凍脹反力系數(shù)在渠道襯砌凍脹彈性地基梁模型中的應(yīng)用

李宗利，姚希望，李云波，吳正橋，肖帥鵬，劉士達(dá)

（1. 西北農(nóng)林科技大學(xué)旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，楊凌 712100；2. 西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，楊凌 712100；3. 中水北方勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，天津 300222）

0 引 言

彈性地基梁理論因其反映基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)變形的優(yōu)越性，已被諸多學(xué)者用于分析寒冷地區(qū)土體凍脹和上部結(jié)構(gòu)之間的力學(xué)響應(yīng)[1-5]。Rajani等[1-4]基于彈性地基梁理論分析管道在基礎(chǔ)凍土凍脹時(shí)的力學(xué)響應(yīng)。董建華等[5]基于Winkler彈性地基梁理論，研究了寒區(qū)錨桿與格構(gòu)梁復(fù)合結(jié)構(gòu)在凍脹作用下力學(xué)響應(yīng)。相比于渠道襯砌凍脹材料力學(xué)模型[6-9]，彈性地基梁力學(xué)模型能反映出襯砌與凍土之間的協(xié)調(diào)變形[10]。肖旻等[11]基于凍脹力和凍脹強(qiáng)度成線(xiàn)性關(guān)系并結(jié)合彈性地基梁理論，建立了考慮凍土與結(jié)構(gòu)相互作用的梯形渠道凍脹破壞彈性地基梁模型。李宗利等[12-13]基于自由凍脹量和彈性地基梁理論，結(jié)合梯形渠道襯砌凍脹變形特點(diǎn)，給出合理的邊界條件，分別建立了基土均勻自由凍脹和不均勻自由凍脹時(shí)的梯形渠道襯砌凍脹彈性地基梁力學(xué)模型，計(jì)算結(jié)果與已有試驗(yàn)和數(shù)值模擬吻合較好。

將彈性地基梁理論引入到凍土凍脹和上部結(jié)構(gòu)相互作用分析中，雖解決了考慮凍土與上部結(jié)構(gòu)之間相互作用的方法問(wèn)題，但如何合理確定基床系數(shù)仍是核心問(wèn)題。本文用彈性地基梁理論分析凍土凍脹和襯砌板之間的相互作用時(shí)，將彈性地基梁理論中的基床系數(shù)稱(chēng)為凍脹反力系數(shù)。凍脹反力系數(shù)與基床系數(shù)存在一定相似性，但卻有所不同：結(jié)構(gòu)對(duì)地基施加一定的荷載，地基產(chǎn)生相應(yīng)的壓縮位移，從而地基給結(jié)構(gòu)一定的反力，地基反力與壓縮位移的比值就是基床系數(shù)；基土產(chǎn)生凍脹變形，其上部結(jié)構(gòu)對(duì)凍脹變形存在約束，從而形成一定的凍脹反力，凍脹反力和被約束凍脹量的比值即凍脹反力系數(shù)。若直接用基床系數(shù)分析凍土凍脹和上部結(jié)構(gòu)之間的力學(xué)響應(yīng)有所不妥。同時(shí)，考慮到襯砌板下不同點(diǎn)的凍脹反力系數(shù)隨被約束凍脹量的不同而發(fā)生變化，且每一點(diǎn)凍脹反力系數(shù)具體值又是被約束凍脹量的非線(xiàn)性函數(shù)，若采用常凍脹反力系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果和實(shí)際結(jié)果會(huì)有所偏差。

凍脹反力系數(shù)的合理取值影響到基于彈性地基梁理論分析凍脹問(wèn)題的合理性。目前對(duì)基床系數(shù)的研究相對(duì)較多[14-15]，但對(duì)凍脹反力系數(shù)研究相對(duì)較少。同時(shí)，基于彈性地基梁理論在渠道襯砌凍脹力學(xué)響應(yīng)上的分析[11-13]尚未考慮到凍土凍脹變形過(guò)程中的非線(xiàn)性。本文基于凍土三軸試驗(yàn)結(jié)果，建立考慮圍壓和溫度的鄧肯-張本構(gòu)模型；參考室內(nèi)三軸試驗(yàn)測(cè)定基床系數(shù)方法，基于數(shù)值模擬建立變凍脹反力系數(shù)計(jì)算式；基于有限差分法離散彈性地基梁平衡微分方程，由此建立變凍脹反力系數(shù)梯形渠道襯砌凍脹彈性地基梁力學(xué)模型。探究?jī)雒浄戳ο禂?shù)分別為變量與常量時(shí)在梯形渠道襯砌凍脹力學(xué)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果上的差異，以期為大型梯形渠道襯砌抗凍脹設(shè)計(jì)提供參考。

