對(duì)2018全國(guó)卷Ⅲ理科21題（2）的研究*

☉四川省瀘州市瀘州高級(jí)中學(xué) 呂榮春

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

多數(shù)高考試題背景新穎、構(gòu)思巧妙，具有示范性、典型性，是教學(xué)研究的良好素材.研究高考試題有利于體會(huì)試題立意、弄清試題背景、揭示試題本質(zhì)、拓寬試題解法、加強(qiáng)試題變式.2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ理科21題（下文簡(jiǎn)稱21題）具有一定的深度、廣度和區(qū)分度.文中將研究21題的解法、背景和變式，以饗讀者.

一、試題及簡(jiǎn)評(píng)

試題（21題）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（1）略；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

簡(jiǎn)評(píng)：上述試題是全卷的壓軸題，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力、創(chuàng)造能力要求極高.從構(gòu)成要件來(lái)看，試題不偏不怪；從命題背景來(lái)看，試題含有深刻的高等數(shù)學(xué)背景，比如洛必達(dá)法則、馬克勞林公式、帕德逼近等；從解答來(lái)看，試題看似簡(jiǎn)單，但很難入手，參考答案涉及多次構(gòu)造，難度極大.總之，試題對(duì)考生創(chuàng)新考查極高，具有極強(qiáng)的選拔性.

二、解法研究

研究試題解法是研究高考的基本形式和主要內(nèi)容.對(duì)高考試題的解法研究一般可從一題多解、多題一解、解答失誤分析、解答策略提煉等視角展開(kāi).其中，一題多解指的是對(duì)一道試題所涉及內(nèi)容從橫向和縱向進(jìn)行把握，立足于不同的角度，運(yùn)用不同的方法進(jìn)行探討，進(jìn)而獲得多種解法.下面給出21題（2）的四種解法，希望讀者感受解法間的差別與聯(lián)系.

方法1：（i）若a≥0，由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，

f（x）＞（2+x）ln（1+x）-2x＞0=f（0），

這與x=0是f（x）的極大值點(diǎn)矛盾.

由于當(dāng)｝時(shí)，2+x+ax2＞0，故h（x）與f（x）的符號(hào)相同.

又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h（x）的極大值點(diǎn).

若6a+1＜0，則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0，故當(dāng)x∈（x1，0）時(shí)，且|x|＜min｝時(shí)，h′（x）＜0，所以x=0不是h（x）的極大值點(diǎn).

評(píng)注：上述解答是考試中心給的參考答案.一線老師們普遍反映該答案看不懂，我們認(rèn)為看不懂的原因有兩個(gè)：①解答中涉及多次構(gòu)造，比如，令很難想到，取很難想到；②“h（x）與f（x）的符號(hào)相同，x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h（x）的極大值點(diǎn)”.這一結(jié)論很難想到.事實(shí)上，當(dāng)（a為正常數(shù)）時(shí)，x=x0是f（x）的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x=x0是h（x）的極大值點(diǎn)很容易接受，但是解法中2+x+ax2是一個(gè)恒大于0的代數(shù)式，會(huì)不會(huì)影響的極值點(diǎn)呢？這需要給出證明，但解答中沒(méi)有.因此，我們可以認(rèn)為參考答案不嚴(yán)謹(jǐn)，有待改進(jìn)（在另文中給出）.

由δ→0-，得

評(píng)注：李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，而不是純粹的技巧.”［1］方法2正是從極值點(diǎn)的定義出發(fā)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)充分小區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，解答思路自然、流暢，回避了方法1中的構(gòu)造.解答中運(yùn)用了洛必達(dá)法則這一高等工具，同時(shí)還涉及夾逼的思想，這要求學(xué)生具備一定的高等數(shù)學(xué)知識(shí).據(jù)閱卷場(chǎng)反饋的信息來(lái)看，很多考生都會(huì)想到洛必達(dá)法則，但最后都沒(méi)有做出來(lái)，是因?yàn)橄萑肓颂茁罚悍蛛x參數(shù)—求新函數(shù)的單調(diào)性—洛必達(dá)法則求最值.但解答本題套路失效，需要借助極值點(diǎn)定義來(lái)處理，這一“首發(fā)效應(yīng)”使得一些考生手足無(wú)措.

方法3：引理［2］極大值點(diǎn)的第三充分條件：若f（x）在x=x0處有n階導(dǎo)數(shù)，且f（k）（x0）=0（k=1，2，…，n-1），f（n）（x0）≠0，則

（1）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，f（x）在x=x0處取得極值，且當(dāng)f（n）（x0）＜0時(shí)取極大值；當(dāng)f（n）（x0）＞0時(shí)取極小值.

