shù)數(shù)量表征和分?jǐn)?shù)概念理解進(jìn)行四、七年級的差異性檢驗(yàn)，結(jié)果表明，四年級的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征得分顯著高于七年級（t=7.74,d=0.81,p＜0.001），而四年級的分?jǐn)?shù)概念理解得分顯著低于七年級（t=?22.85,d=?2.48,p＜0.001）。

表1 四年級學(xué)生描述統(tǒng)計(jì)結(jié)果及相關(guān)分析

表2 七年級學(xué)生描述統(tǒng)計(jì)結(jié)果及相關(guān)分析

3.3 中介模型檢驗(yàn)

首先，控制性別、空間工作記憶、瑞文推理、簡單數(shù)字計(jì)算等變量后，以分?jǐn)?shù)數(shù)量表征為自變量，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就為因變量，建立直接效應(yīng)模型。結(jié)果顯示，在兩個(gè)年級群體中，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征均能顯著負(fù)向預(yù)測數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就（四年級:β=?0.13,SE=0.08,p=0.045, 95%CI[?0.29, ?0.03]; 七年級: β=?0.31,SE=0.06,p＜0.001, 95%CI[?0.44,?0.19]），說明四、七年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征均能負(fù)向預(yù)測數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績，但在七年級群體中，兩者的關(guān)系更為密切。

在該模型的基礎(chǔ)上加入分?jǐn)?shù)概念理解建立中介效應(yīng)模型，并采用偏差校正的非參數(shù)百分位Bootstrap方法進(jìn)行檢驗(yàn)（溫忠麟, 葉寶娟,2014）。中介模型的擬合結(jié)果較好，四年級：χ2=24.76，df=13，RMSEA=0.079，CFI=0.905，TLI=0.900，SRMR=0.054；七年級：χ2=39.04，df=13，RMSEA=0.078，CFI=0.909，TLI=0.901，SRMR=0.051（見圖2和圖3）。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在四年級群體中，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征顯著負(fù)向預(yù)測分?jǐn)?shù)概念理解（β=?0.23,SE=0.10,p=0.017, 95%CI[?0.43,?0.04]），分?jǐn)?shù)概念理解顯著正向預(yù)測數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就（β=0.61,SE=0.14,p＜0.001, 95%CI[0.33, 0.88]）；在七年級群體中，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征顯著負(fù)向預(yù)測分?jǐn)?shù)概念理解（β=?0.34,SE=0.09,p＜0.001,95%CI[?0.52, ?0.15]），分?jǐn)?shù)概念理解顯著正向預(yù)測數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就（β=0.47,SE=0.09,p＜0.001,95%CI[0.30, 0.64]）。中介效應(yīng)的顯著性結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能夠通過分?jǐn)?shù)概念理解對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就起顯著預(yù)測作用，四年級：β=?0.14，SE=0.07，p=0.049，95%CI[?0.29, ?0.01]；七年級：β=?0.16，SE=0.06，p=0.008，95%CI[?0.27, ?0.04]。另外，在四年級群體中，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的預(yù)測作用不顯著（β=0.01,SE=0.09,p=0.906, 95%CI[?0.17, 0.19]），而在七年級群體中，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的預(yù)測作用是顯著的（β=?0.15,SE=0.08,p=0.047, 95%CI[?0.30, ?0.00]），說明在四年級群體中，分?jǐn)?shù)概念理解在分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就之間發(fā)揮完全中介效應(yīng)，而在七年級群體中發(fā)揮部分中介效應(yīng)。

圖2 四年級中介模型結(jié)果

圖3 七年級中介模型結(jié)果

4 討論

4.1 分?jǐn)?shù)數(shù)量表征、分?jǐn)?shù)概念理解的發(fā)展特點(diǎn)