1 基于數(shù)值模擬的凍脹反力系數(shù)確定

1.1 基床系數(shù)

1.1.1 基本概念

基床系數(shù)是地基土在外力作用下產(chǎn)生單位變形時(shí)所需的應(yīng)力，一般可表示為

式中k為基床系數(shù)，MPa/m；P為地基土所受應(yīng)力，MPa；s為地基變形，m。

1.1.2 三軸試驗(yàn)確定法

現(xiàn)階段直接通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)確定地基土的基床系數(shù)方法尚不成熟，而室內(nèi)三軸試驗(yàn)操作簡(jiǎn)單，可控性強(qiáng)。操作過(guò)程模擬現(xiàn)場(chǎng)K30原位平板荷載試驗(yàn)[16]。根據(jù)相關(guān)規(guī)范[16-17]，基床系數(shù)室內(nèi)三軸試驗(yàn)測(cè)定法是將土樣經(jīng)飽和處理后，在有側(cè)向靜止土壓力狀態(tài)下進(jìn)行排水固結(jié)，側(cè)限圍壓應(yīng)按下式計(jì)算：

式中σ1為軸向壓力，MPa；σ3為側(cè)向圍壓，MPa；γg為土體容重，kN/m3；hg為土壤所處的深度，m；K0為土體靜止側(cè)壓力系數(shù)，可按下式計(jì)算：

式中ν為泊松比。

固結(jié)穩(wěn)定后，控制圍壓增量Δσ3與主應(yīng)力增量Δσ1的比值n為某一固定數(shù)值，得到Δσ1～Δh0曲線(xiàn)，求得初始切線(xiàn)斜率或某一割線(xiàn)斜率定義為基床系數(shù)k。

1.2 凍脹反力系數(shù)

凍土頂面存在襯砌等結(jié)構(gòu)約束，當(dāng)凍結(jié)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，可能出現(xiàn)如圖1所示幾種情況。在上部結(jié)構(gòu)約束作用下自由凍脹量不能被釋放，部分凍脹量被約束，甚至凍土出現(xiàn)壓縮情況，被約束凍脹量的大小直接影響著凍脹反力大小。本文根據(jù)被約束凍脹量和自由凍脹量之間的關(guān)系將凍土凍脹類(lèi)型分為自由凍脹、部分約束凍脹、完全約束凍脹和超約束凍脹。

因凍土受力變形具有較強(qiáng)的非線(xiàn)性[18]，被約束凍脹量和凍脹反力并不是成正比的關(guān)系，如圖2所示。為了建立凍脹反力Pf和被約束凍脹量y之間關(guān)系，本文定義凍脹反力Pf和被約束凍脹量y之比為凍脹反力系數(shù)kf，即圖2中割線(xiàn)的斜率，如式（4）所示。

式中kf為凍脹反力系數(shù)，MPa/m；Pf為凍脹反力，MPa；y為被約束凍脹量，m。

本文定義初始凍脹反力kf0為圖2曲線(xiàn)的初始切線(xiàn)斜率；完全約束凍脹反力系數(shù)kf2則定義為圖1中完全約束凍脹情況下凍脹反力Pf2與被約束凍脹量y2（y2=Δh）的比值。

本文參考基床系數(shù)室內(nèi)三軸試驗(yàn)確定法[16-17]，基于數(shù)值模擬對(duì)凍土的凍脹反力系數(shù)進(jìn)行研究。

