以等差數(shù)列為例分析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

徐浩

（湖北省廣水市育才高中，湖北 廣水 432700）

一、構(gòu)造法對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的重要性

高中數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是一大難題，高中數(shù)學(xué)的部分問(wèn)題運(yùn)用正常解題思路是難以求解的或者解題步驟極其繁瑣。那么，要想有效提升數(shù)學(xué)正確率，學(xué)生需要轉(zhuǎn)變思路，掌握相關(guān)解題方法。構(gòu)造法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，簡(jiǎn)而言之，構(gòu)造法是滿(mǎn)足題意假設(shè)的數(shù)學(xué)模型，最終達(dá)到解題的效果。構(gòu)造法旨在運(yùn)用非常規(guī)的解題方法，將題中的“未知”條件變?yōu)椤耙阎睏l件。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)講究數(shù)與形的巧妙結(jié)合，二者相得益彰、密不可分。構(gòu)造法可簡(jiǎn)化高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程，通過(guò)更直觀(guān)、通俗的方式將題意展示出來(lái)，在解題中巧妙運(yùn)用數(shù)與形相結(jié)合的思想。構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中較為常見(jiàn)，它不僅可以結(jié)合數(shù)與形思想解題，向量、函數(shù)與方程都可以作為構(gòu)造法的解題工具，從而幫助學(xué)生更加高效地完成解題。

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

構(gòu)造法對(duì)于簡(jiǎn)化高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程意義重大，應(yīng)用很廣泛，適用性也很強(qiáng)，因此，學(xué)生應(yīng)該多加練習(xí)此方法，熟練掌握構(gòu)造法的解題思路和技巧，以便提高解題速率和正確率。常見(jiàn)的構(gòu)造法主要是構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造方程等。方程式是我們學(xué)生較為熟悉的內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，幾乎涵蓋了整個(gè)中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)。通過(guò)高中數(shù)學(xué)題目的歸類(lèi)，很容易發(fā)現(xiàn)方程式很少單獨(dú)出題，往往是和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合出題，這在某種程度上，無(wú)疑是加大了解題難度。針對(duì)此類(lèi)題型，可以聯(lián)想到構(gòu)造法解題思路，根據(jù)題目中已給定的條件，構(gòu)造等量關(guān)系式，分析相關(guān)變量，從而簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)題目，使數(shù)學(xué)更加具體化，形象化。這種方法的運(yùn)用，既可以提高學(xué)生解題的速度和正確率，加強(qiáng)創(chuàng)新思維能力的鍛煉，又可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如：“若（p-q）2－4（q－x）（x－p）＝0，證明p，q，x為等差數(shù)列”。則會(huì)個(gè)題目乍一看找不到突破口，無(wú)從下手，但是當(dāng)我們轉(zhuǎn)化思路，采用構(gòu)造法將題目中的已知條件與結(jié)論結(jié)合起來(lái)看就豁然開(kāi)朗許多，可構(gòu)建如下等量關(guān)系式：（q－x）＊t2＋（p－q）＊t＋（xp）＝0，假設(shè)△＝（p－q）－4（q－x）（x－p），則可得△＝0，那么根據(jù)所構(gòu)建的等量方程式，可得該等式的實(shí)數(shù)根相等，可得t＝1，所構(gòu)建等式的實(shí)數(shù)根p＝q＝1。又根據(jù)韋達(dá)定理可得出：p＋q＝2x，從而可得出題目中的p，q，x為等差數(shù)列成立。這種抽象類(lèi)型的題目對(duì)于大部分學(xué)生而言是具有一定難度的，但是如果結(jié)合非常規(guī)的解題思路便可以簡(jiǎn)化難題，快速求解。

還有，在解決高中等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，選擇構(gòu)造通項(xiàng)或者前n項(xiàng)和的方法，寫(xiě)出構(gòu)造出的新數(shù)列，再整體取值。這種使抽象轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蟮姆椒ǎ黾訑?shù)列的直觀(guān)性，有助于提升學(xué)生的整體意識(shí)。

例如：“已知等差數(shù)列{an}，前6 項(xiàng)之和為36，后6 項(xiàng)和為114，前n 項(xiàng)和為375，要求求出該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)”。可利用構(gòu)造數(shù)列的思想進(jìn)行解題：由已知條件可得出6a+10d+6a+(6n-16)d=12a+(6a-6)d=36+114=150,2a+(n-1)d=25,1/2[2a+(n-1)d]n=375,將2a+(n-1)d=25 代入1/2[2a+(n-1)d]n=375 中，可得n=30。

在實(shí)際出題中，函數(shù)往往會(huì)和方程結(jié)合在一起出題。函數(shù)和方程是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。函數(shù)具有抽象性，它要求學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)理分析能力，以及空間思維能力，這本身就是有難度的事情。對(duì)于高中的非典型函數(shù)題型，學(xué)生需要具備針對(duì)性的解題思路意識(shí)，目的是將抽象的函數(shù)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直觀(guān)。因此，在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)，需要我們學(xué)生具備良好的函數(shù)思維，要善于根據(jù)題目字面意思進(jìn)行分析、聯(lián)想，將函數(shù)的構(gòu)造方法爛熟于心，一旦滿(mǎn)足條件即可運(yùn)用構(gòu)造法簡(jiǎn)化解題步驟。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，高中是人生發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，課程繁多，面臨著升大學(xué)的壓力。傳統(tǒng)的教育模式已不再能適應(yīng)新教改的要求，構(gòu)造法作為一種良好的解題方法，在提高解題速率和正確率的基礎(chǔ)上，也能增強(qiáng)學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性。當(dāng)學(xué)生因破解出一道難題而帶來(lái)興奮感和成就感，會(huì)激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，這對(duì)于提高高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量也發(fā)揮著不可或缺的推動(dòng)作用。高中生面臨高考的壓力，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，如果思維能力較好，學(xué)起來(lái)就會(huì)輕松很多。相反，對(duì)于思維能力不是那么出眾的同學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)就相對(duì)比較吃力。因而，掌握良好的解題思路和方法顯得尤為重要。構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中較為常見(jiàn)，在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用較為廣泛，這種方法的應(yīng)用不僅能夠提高解題速率和正確率，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，這種創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)更符合新時(shí)代教育改革的目標(biāo)。