本研究發(fā)現(xiàn)七年級分?jǐn)?shù)數(shù)量表征、分?jǐn)?shù)概念理解的準(zhǔn)確性顯著高于四年級，這與已有研究結(jié)論一致（Siegler et al., 2011; Siegler & Pyke, 2013）。其可能原因是隨著年齡的增長和閱歷的豐富，學(xué)生的估算、精確理解能力等進(jìn)一步發(fā)展。這與信息加工理論模型相一致，即學(xué)生認(rèn)知水平越高，獲取關(guān)鍵信息更為精準(zhǔn)，編碼也更為有效（Dean &Woodcock, 2003）。也可能是隨著年齡增加，學(xué)生受整數(shù)表征的影響減弱，對分?jǐn)?shù)表征和理解更準(zhǔn)確。低年級學(xué)生往往將整數(shù)問題與分?jǐn)?shù)問題等同，但高年級學(xué)生往往能將兩者更好地區(qū)分開，對整數(shù)和分?jǐn)?shù)的理解更為精確（Siegler & Pyke, 2013）。

4.2 分?jǐn)?shù)數(shù)量表征對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就具有積極影響

本研究的結(jié)果表明，學(xué)生分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的準(zhǔn)確性越高，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績越高。這一結(jié)果與以往研究結(jié)果相一致（王歡, 2013; Gunderson et al.,2019; Hamdan & Gunderson, 2017; Jordan et al., 2013;Resnick et al., 2016; Torbeyns et al., 2015）。可能是，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征中的單維分?jǐn)?shù)數(shù)字線符合實(shí)數(shù)量級的概念特征（Siegler & Lortie-Forgues,2014）。這一數(shù)字線的物理表征與對數(shù)學(xué)成績具有促進(jìn)作用的心理表征相匹配（Ramani & Siegler,2008）。數(shù)字線任務(wù)的訓(xùn)練可以提高學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能力，這種能力又與代數(shù)能力緊密相關(guān)（Gunderson et al., 2019; Kalra et al., 2020），進(jìn)而會影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。另外，年級越高，學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征水平與數(shù)學(xué)成績的關(guān)聯(lián)性越大。這與Siegler等（2011），以及Siegler和Pyke（2013）的研究結(jié)果相一致。這可能因?yàn)槠吣昙墝W(xué)生涉及到初等代數(shù)以及代數(shù)的問題相對更多，而分?jǐn)?shù)表征對于解決上述問題至關(guān)重要（Siegler et al.,2011）。

4.3 分?jǐn)?shù)概念理解在分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就之間的中介作用

本研究發(fā)現(xiàn)，四、七年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的準(zhǔn)確性可以通過提升對分?jǐn)?shù)概念的理解，而間接提升數(shù)學(xué)成績。其原因可能是數(shù)量表征是兒童最先發(fā)展的重要數(shù)能力（Jordan, Glutting, &Ramineni, 2010），是人類高級數(shù)能力的基礎(chǔ)，并為分?jǐn)?shù)概念理解的發(fā)展奠定基礎(chǔ)（Jordan et al.,2013; Resnick et al., 2016; Torbeyns et al., 2015）。另外，根據(jù)分?jǐn)?shù)概念語義結(jié)構(gòu)理論（Kieren, 1993），分?jǐn)?shù)概念理解的本質(zhì)是理解兩個(gè)量之間的關(guān)系（DeWolf et al., 2015），并用分?jǐn)?shù)處理分配、測量等問題情景中的變量關(guān)系（Charalambous, 2007）。而成功解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是正確表征問題中所包含的事實(shí)關(guān)系（張睆等, 2017）。因此，學(xué)生對分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的準(zhǔn)確性越高，其分?jǐn)?shù)概念理解能力的越高，也能更好地理解并成功表征不同情境中不同量之間的關(guān)系，促使問題解決與數(shù)學(xué)成績提升。

該研究結(jié)果說明了學(xué)生的認(rèn)知能力越高，能更快更準(zhǔn)確地注意關(guān)鍵信息，進(jìn)行高效編碼，輸出更多有效信息，從而提升學(xué)業(yè)成就（Vock,Preckel, & Holling, 2011）。數(shù)量表征（無論是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)）是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)能力，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所必須的能力。分?jǐn)?shù)數(shù)量表征能力促進(jìn)分?jǐn)?shù)概念理解能力的提升，解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就。