1.3 凍土數(shù)值模型建立

凍土凍脹是一個(gè)較為復(fù)雜的物理現(xiàn)象，涉及到溫度傳遞、水分運(yùn)移、冰水相變、水結(jié)冰后的體積膨脹引起的凍脹。通過(guò)數(shù)值模擬方法模擬凍土凍脹的全部過(guò)程較為困難。因此本文研究的重點(diǎn)是凍土凍結(jié)和凍脹達(dá)到某種穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)凍土非線(xiàn)性變形特性對(duì)基床系數(shù)的影響，暫不考慮凍土凍結(jié)和凍脹過(guò)程中凍土和襯砌板之間的相互作用。本文以封閉系統(tǒng)飽和凍土為研究對(duì)象，忽略水分遷移，認(rèn)為水分在原位發(fā)生完全凍結(jié)，溫度對(duì)凍土力學(xué)性能的影響占主導(dǎo)作用。

1.3.1 溫度傳導(dǎo)方程

凍土凍結(jié)和凍脹達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)可按穩(wěn)態(tài)溫度傳導(dǎo)方程對(duì)溫度場(chǎng)進(jìn)行求解。穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的偏微分方程為

式中T為溫度，℃；λ為凍土等效導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；?為拉普拉斯算子。

對(duì)于凍土凍結(jié)和凍脹的穩(wěn)定狀態(tài)，可認(rèn)為凍土中的水全部?jī)鼋Y(jié)為冰。因此對(duì)于本文研究的封閉系統(tǒng)飽和凍土可認(rèn)為是由冰和土顆粒兩相組成。導(dǎo)熱系數(shù)等效值可按兩相含量來(lái)計(jì)算[19]，表達(dá)式為

式中λi和λs分別為冰和土顆粒的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)；θi和θs分別是體積含冰量和體積土顆粒含量，m3/m3。

1.3.2 凍土本構(gòu)模型

鄧肯-張模型[18]最早是基于非凍土的變形特性提出的，后來(lái)一些學(xué)者[20-22]將其應(yīng)用到凍土的變形研究中。本文采用鄧肯-張模型來(lái)描述凍土在發(fā)生凍脹時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

式中a和b為試驗(yàn)常數(shù)，εa為軸向應(yīng)變。

凍土的應(yīng)力張量S可以分解為球應(yīng)力張量Tr(εs)和偏應(yīng)力張量Dev(εs)

式中Tr(εs)為球應(yīng)變張量；Dev(εs)為偏應(yīng)變張量；δ為單位張量；K為體積模量，Pa；Gs為割線(xiàn)剪切模量，Pa；εs為應(yīng)變張量。

鄧肯-張模型的割線(xiàn)剪切模量Gs和體積模量K可按下式計(jì)算：

式中G為剪切模量，Pa；γ為剪切應(yīng)變；qult為極限偏差應(yīng)力，Pa；E0為初始彈性模量，Pa。

初始彈性模量E0和極限偏差應(yīng)力qult與鄧肯-張模型中a、b參數(shù)有關(guān)。當(dāng)a、b參數(shù)與溫度T和圍壓σ3c有關(guān)時(shí)，初始彈性模量E0和極限偏差應(yīng)力qult可按下式計(jì)算：

式中T為溫度，℃；σ3c為圍壓，Pa。

在考慮凍土凍脹時(shí)，應(yīng)變張量εs可按下式計(jì)算：

式中ε為總應(yīng)變張量；εf為凍脹應(yīng)變張量。

本文研究的封閉系統(tǒng)的飽和凍土凍脹應(yīng)變[23]εf為

式中θ為含冰量，m3/m3；ρw為水的密度，ρw=1 000 kg/m3；ρi為冰的密度，ρi=917 kg/m3。

1.3.3 數(shù)值模型參數(shù)取值及驗(yàn)證

溫度場(chǎng)較為簡(jiǎn)單，僅涉及到冰和土顆粒的導(dǎo)熱系數(shù)。冰的導(dǎo)熱系數(shù)λi=2.22 W/(m·℃)，土顆粒的導(dǎo)熱系數(shù)

λs=1.5 W/(m·℃)[19]。

溫度和圍壓對(duì)凍土的鄧肯-張模型參數(shù)有顯著的影響，對(duì)已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)[22]重新整理，建立考慮溫度和圍壓的凍土鄧肯-張本構(gòu)模型，再將其帶入COMSOL軟件計(jì)算，與試驗(yàn)結(jié)果[22]進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證其合理性。

1）凍土三軸試驗(yàn)