（2）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，f（x）在x=x0處不是極值.

f（3）（x）=，由f（3）（0）=6a+1，若6a+1≠0，則由上述引理可知，x=0不是極值點(diǎn)，所以，此時(shí)f（4）（0）=-2<0，可得x=0是極大值點(diǎn).

評(píng)注：方法3運(yùn)用極值的判定定理來(lái)解答，這是對(duì)方法2的進(jìn)一步深化，解答中涉及3次求導(dǎo)，盡管運(yùn)算量較大，但思路直接，能縮短思考時(shí)間，值得關(guān)注.

方法4：由（1）知，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，ln（x+1）＜；當(dāng)x＞0時(shí)

三、背景分析

試題背景指命題時(shí)選取素材中含有的知識(shí)、模型、問(wèn)題、文化、思想和方法等.試題背景凸顯試題立意，引領(lǐng)試題編擬方向.研究試題背景，可以準(zhǔn)確把握試題本質(zhì)、理解試題設(shè)問(wèn)方式、拓寬試題解法、加強(qiáng)試題變式.常見(jiàn)試題背景有教材背景、現(xiàn)實(shí)背景、高考數(shù)學(xué)背景、高等數(shù)學(xué)背景、競(jìng)賽數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)史背景等.［3］下面重點(diǎn)分析試題的帕德逼近這一高等數(shù)學(xué)背景.

表1 y=ln（x+1）在（0，0）處到R（3，3）階的帕德逼近表［4］

n m 1 2 3 0 x 2 x-x 2 6 x-3 x 2+2 x 3 2 6 1 2 x 2+x 6 x+x 2 4 x+6 2 4 x+6 x 2-x 3 2 4+1 8 x 2 1 2 x 1 2+6 x-x 2 6 x+3 x 2 6+x+6 x 2 3 0 x+2 1 x 2+x 3 3 0+3 6 x+9 x 2 3 2 4 x 2 4+1 2 x-2 x 2+x 3 9 0 x+5 7 x 2 9 0+1 0 2 x+2 1 x 2-x 3 6 0 x+6 0 x 2+1 1 x 3 6 0+9 0 x+3 6 x 2+3 x 3

從表中可以看出：y=ln（x+1）在（0，0）處的（1，2）階的帕德逼近函數(shù)為（*），將（*）變形為y=（※）.顯然，用a替換（※）中的，即為21題中l(wèi)n（x+1）的“系數(shù)”.

可見(jiàn)，熟悉帕德逼近這一高等背景對(duì)21題的認(rèn)識(shí)會(huì)更加深刻.順帶指出，y=ln（x+1）在（0，0）處的（1，1）階的帕德逼近函數(shù)為，這正是解法4中所運(yùn)用的不等式ln（x+1）同時(shí)，由馬克勞林公式得，這恰好是帕德逼近第一行，由此可見(jiàn)馬克勞林展開(kāi)式可以視為帕德逼近的特例.

四、試題變式

變式是指相對(duì)于某種范式，不斷變更問(wèn)題情境或改變思維角度，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式.陳景潤(rùn)先生指出：“題有千變，貴在有根.”基于帕德逼近和馬克勞林展式這一“根”可以演變出無(wú)窮無(wú)盡的試題，如下：

（1）若a=0，證明：f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的極小值點(diǎn)，求a.

（1）若a=0，證明：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a.

評(píng)注：馬克勞林展式為多項(xiàng)式函數(shù)，從導(dǎo)數(shù)運(yùn)算角度看較為簡(jiǎn)單.變式1、2中設(shè)置的函數(shù)正好源于馬克勞林級(jí)數(shù)

（1）若a=0，當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，證明：f（x）＜0；

（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的范圍.

高考試題的研究視角很多，比如：試題的布局、立意、背景、解法、變式、推廣、優(yōu)化等等.文中從解法、背景和變式對(duì)21題（2）進(jìn)行了深度研究，權(quán)

表2函數(shù)f（x）=cosx在（0，0）處的到R（4，4）階的帕德逼近表作拋磚引玉，希望大家從不同視角對(duì)21題提出新的見(jiàn)解.

n m 024 0 1 2-x2 2 24-12x2+x4 24 2 2 2+x2 12-5x2 12+x2 120-56x2+3x4 120+4x2 4 24 24+12x2-7x4 150+14x2 150+89x2+7x4 15120-6900x2+313x4 15120+660x2+13x4