另外，本研究發(fā)現(xiàn)，對四年級學(xué)生，分?jǐn)?shù)概念理解在分?jǐn)?shù)數(shù)量表征和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就之間起完全中介作用，對七年級學(xué)生，分?jǐn)?shù)概念理解在其中起部分中介作用。可能的原因是，兒童分?jǐn)?shù)數(shù)量表征（尤其符號表征）的發(fā)展相對更晚（Siegler et al., 2011），其準(zhǔn)確性隨著個(gè)體年齡的增加而提高，逐漸趨于相對穩(wěn)定（辛自強(qiáng), 李丹, 2013;Bailey, Siegler, & Geary, 2014; Siegler et al., 2011;Torbeyns et al., 2015）。四年級學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征在逐步形成發(fā)展階段，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征對學(xué)業(yè)成就的影響，可以完全通過分?jǐn)?shù)概念理解的作用來解釋。而對七年級學(xué)生，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征準(zhǔn)確性已顯著提升，其分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的形成發(fā)展過程也受到與數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和認(rèn)知加工的其他因素的影響（徐華, 陳英和, 2012; Jordan et al., 2013）。

4.4 研究意義與展望

分?jǐn)?shù)概念的多重含義是影響學(xué)生理解和應(yīng)用分?jǐn)?shù)的主要障礙（劉春暉, 辛自強(qiáng), 2010）。在教學(xué)中，雖然設(shè)計(jì)具體的情境能夠促進(jìn)學(xué)生對概念的理解，但是教師在教學(xué)過程中過于強(qiáng)調(diào)方法、技巧、規(guī)則等的訓(xùn)練，可能忽視學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義理解的培養(yǎng)，使得學(xué)生很難實(shí)現(xiàn)由整數(shù)概念到分?jǐn)?shù)概念的轉(zhuǎn)化。本研究的結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征不僅顯著正向預(yù)測學(xué)生對數(shù)系統(tǒng)（含整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)等）的整體認(rèn)識，還可以顯著正向預(yù)測學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念理解以及數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就。這意味著教師可以在教學(xué)中把表征類型融入到其教學(xué)設(shè)計(jì)中，從而更明確地設(shè)置其多元培養(yǎng)目標(biāo)。這些培養(yǎng)目標(biāo)既包括教師分?jǐn)?shù)概念理解的教學(xué)任務(wù)，也包括學(xué)生直覺、猜測和估算能力的培養(yǎng)。例如，由數(shù)字線呈現(xiàn)的精確數(shù)字實(shí)現(xiàn)了由抽象到具體的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)了學(xué)生對“度量”概念的理解。事實(shí)上，單維數(shù)軸分?jǐn)?shù)數(shù)量表征水平代表了學(xué)生直覺、猜測和估算能力以及高級思維的發(fā)展。這些高級思維的發(fā)展有利于學(xué)生對于精確概念（如“整體?部分”“測量”等）的理解，從而有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的提升，為核心素養(yǎng)的落實(shí)提供實(shí)證依據(jù)（章建躍, 2016; 章建躍, 程?？?2017）。

本研究還存在一些不足，如沒有對分?jǐn)?shù)數(shù)量表征和分?jǐn)?shù)概念理解進(jìn)一步細(xì)分，并討論內(nèi)在關(guān)系以及不同條件下，各自對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的影響；也沒有分析其他因素（如空間能力、抑制控制等）對數(shù)學(xué)成績的作用機(jī)制。本研究采用的是橫斷研究，后續(xù)研究可以通過追蹤研究進(jìn)一步探究分?jǐn)?shù)數(shù)量表征和分?jǐn)?shù)概念理解對數(shù)學(xué)成績的歷時(shí)性影響及其作用機(jī)制。本研究對性別等變量進(jìn)行了控制，后續(xù)研究可以對不同性別的差異進(jìn)一步探究。

5 結(jié)論

（1）分?jǐn)?shù)數(shù)量表征對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就具有積極影響。（2）隨著年級的增加，分?jǐn)?shù)數(shù)量表征對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的直接影響增大。（3）分?jǐn)?shù)概念理解在分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就之間起著中介作用。（4）這種中介作用機(jī)制存在年級差異，即對四年級學(xué)生，分?jǐn)?shù)概念理解起完全中介作用，對七年級學(xué)生，分?jǐn)?shù)概念理解起部分中介作用。