文獻(xiàn)[22]對(duì)凍結(jié)粉質(zhì)黏土進(jìn)行溫度分別為-5、-10和-15 ℃，圍壓分別為0.6、1.0和1.4 MPa的三軸剪切試驗(yàn)。試樣為Φ50 mm×100 mm的土樣。先將土樣置于真空飽和缸中10 h，使其充分飽和；再對(duì)其進(jìn)行給定圍壓下排水固結(jié)；固結(jié)完成后進(jìn)行給定溫度下不少于24 h凍結(jié)；凍結(jié)結(jié)束進(jìn)行三軸剪切試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

2）鄧肯-張模型參數(shù)確定及驗(yàn)證

對(duì)該試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行重新處理，得到不同圍壓和不同溫度下的鄧肯-張模型參數(shù)，如表1所示。

對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，可得

式中A1、A2、A3、A4、A5、A6、B1、B2、B3、B4、B5和B6為多項(xiàng)式系數(shù)，如表2所示。

表2 鄧肯-張模型a、b參數(shù)擬合多項(xiàng)式系數(shù)Table 2 a, b parameter fitting polynomial coefficients of Duncan-Chang model

將式（16）～式（17）代入式（9）～式（13），再代入式（8），便可得到考慮圍壓σ3c和溫度T的凍土鄧肯-張本構(gòu)模型。將其代入COMSOL軟件對(duì)該試驗(yàn)[22]進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖3所示，可以看出數(shù)值模擬結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，決定系數(shù)R2平均為0.97，說(shuō)明本文建立的鄧肯-張模型能夠很好地反映文獻(xiàn)[22]試驗(yàn)凍土樣隨溫度和圍壓變化的力學(xué)行為。

1.4 基于數(shù)值模擬對(duì)凍土凍脹反力系數(shù)的測(cè)定

1.4.1 三軸試驗(yàn)數(shù)值模型

對(duì)于常規(guī)三軸試驗(yàn)，試樣尺寸相對(duì)較小，試驗(yàn)結(jié)果只能代表凍土層某一個(gè)點(diǎn)的力學(xué)特性。本文認(rèn)為渠道襯砌板所受到的凍脹力全部由凍土層凍脹變形后被約束凍脹量產(chǎn)生。為使測(cè)得的凍脹反力系數(shù)能綜合反映出整個(gè)凍土層的力學(xué)行為，數(shù)值模擬模型以整個(gè)凍土層為研究對(duì)象，荷載邊界依然采用規(guī)范中室內(nèi)三軸試驗(yàn)測(cè)基床系數(shù)方法中的類(lèi)似邊界。

如圖4所示，取高度1.5 m、直徑0.5 m的凍土圓柱。土柱為封閉系統(tǒng)飽和土樣，孔隙率約0.45。土柱上表面環(huán)境溫度分別為-5、-10和-15 ℃，底部為凍深線(xiàn)所在處，可認(rèn)為該處為0 ℃。如圖4a所示，數(shù)值模擬模型中考慮土柱自重G對(duì)應(yīng)力的影響，在土柱的側(cè)面施加K0γgh的圍壓，模擬土柱凍脹前的受力狀態(tài)。如圖4b所示，參考基床系數(shù)室內(nèi)三軸試驗(yàn)測(cè)定方法，在土柱凍結(jié)凍脹的同時(shí)，向土柱頂部施加σ1荷載，在側(cè)面施加σ3荷載，逐級(jí)增加荷載σ1和σ3，保持增幅Δσ3=mΔσ1，m=0.1[24-25]；記錄被約束凍脹量和σ1，此時(shí)σ1就是凍脹反力，如圖5所示；根據(jù)式（4）和圖2，圖5中曲線(xiàn)的割線(xiàn)斜率即為凍脹反力系數(shù)，如圖6所示。根據(jù)數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果，土樣在自由凍脹時(shí)，垂直方向?qū)?huì)出現(xiàn)61.4 mm的自由凍脹量。

由圖5和圖6可以看出，相同凍結(jié)溫度下，被約束凍脹量每增加1 cm，凍脹反力平均增加0.15 MPa，凍脹反力系數(shù)平均減小1.12 MPa/m。相同約束凍脹量下，凍結(jié)溫度每降低5 ℃，凍脹反力平均增大0.21倍。采用雙曲函數(shù)反映這種變化規(guī)律，方便工程應(yīng)用。根據(jù)基床系數(shù)k取值方法，一般以初始切線(xiàn)斜率或某一割線(xiàn)斜率定義基床系數(shù)k[16-17]，若以此方法對(duì)凍脹反力系數(shù)kf取值，明顯會(huì)使凍脹反力計(jì)算結(jié)果偏大。因此，本文認(rèn)為凍脹反力系數(shù)隨被約束凍脹量的改變而發(fā)生變化。

1.4.2 凍脹反力系數(shù)計(jì)算模型

王洪新等[26]認(rèn)為基坑被動(dòng)區(qū)土體的非線(xiàn)性彈簧地基模型滿(mǎn)足雙曲函數(shù)關(guān)系，得到不同變形的基床系數(shù)計(jì)算表達(dá)式。該成果對(duì)本文整理凍脹反力系數(shù)計(jì)算結(jié)果具有一定的借鑒意義。隨著被約束凍脹量的增加，凍脹反力的增幅逐漸減小，這種規(guī)律可通過(guò)雙曲線(xiàn)函數(shù)反映。因此，本文基于雙曲函數(shù)模型對(duì)所得凍脹反力和凍脹反力系數(shù)結(jié)果進(jìn)行擬合，其擬合公式如式（18）和式（19）所示，擬合參數(shù)如表3所示。

式中a′和b′為擬合參數(shù)。表3 為本研究土樣所得到的結(jié)果，對(duì)于其他特定凍土試樣可參考本文的方法進(jìn)行測(cè)定。若條件允許可，通過(guò)物理試驗(yàn)更準(zhǔn)確地對(duì)凍脹反力系數(shù)進(jìn)行測(cè)定。

表3 凍脹反力系數(shù)雙曲函數(shù)模型擬合參數(shù)Table 3 Fitting parameters of hyperbolic function model of frost heave reaction force coefficient

2 基于變凍脹反力系數(shù)的梯形渠道襯砌凍脹力學(xué)模型

彈性地基梁的基床系數(shù)為非常數(shù)時(shí)，通常很難給出解析解，只能轉(zhuǎn)而尋找近似的數(shù)值解。蔡四維[27]首次將有限差分法用于求解彈性地基梁，用一組差分方程替代微分方程，求解線(xiàn)性代數(shù)方程組，使求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化。本節(jié)采用有限差分法和牛頓法，通過(guò)MATLAB編程，建立變凍脹反力系數(shù)的梯形渠道襯砌凍脹彈性地基梁力學(xué)模型。

2.1 彈性地基梁基本微分方程

當(dāng)彈性地基梁上分布荷載q(x) = 0時(shí)，彈性地基梁基本微分方程為

式中y為彈性地基梁的撓度，對(duì)于本文研究的渠道襯砌凍脹問(wèn)題即為前述被約束凍脹量，m；E為渠道襯砌板彈性模量，Pa；I為渠道襯砌板截面慣性矩，m4。

如圖7所示，根據(jù)有限差分法原理[28]，地基梁和其邊界可以被等分成n+4段，共計(jì)n+5個(gè)節(jié)點(diǎn)。設(shè)梁撓曲線(xiàn)方程為y=f(x)（被約束凍脹量方程），在撓曲線(xiàn)上取等距離的5個(gè)點(diǎn)，間距為Δx，其編號(hào)分別為(i-2)、(i-1)、i、(i+1)和(i+2)。

根據(jù)有限差分法[28]和材料力學(xué)[29]相關(guān)原理，節(jié)點(diǎn)四階微分和內(nèi)力的差分方程分別為

式中M為彎矩，N·m；V為剪力，N；Δx為單段長(zhǎng)度，m。

將式（18）代入式（20）再代入式（21），可得

式中α=(Δx)4/(EI)。

則圖7中梁上的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均滿(mǎn)足式（24）。

2.2 梯形渠道襯砌凍脹邊界條件離散

2.2.1 邊坡襯砌板

根據(jù)文獻(xiàn)[12]邊坡襯砌板在凍脹時(shí)邊界條件，有

式中Ms為邊坡襯砌板彎矩，N·m；Vs為邊坡襯砌板剪力，N；Fs為邊坡襯砌板在坡腳處受到渠底襯砌板的法向約束力，N；Ls為邊坡襯砌板長(zhǎng)度，m。

將式（25）～式（28）代入式（22）～式（23），則有

當(dāng)x=0（i=0）時(shí)

當(dāng)x=Ls（i=n）時(shí)

聯(lián)立式（29）和式（30）可得

式中βs=2Fs(Δx)3/(EI)。

聯(lián)立式（31）和式（32）可得

2.2.2 渠底襯砌板

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，渠底襯砌板在凍脹時(shí)邊界條件為

式中Mb為渠底襯砌板彎矩，N·m；Vb為渠底襯砌板剪力，N；Fb為渠底襯砌板在坡腳處受到邊坡襯砌板的法向約束力，N；Lb為渠底襯砌板長(zhǎng)度，m。

和邊坡襯砌板同理，可得

式中βb=2Fb(Δx)3/(EI)。

2.3 矩陣方程建立

2.3.1 邊坡襯砌板

將式（33）～（36）帶入式（24）中，圖7中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)有

式（45）為非線(xiàn)性方程組，可寫(xiě)成下面矩陣形式

式中M s為邊坡襯砌板系數(shù)矩陣；ys為邊坡襯砌板撓度矩陣；βs為邊坡襯砌板邊界矩陣。各矩陣表達(dá)式為

2.3.2 渠底襯砌板

和邊坡襯砌板同理，將式（41）～式（44）代入式（24），整理成矩陣形式，則有

式中M b為渠底襯砌板系數(shù)矩陣；yb為渠底襯砌板撓度矩陣；βb為渠底襯砌板邊界矩陣。各矩陣表達(dá)式為

2.4 矩陣方程求解

式（46）和式（50）為非線(xiàn)性方程組，可以通過(guò)牛頓法進(jìn)行計(jì)算[30]。牛頓法實(shí)際上是一種線(xiàn)性化方法，基本思想是將非線(xiàn)性方程組F(y)=0逐步歸結(jié)為線(xiàn)性方程組的求解。

設(shè)方程組F(y)=0有近似根ky，將方程組F(y)在ky處展開(kāi)，有

于是方程組F(y)=0可近似地表示為

這是一個(gè)線(xiàn)性方程組，記根為k+1y，則k+1y的計(jì)算公式為

將本文式（46）和式（50）代入式（56），則有

式（57）便可采用迭代進(jìn)行計(jì)算，ky和k+1y分別為舊的和新的迭代計(jì)算結(jié)果；kJ為雅克比矩陣，按下式計(jì)算：

對(duì)于首次迭代計(jì)算

將式（59）代入式（57）進(jìn)行迭代計(jì)算。通過(guò)判斷k+1y和ky之差的一次范數(shù)是否達(dá)到給定精度10-6進(jìn)行停止迭代，通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)這一計(jì)算過(guò)程。本文數(shù)值模型收斂速度快，精度高。如圖8所示，在梁長(zhǎng)度1 m、分段數(shù)100情況下進(jìn)行計(jì)算，只需經(jīng)過(guò)5次迭代計(jì)算，便可完成計(jì)算，且具有非常高的計(jì)算精度。

2.5 數(shù)值模型驗(yàn)證

文獻(xiàn)[12]根據(jù)彈性地基梁短梁解析解，建立梯形渠道襯砌凍脹力學(xué)模型?；谠摻馕鼋鈱?duì)本文數(shù)值解進(jìn)行驗(yàn)證。由于彎矩和凍脹反力可根據(jù)撓度（凍脹量）進(jìn)行求解，因此只需對(duì)撓度（凍脹量）進(jìn)行驗(yàn)證即可。對(duì)文獻(xiàn)[12]中的工程算例采用解析解和數(shù)值解進(jìn)行分別計(jì)算，結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯霰疚幕跀?shù)值模型計(jì)算出的結(jié)果和解析解基本吻合。

3 凍脹反力系數(shù)對(duì)梯形渠道襯砌凍脹彈性地基梁力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果的影響

襯砌板長(zhǎng)度與厚度比值體現(xiàn)了襯砌的抗彎剛度，反映了襯砌板對(duì)渠基凍土凍脹約束能力大小，影響凍脹量分布，而渠道襯砌板厚度取值范圍不大，因此結(jié)合襯砌長(zhǎng)度來(lái)分析凍土非線(xiàn)性變形特性影響規(guī)律，即襯砌剛度對(duì)渠道襯砌凍脹的影響。

本節(jié)以某寒區(qū)梯形襯砌渠道為例，探究?jī)雒浄戳ο禂?shù)對(duì)渠道襯砌凍脹的影響。渠道基土自由凍脹量5 cm，環(huán)境溫度-15 ℃，襯砌板厚度10 cm，襯砌混凝土彈性模量24 GPa。凍脹反力系數(shù)為變量時(shí)，選取本文-15 ℃計(jì)算結(jié)果；凍脹反力系數(shù)為常量時(shí)，選取-15 ℃計(jì)算結(jié)果初始值。邊坡襯砌板和渠底襯砌板計(jì)算結(jié)果如圖10和圖11所示。

3.1 邊坡襯砌板

3.1.1 凍脹量

如圖10a所示，常凍脹反力系數(shù)凍脹量計(jì)算結(jié)果比變凍脹反力系數(shù)凍脹量計(jì)算結(jié)果略大，但分布規(guī)律基本一致。當(dāng)邊坡襯砌板長(zhǎng)度為1 m時(shí)，凍脹量分布接近直線(xiàn)，隨著長(zhǎng)度增加，凍脹量曲率逐漸增加。這主要是因?yàn)樵谧杂蓛雒浟恳欢?，邊坡襯砌板坡腳約束不變的情況下，隨著邊坡襯砌板長(zhǎng)度的增加其整體剛度逐漸變小。

3.1.2 凍脹反力

如圖10b所示，凍脹反力系數(shù)分別為常量和變量時(shí)，計(jì)算結(jié)果在法向凍結(jié)力的分布和大小上基本相同，但在法向凍脹力上卻有較大差異。變凍脹反力系數(shù)計(jì)算出的法向凍脹力明顯比常凍脹反力結(jié)果小，同時(shí)距離坡腳越近，被約束凍脹量越大，計(jì)算結(jié)果差異越明顯。本文對(duì)梯形渠道襯砌凍脹過(guò)程簡(jiǎn)化，認(rèn)為在渠底襯砌板橫向約束作用下，邊坡襯砌板坡腳處的自由凍脹量完全被約束。自由凍脹量相同時(shí)，不同長(zhǎng)度邊坡襯砌板在坡腳處被約束凍脹量相同。由Winkler地基理論[28]可知，若地基梁上某點(diǎn)變形相同，則產(chǎn)生的反力相同。但由于凍脹反力系數(shù)的差異，常量?jī)雒浄戳ο禂?shù)計(jì)算出的最大凍脹反力是變量的1.43倍。

3.1.3 彎矩

由圖10c可以看出變凍脹反力系數(shù)彎矩計(jì)算結(jié)果明顯小于常凍脹反力系數(shù)計(jì)算結(jié)果；變凍脹反力系數(shù)計(jì)算彎矩最大值位置相對(duì)于常凍脹反力系數(shù)整體略遠(yuǎn)離坡腳。隨著長(zhǎng)度增加，彎矩最大值逐漸變大后趨于穩(wěn)定。這主要是因?yàn)樵谇鶅鐾猎谧杂蓛雒浟恳欢〞r(shí)，隨著邊坡襯砌板長(zhǎng)度增加，整體剛度逐漸變小，遠(yuǎn)離坡腳區(qū)域的襯砌板對(duì)渠基凍土凍脹約束較小，隨基土凍脹一起發(fā)生上抬位移；在坡腳處由于渠底襯砌板對(duì)邊坡襯砌板坡腳處的約束，使得該處產(chǎn)生較大的凍脹反力，但邊坡襯砌板只有坡腳點(diǎn)處的凍脹受到來(lái)自渠底襯砌板的強(qiáng)迫約束，其影響范圍相對(duì)有限，且當(dāng)邊坡襯砌板長(zhǎng)度增加到一定程度時(shí)，影響范圍基本不變；在被約束凍脹量一定的情況下，影響范圍內(nèi)產(chǎn)生的法向凍脹力也基本相同，因此當(dāng)邊坡襯砌板長(zhǎng)度增加到一定值時(shí)，其彎矩最大值基本保持不變。常量?jī)雒浄戳ο禂?shù)計(jì)算出的彎矩最大值平均是變量的1.12倍。

3.2 渠底襯砌板

3.2.1 凍脹量

如圖11a所示，在自由凍脹量一定的情況下，隨著襯砌板長(zhǎng)度的增大，中間部位被約束凍脹量逐漸減小，變凍脹反力系數(shù)和常凍脹反力系數(shù)的差異逐漸減小，導(dǎo)致隨著渠底襯砌板長(zhǎng)度的增加，變凍脹反力系數(shù)和常凍脹反力系數(shù)的凍脹量計(jì)算結(jié)果差異逐漸變?。恢虚g部位凍脹量逐漸增大，但增幅逐漸變小。

3.2.2 凍脹反力

如圖11b所示，當(dāng)渠底襯砌板長(zhǎng)度較小時(shí)，變凍脹反力系數(shù)的凍脹反力計(jì)算結(jié)果和常凍脹反力系數(shù)的凍脹反力計(jì)算結(jié)果相差較大，反之相差較小。由于在坡腳被約束凍脹量都是5 cm，因此不同長(zhǎng)度的渠底襯砌板計(jì)算的凍脹反力在坡腳處相同，和邊坡襯砌板原因相同。結(jié)合圖11a在渠底襯砌板兩邊自由凍脹量被約束，中間渠道基土凍脹發(fā)生了一定的變形，釋放了一定的凍脹力，因此渠底襯砌板凍脹反力分布為兩邊大，中間小。當(dāng)渠底襯砌板長(zhǎng)度為3和4 m時(shí)，在渠底襯砌板中部局部產(chǎn)生了不大于0.15 MPa的法向凍結(jié)力，這主要是由于襯砌板長(zhǎng)度相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)，中間區(qū)域產(chǎn)生的凍脹量相對(duì)較大，使得襯砌板中間有遠(yuǎn)離基土的趨勢(shì)，但渠道基土和襯砌板凍結(jié)在一起，因此，在中間區(qū)域產(chǎn)生了一定的法向凍結(jié)力。

3.2.3 彎矩

由圖11c可以看出隨著渠底襯砌板長(zhǎng)度的增加，變凍脹反力系數(shù)的彎矩計(jì)算結(jié)果和常凍脹反力系數(shù)的彎矩計(jì)算結(jié)果差異逐漸變小，和凍脹反力出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因基本一致。當(dāng)渠底襯砌板長(zhǎng)度增加到一定程度時(shí)，在渠底襯砌板中部出現(xiàn)法向凍結(jié)力，如圖11b所示，對(duì)中部彎矩有一定削弱作用。因此，當(dāng)渠底襯砌板長(zhǎng)度超過(guò)一定值時(shí)，隨著長(zhǎng)度增加，中部彎矩開(kāi)始減小，彎矩最大值出現(xiàn)在兩邊。

4 結(jié) 論

1）渠道基土在凍脹過(guò)程中具有非線(xiàn)性變形特性，基于室內(nèi)三軸試驗(yàn)確定基床系數(shù)方法是可行的。提出了雙曲函數(shù)反映基床系數(shù)隨約束凍脹位移的變化規(guī)律，方便工程應(yīng)用。

2）探究了凍脹反力系數(shù)分別為變量與常量時(shí)，在梯形渠道襯砌凍脹力學(xué)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果上的差異。結(jié)果表明，對(duì)于邊坡和渠底襯砌板，常量?jī)雒浄戳ο禂?shù)計(jì)算出的最大凍脹反力是變量的1.43倍，計(jì)算出的彎矩最大值平均是變量的1.12倍。因此在采用彈性地基梁理論分析渠道襯砌凍脹問(wèn)題時(shí)，若凍脹反力系數(shù)采用為常量，不考慮凍土的非線(xiàn)性變形，會(huì)使得計(jì)算結(jié)果偏大。

3）本文所建立的凍脹反力系數(shù)計(jì)算數(shù)值模型未能很好考慮水分遷移，得到凍脹反力系數(shù)比實(shí)際值偏小，但不影響所建立的梯形渠道襯砌凍脹彈性地基梁力學(xué)模型的應(yīng)用。同時(shí)，尚未考慮襯砌板與地基分離和襯砌板的凍縮對(duì)彎曲影響，計(jì)算結(jié)果和實(shí)際值存在偏差，未來(lái)模型仍需進(jìn)一步完善。